第一章 空间向量与立体几何高频考点复习-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何高频题型复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：7大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 空间向量及其运算】 1．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 3．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 4．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【题型2 空间向量基本定理】 7．如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 8．如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 11．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【题型3 空间向量的坐标表示】 12．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 14．（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 15．在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（    ） A． B． C． D． 16．已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 17．棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为 .若，则的最小值为 . 【题型4 空间向量与位置关系】 18．（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D． 19．（多选）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 20．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； (2)设直线与平面交于，求证：． 21．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22．如图，在直三棱柱中，，，D是的中点，F是上一点，且． (1)求证：平面； (2)若，判定直线与平面的位置关系，并证明． 23．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.    (1)若点满足，求证：平面； (2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【题型5 求线线角、线面角、二面角】 24．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 25．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 26．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 27．已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 28．如图，在四棱锥中，和均为边长为的等边三角形. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 29．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 30．如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 31．在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个】点，点在线段上的动点． (1)若平面，求出点的位置； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【题型6 已知线面角、二面角求其他】 32．四面体ABCD中，面面，，，平面内的不同两点P、Q满足，，则 . 33．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    34．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 35．如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 36．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 37．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【题型7 空间中的距离问题】 38．（多选）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 39．如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 40．如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点D到平面的距离． 41．如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 42．如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 43．如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【题型8 存在性问题】 44．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 45．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 46．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 47．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，. (1)求点C到平面的距离； (2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由. 48．如图，已知多面体中，底面，，，其中底面是由半圆及正三角形组成. (1)若是半圆上一点，且，求证：平面； (2)半圆上是否存在点，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 49．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． (1)求证：； (2)当点为线段的中点时，求点到平面的距离； (3)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 7．在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 二、多选题 8．若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 10．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积是 B．存在点，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则的轨迹的长度为 三、填空题 11．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 12．已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 13．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为 .    四、解答题 14．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 15．如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，，分别为，的中点，记平面与底面的交线为. (1)证明：直线平面； (2)若在直线上存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线，所成角为，且满足，求. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何高频题型复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：7大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 空间向量及其运算】 1．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 2．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 3．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 4．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 5．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 6．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 【题型2 空间向量基本定理】 7．如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 8．如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 9．