精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期数学5.30定时练习

2025年重庆八中九下数学5.30定时练习 一、选择题 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. π D. 0.3 2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 4. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 6. 如图，与是以点O为位似中心位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有9个圆，···，按此规律，第12个图案中圆的个数是（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 8. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则长为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题 10. 计算： ______________ 11. 小庆有两顶帽子，分别为红色和黑色；有三条围巾，分别为红色，黑色和白色．他随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好都是红色的概率是______． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是_____________ 13. 某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为_________． 三、解答题 14. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 15. 先化简，再求值：，其中x满足． 16. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M 的正东方向．（参考数据：，，） （1）求灯塔M到巡逻船航线距离（结果保留根号）； （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M，小艇的速度为40海里/小时．在小艇从B出发的同时，巡逻船从B处出发直接去M．已知巡逻船的速度为35海里/小时．请计算巡逻船和小艇谁先到灯塔M，早到多少时间？（近似值精确到0.01） 17. 某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． （1）请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： （2）火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 18. 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查，接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距10海里的C处，随即以每小时海里的速度前往拦截． （1）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（结果保留根号） （2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行时间． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年重庆八中九下数学5.30定时练习 一、选择题 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. π D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，结合无限不循环小数为无理数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，0.3，都不是无限不循环小数，即都不是无理数；π是无限不循环小数，即是无理数． 故选：C． 2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限．由可知，反比例函数图象在第二、四象限，即可求解． 【详解】解：反比例函数中， 图象位于第二，第四象限， 故选：D． 4. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．先根据二次根式的混合计算法则得出，再估算的范围即可得到答案． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在3和4之间， 故选：D． 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可. 【详解】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意； C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的周长比为， 与的相似比为，即． ∴． 故选：C． 7. 用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有9个圆，···，按此规律，第12个图案中圆的个数是（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查找规律的数学问题，解题的关键是通过分析前几个图案中圆的个数，找出其数量变化的规律，进而得出第个图案中圆的个数的表达式，再代入求解． 先观察前几个图中圆的个数，找出规律得到通项公式，再将代入通项公式计算． 【详解】第（1）个图案中有个圆； 第（2）个图案中有个圆； 第（3）个图案中有个圆； …… 以此类推，可得出第个图案中圆的个数为， 当时，把代入， 可得（个）， 所以第12个图案中圆的个数是27个． 故选：C． 8. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等．根据切线长定理得到，，，结合三角形的周长公式可求得的周长． 【详解】解：是的切线，， ，，， 的周长 ． 故选：D． 9. 如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答此题的关键． 首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， 四边形为正方形，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，在中，， 故答案为：D． 二、填空题 10. 计算： ______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂和负整数指数幂，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 小庆有两顶帽子，分别为红色和黑色；有三条围巾，分别为红色，黑色和白色．他随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好都是红色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图，共有个等可能的结果，恰好都是红色的结果有个，再由概率公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，恰好都是红色的结果有个， ∴恰好都是红色的概率为， 故答案为：． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】作OG//CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG=CG，根据菱形的性质可得OB=OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CF∥GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长． 【详解】解：如图，作OG//CD交BC于点G， ∵四边形ABCD是菱形，且AB=5， ∴BC=CD=AB=5，OB=OD， ∴， ∴， ∵CE=1， ∴， ∵CF//GO， ∴△ECF∽△EGO， ∴， ∴， ∴CF的长为， 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 13. 某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万，设2、3月份用户数量月平均增长率为x，根据题意，可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万， 可得：， 故答案为： 三、解答题 14. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，涉及解一元一次不等式组，先分别解不等式组中各个不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”得到不等式组解集，即可确定整数解．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； ，则不等式组的所有整数解为． 15. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，原式= 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解一元二次方程．先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后解出的值，把有意义的的值代入计算即可． 【详解】解： ； ， ， 或， 当时，原式无意义， 把代入得： 原式 ． 16. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M 的正东方向．（参考数据：，，） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离（结果保留根号）； （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M，小艇的速度为40海里/小时．在小艇从B出发的同时，巡逻船从B处出发直接去M．已知巡逻船的速度为35海里/小时．请计算巡逻船和小艇谁先到灯塔M，早到多少时间？（近似值精确到0.01） 【答案】（1）灯塔M到巡逻船航线的距离为海里； （2）巡逻船先到灯塔M，早到小时． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应有，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点作延长线于点，根据正切值得到，，再根据海里求解即可； （2）如图所示，过点B作交延长线于点G，解直角三角形求出，，然后求出巡逻船和小艇到灯塔M的时间，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作延长线于点， 在中，， ， 在中，， ， 海里， ， 海里， 即灯塔M到巡逻船航线的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作交延长线于点G， 根据题意得，（海里） ∴（海里） ∴巡逻船到灯塔M的时间为（小时） ∵港口C位于B的东南方向 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴海里 ∵海里 ∴（海里） ∵海里 ∴小艇到灯塔M的时间为（小时） ∴（小时）． ∴巡逻船先到灯塔M，早到小时． 17. 某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． （1）请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： （2）火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】（1）A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 （2）小明出发4秒后会受到噪音影响 【解析】 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 小问1详解】 解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． 【小问2详解】 假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18. 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查，接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距10海里的C处，随即以每小时海里的速度前往拦截． （1）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（结果保留根号） （2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行时间． 【答案】（1）海里 （2）1小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，（海里），可得，先解在，求出，，再解，即可求解； （2）设经过小时，海监船在D处恰好追上可疑船只，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得，（海里）， ∴， ∴在中，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， 答：海监船接到通知时，距离岛A 海里； 【小问2详解】 解：设经过小时，海监船在D处恰好追上可疑船只， 则， ∴， ∵中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴经过1小时，海监船在D处恰好追上可疑船只． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得，得到，再待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，作交轴于，令交于，则可求出直线的解析式为，从而可得，证明，由相似三角形的性质可得，即当最大时，取得最大值，设且，则，求出的最大值即可，此时，，得出、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得，即的最小值为的长，求出直线的解析式为，联立得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）利用平移求出新抛物线解析式为，联立，得出；再分两种情况：当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则；当点在直线的下方时，延长交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作交轴于，令交于， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设且，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，此时的值也最大， 当时，，即， ∴， ∴、关于轴对称， 连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴的最小值为的长， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， ∴，即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵原抛物线为，直线的解析式为， ∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的下方时，延长交于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$