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 11．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 【题型3 空间向量的坐标表示】 12．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 13．（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 14．（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 15．在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知，， 就是二面角的平面角，即， 以为原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， 设， 由，可知， ，， ，， 解得， ， ， 当时，取到最小值，即取到最小值. 故选：A 16．已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 17．棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为 .若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，则， 又平面，所以平面， 由于动点在正方体内及其边界上， 且，所以动点所围成的图形是矩形， 则面积为； 设△边上的高为，则， 由正弦定理可得， 所以，故， 设，又因为，整理得：， 所以空间动点的轨迹是以为球心， 2为半径且位于正方体内的部分球体，又因为， 所以. 故答案为：；. 【题型4 空间向量与位置关系】 18．（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】BC 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故D错误； 故选：BC. 19．（多选）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 【答案】ABC 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长， 则， 对于A，取的中点，连接，则， ，而直线，于是，梯形即为平面截正方体所得截面， ，因此梯形为等腰梯形，A正确； 对于B，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，即，因此平面平面，B正确； 对于C，由点为中点，得，而平面的法向量为， 则，于是平面，而平面，因此平面，C正确； 对于D，，设， 则， 此时，即不成立， 所以不存在点，使得，D错误. 故选：ABC 20．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； (2)设直线与平面交于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，设平面的法向量为， 所以即，令，则， 则，所以，即平面. （2）连接相交于点，则点是中点，连接， 因为平面，故且平面， 而平面，故平面，故平面平面， 所以的交点就是，连接， 又是的中点，所以，， 所以，所以，即. 21．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 22．如图，在直三棱柱中，，，D是的中点，F是上一点，且． (1)求证：平面； (2)若，判定直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【详解】（1）因为，是的中点，所以，取的中点，则平面， 分别以、、所在直线为x轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图， 因为，， 所以，，，，，， 因为，所以. ，，， 因为，， 所以，， 又，平面，所以平面； （2）平面， 因为，所以， 所以． 设平面的法向量为，则，有，取，则． 因为，不在平面上，所以平面． 23．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.    (1)若点满足，求证：平面； (2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.    所以，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量， 所以， 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 若，则， 所以， 所以，， 又平面，所以平面. （2）假设底面内存在一点，使得平面， 设， 又，所以， 又平面的一个法向量，所以， 所以，解得，， 所以底面内存在一点，使得平面，此时. 【题型5 求线线角、线面角、二面角】 24．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面平面，且 为交线，，平面， 平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，在Rt中，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设二面角的平面角为， 则. 故选：C 25．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：    过作，垂足为，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，．，， 设平面的法向量为， 则令，得． 取平面的一个法向量为， 设二面角为，则， 所以二面角的余弦值为． 故选：A 26．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 27．已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】因，，三条侧棱两两垂直，且， 故可将该几何体置于棱长为2的正方体中，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则异面直线与所成角的余弦值为： . 故答案为：. 28．如图，在四棱锥中，和均为边长为的等边三角形. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，所以， 因为，， 所以，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面. （2）法1：因为为等边三角形，所以， 又因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 即，所以， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，， 则平面的一个法向量为， 依题意， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 法2：设点到平面的距离为， 即， 因为， 所以， 又因为，所以， 设直线与平面所成角为，则. 29．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 30．如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点， 所以，因为四边形为菱形， 所以，所以. 因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面， 又平面，所以. （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 31．在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个三等分点，点在线段上的动点． (1)若平面，求出点的位置； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)为上靠近的三等分点 (2) 【详解】（1）假设为上靠近的三等分点， 分别为、的三等分点， ， ， ， 又平面，平面， 平面， 所以为上靠近的三等分点． （2）在平面内，过点作垂线， 底面，， ，，平面， 平面， 以为原点，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ， 设，， ，， ， 且，， 设平面的一个法向量， 则，， ， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，． 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.    【题型6 已知线面角、二面角求其他】 32．四面体ABCD中，面面，，，平面内的不同两点P、Q满足，，则 . 【答案】 【详解】已知，， 取中点为，因为，所以， 因为平面平面ABD，平面，平面平面ABD=AB， 所以平面ABC， 因为，所以， 如图建立空间直角坐标系. 已知，， 所以 , 设平面内的点P、Q的坐标为， , 满足，， ，， 同理,， 由于是不同两点，不妨设, 所以 故答案为：. 33．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    【答案】2 【详解】设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形， 又AB=2，易得， 如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．    则， 所以， 设平面BED的法向量为， 则，令z=1则，， 因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°， 所以， 由，解得，所以AE＝2． 故答案为：2. 34．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 【答案】 【详解】∵平面，平面，∴，， 又，，平面，∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则, ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 若平面与平面的夹角为， 则，解得， 所以该多面体的体积为. 故答案为：. 35．如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 即，解得，则，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，所以两两垂直，且， 则三棱锥的外接球等价于三棱锥补成的一个长方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，可得， 所以， （2）解：由（1）知两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面所成的角为， 因为平面与平面夹角的正弦值为，即，则， 则，解得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 36．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)AE的长为. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱， 所以，因为D为AB中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面面， 所以面，面， 所以平面面. （2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ，设面的法向量为， ， 则，所以，令，则， 所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为， 所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为， 即，即， 解得：或（舍去）， 所以，AE的长为. 37．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 【题型7 空间中的距离问题】 38．（多选）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 【答案】ABD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为，所以． 所以点到直线的距离为．正确， 对于B：因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为正确， 对于C：设平面的一个法向量为，． 由，令，则，即． 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误， 对于D：因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离． ，由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确， 故选：ABD 39．如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，又, 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ，即，， 所以在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 40．如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，，，， 所以，, 所以四边形为正方形， 所以,所以， 所以,即，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，即平面； （2）由（1）有， 以点为原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系， 由，则， ， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角为； （3）由（2）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点D到平面的距离为， 所以点D到平面的距离为. 41．如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， ∴，又，，平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面. （2）∵平面，平面，∴，， 又，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得，， ∴， 平面的法向量为， ∵平面与平面的夹角的余弦值为，∴， 解得，即， 所以，， 所以点到平面的距离为． 法（二）等体积法，∴，，， ∴， ∵，∴， ∴， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得， ∴点到平面的距离为． 42．如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）方法一：且. 是中点，四边形ABCD是矩形，且. ，四边形是平行四边形，. 又不在平面内，平面，平面. 方法二：平面平面，平面平面， 平面，，平面PAB. 又，则以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空闻直角坐标系，设，，则. 依题意得，，，，，，. ，平面PBC的一个法向量为，. 又平面PBC，平面PBC. 法三：（1）平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，，平面PAB. 以为原点，在平面PAB内过点且与AB垂直的直线为轴，以AB所在直线为轴，过点且与BC平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 依题意得，，，，，， 取PC中点G，连接BG， 由题可得，， ，. ，， 又平面，平面，平面 （2）方法一：平面平面，平面平面， 平面，，平面 又平面，. 又，，平面，平面， 平面. 又平面，. 即为平面与平面的夹角，. 又，，，. 又由（1）知G为PC的中点，. 平面，平面，. 又，平面，平面，平面. 点到平面的距离为. （注：此处亦可用等体积法求解.设点到平面PAC的距离为， 由得， 即，解得） 方法二：平面的一个法向量为，，， 设平面的一个法向量为，则取. 平面与平面的夹角为， ，解得. ，， 平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 方法三：平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则 取. 平面与平面的夹角为， ， 解得或.，. 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离. 43．如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图：    以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 【题型8 存在性问题】 44．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 【答案】AB 【详解】连接，则，故A正确； 点到直线的距离，故B正确； 以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，则，， 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 整理得，解得，故C错误； 在平面中，过，分别作，，垂足为，， 则点，到平面的距离之和为． 设，则， 当点与重合时，点，到平面的距离之和最大， 所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误． 故选：AB 45．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【详解】（1）证明，连接， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，所以四边形为平行四边形， 所以,平面,,所以平面ABCD. （2）由题意知：两两垂直，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点，使得平面，连接，设， 因为，， 所以，则， 由平面可得，，即，解得：， 此时，， 故当时，平面. 46．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，点在线段上靠近点的三等分点处. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）由题意知，当平面平面时，四棱锥的体积最大， ∵平面平面，，平面平面， 平面. ∴平面，为直线和平面所成角， ∵菱形的边长为4，， ∴，， ∴，. （3） 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， 设，则， 设平面的法向量为， ，令，则，， ∴， ∵平面平面，，平面平面， ∴平面，则可以作为平面的一个法向量， ∴，解得， 所以存在点使平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上. 47．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，. (1)求点C到平面的距离； (2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）如图所示，取中点，连结，， 因为三角形是等腰直角三角形，所以， 因为面面，面面面， 所以平面，又因为， 所以四边形是矩形，可得， 则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则： 据此可得， 设平面的一个法向量为， 则，令可得， 从而，又， 故求点到平面的距离. （2）假设存在点，，满足题意， 点在线段上，则， 即：，，，，， 据此可得：，，从而，，，， 设与平面所成角所成的角为， 则， 整理可得：， 解得：或（舍去）. 据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即. 48．如图，已知多面体中，底面，，，其中底面是由半圆及正三角形组成. (1)若是半圆上一点，且，求证：平面； (2)半圆上是否存在点，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：∵，且，∴ ∵是正三角形.∴，∴，∴ ∵，∴ ∵平面，平面，∴平面. （2）以的中点为原点，以的中垂线所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图的空间直角坐标系 易得，，，，， 设平面的一个法向量为，则由，得 ，，取，则，，∴ 设点，则，且 设平面的一个法向量为，则由，得 ，，取，则，，∴. ∵二面角是直二面角，∴，∴. 结合，可得，；，（舍掉）. ∴，∴. ∴，故存在点，使得结论成立. 49．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． (1)求证：； (2)当点为线段的中点时，求点到平面的距离； (3)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，且. 【详解】（1）证明：连接、， 因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形， 因为为的中点，故， 因为为等边三角形，为的中点，则， ，平面，平面，则， ，故. （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，平面， 因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，所以点到平面的距离为. （3）解：设，其中， ， 由题意， 整理可得，因为，解得， 因此，存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时. 一、单选题 1．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 2．如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得： . 故选：C. 3．已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 4．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5．如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 6．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故选：. 7．在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】已知在等腰直角三角形中，，. 设，则，即，解得. 根据三角形面积公式.   因为为的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，. 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，所以平面.   以为原点，分别以所在直线为，轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，. 因为，可得，化简得.   已知，. 根据点到直线的距离公式，可得到距离. 又因为点到直线的距离为，所以，即. 因为，所以当时，取得最大值，则的最大值为，即点到平面距离的最大值.   ，根据三棱锥体积公式，所以.   则四面体体积的最大值为. 故选：C. 二、多选题 8．若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 9．如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，易知， 结合C选项可得点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC． 10．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积是 B．存在点，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则的轨迹的长度为 【答案】BC 【详解】对于选项A，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 又点是棱的中点，则，易知到底面的距离为， 所以，所以A错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于选项B，因为，，则，设与所成的角为， 则， 因为，故，故， 又，所以存在点，使得与所成的角为，故选项B正确； 对于选项C，易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，故，， 所以， 又， 故，即的取值范围为，所以选项C正确； 对于选项D，因为，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，所以选项D错误； 故选：BC. 三、填空题 11．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【详解】由图可得 . 故答案为：. 12．已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】 【详解】法1：取的中点为，的中点为，的中心为， 则三点共线，连接，则， 由正三角形可得，同理， 而平面，故平面， 而平面，故，故为二面角的平面角， 因为，故，故 设二面角的平面角为，则. 设直线与平面所成的角为， 由三正弦定理得 又，所以，进而可得. 法2：取的中心为，的中点为，连接，，， 则三点共线，且， 故， 设，，则， 故， 设直线与平面所成角为，因为为平面的法向量， 所以，因为为正四面体，故， 故， ， 而， 故， 当时，； 当时，. 因为，故，故，故， 故， 综上，， 故答案为： 13．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为 .    【答案】/ 【详解】   以为坐标原点，以分别为轴建立直角坐标系， 在延长线上取，使，所以， 表示到平面的距离， 所以， 当平面，平面，此时取的最小值， 因为，所以， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题 14．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 15．如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，； （2）由（1）知平面，平面，， 以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面与平面夹角为， 则 16．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为为半圆的直径，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）方法1： ，当且仅当时等号成立. 设圆心为，连接，在平面上过作， 连接，在平面上过作，如图所示. 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面ABC，平面， 则，，平面，所以平面，而平面， 于是，所以为平面与平面的夹角， 在平面上，，有，得，， ，有，得， 则，， 平面与平面所成锐角的余弦值为. 方法2： 据（1）知，面，， 当时，达到最大： 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为z轴.设平面与平面的法向量分别为，. 则点，，，，. ，；则； 令，可得；因为平面的法向量为. 则平面与平面夹角的余弦值. 17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 18．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，，分别为，的中点，记平面与底面的交线为. (1)证明：直线平面； (2)若在直线上存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线，所成角为，且满足，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），分别是，的中点，， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面，， 由题意可得，即， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面. （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以，. 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线. 取的中点记为，连接，则. 因为，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，即是平面的一个法向量， 所以. 又直线与平面所成角为， 于是. 又， 而异面直线，所成角为，于是. 假设存在点满足题设，则，即，所以. 当时，，此时有； 当时，，此时有. 综上所述，这样的点存在，且有. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$