精品解析：安徽省六安第一中学2025届高三综合模拟（三）数学试题

六安一中2025届高三综合模拟试卷数学试卷（三） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式以及二次函数的性质化简集合，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得，得 故， 故选：D 2. 已知复数,，并且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果. 【详解】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得，利用向量的模长公式及数量积的坐标运算，得，，，再利用夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，，所以， 故选：D. 4. 设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. C. D. A与B有可能对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】对A：借助相互独立事件定义计算即可得；对B：借助概率公式计算即可得；对C：借助条件概率公式计算即可得；对D：借助对立事件定义即可得. 【详解】对A：由，故，则有， 故与相互独立，故与相互独立，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，由未定，故C错误； 对D：，故与不是对立事件，故D错误. 故选：A. 5. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数、中位数的定义逐项判断. 【详解】令样本数据总个数为 对于A，，A不是； 对于B，，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：C 6. 六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）种. A. 348 B. 288 C. 360 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】讨论6人乘坐3只船或乘坐2只船，根据这两种情况，结合分组分配模型，即可列式求解. 【详解】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法. 故选：A 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合反函数的性质判断ABC；利用零点存在性定理及不等式性质推理判断D 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，， 由反函数性质知，关于对称，则，，，ABD错误； 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，，因，则，故A正确； 对于B，由，，可得，则，故，故B正确； 对于C，由B项可得，则，故C错误； 对于D，因，故D正确. 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 动点轨迹是一个圆 B. 动点的轨迹所围成的面积为6 C. 动点的轨迹跟坐标轴不相交 D. 动点离原点最短距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得，结合可知，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故A、C错误；由点到直线的距离即可验证D；B转换成面积的两倍来求即可. 【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得． 又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为． ，且时，方程为；，且时，方程为； ，且时，方程为；，且时，方程为． P点对应的轨迹如图所示：   ，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误； 原点到：的距离为，D正确； 轨迹图形是菱形，面积为，B正确． 故选：BD. 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可得最小正周期；对于B：整理可得，结合复合函数单调性分析判断；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域. 【详解】因为. 对于A，因为 ， 所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为， 令，可得，其图象开口向上，对称轴为， 可知内单调递增，且在内单调递增， 所以在上是单调函数，故B正确； 对于C，， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，因为， 所以函数为周期函数，且是函数的一个周期， 只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域， 由， 则， 当时，，故， 此时，函数在上单调递增， 当时，，， 此时，函数在上单调递减， 所以当时，， 又因为，则， 则函数的值域为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先得到是函数的一个周期，进而结合导数分析函数在上的值域，即为函数在上的值域，进而求解即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则________________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先化简条件等式，并求角的值，再代入求正切值. 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以. 故答案为： 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数.若存在实数，使得方程有6个不相等实数根，则实数的取值范围是_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的大致图象，由题得，三点的高度应满足或，∴或，解不等式即得解． 【详解】对于，，对其求导，， 易得， 故函数在单调递减，在单调递增，且． 当时，，如要满足题意，作出其大致图象需如图： 由题得，，． ∵函数的图象和直线有六个交点， ∴，，三点的高度应满足或， 即或． 显然，由三点高度知道，， ∴解不等式可得或， 综合得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：由得到单调性，画出图形，根据零点的个数，进而得到的大致图象，从而确定，，三点的高度关系，转为坐标大小是关键，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． （1）求证：； （2）若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得； （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面法向量，利用面面角的向量求法求解． 【小问1详解】 取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以． 【小问2详解】 由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则， 取，得， 设是平面的法向量，则， 取，得， 则平面与平面夹角的余弦值为． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，且满足 （1）求角的大小 （2）的内心为，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得,再根据即可求解； （2）设的内心为，，在中，由正弦定理得，再根据三角恒等变换求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 【小问2详解】 由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求证：无论a取何值，都有两个极值点； （3）设的极大值点为，极小值点为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式求出定义域. （2）求出函数的导数，利用极值点的意义推理判断. （3）由（2）的信息，结合韦达定理计算并化简，再利用基本不等式，构造函数并利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数中，，解得或， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 求导得， 令，由，，得，， 因此方程有两个不等实根， 显然，当或时，， 当或时，，则有两个变号零点， 所以函数始终有两个极值点. 【小问3详解】 由（2）知，，， ， ， 由，得，， ，， ， 令，则，令，求导得， 函数在上单调递增，， 所以. 18. 已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； （3）在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）依据题意求解出基本量，再得到标准方程即可. （2）设出交点坐标，利用韦达定理表示，，再通过运算证明定值即可. （3）将问题转化向量数量积问题，并假设定点存在，得到，再求解方程，发现方程有解，证明存在性即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . 【小问3详解】 由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 【点睛】关键点点睛：解题关键是假设定点存在，然后转化为向量数量积定值问题，建立方程，求解出定点坐标，得到所要求的结果即可． 19. 已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，…，是公差为1的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，以此类推． （1）当，时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）结合题意根据等差数列通项公式求解即可； （2）结合题意根据等差数列通项公式得，计算即可求解； （3）由题可知：，当时，结合题意根据等差数列通项公式得，利用累加法可得，根据等比数列求和化简可得，当时，也满足上式，即. 【小问1详解】 由题可知：，，…，为公差为1的等差数列， 故， ，，…，为公差为的等差数列，故， 解得； 【小问2详解】 由题可知：，，…，为公差为1的等差数列， 故； ，，…，为公差为的等差数列， 故． ，，…，为公差的等差数列， 故． ，又为正整数，故， 即的最小值为； 【小问3详解】 由题可知：， 当时，，，…，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得 ，，…，， 累加得． 当时，． 当，． 也即． 由题，，则， 当时，，仍然满足上式．综上，． 【点睛】关键点点睛：本题第（1）问、第（2）问解题关键在于根据题意利用等差数列通项公式求解；第（3）问，关键在于当时，，，…，是公差为的等差数列，得出，运用累加法可得，即求得每组等差数列首项，再根据等差数列通项公式求解得，最后检验是否满足上式，即得数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025届高三综合模拟试卷数学试卷（三） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数,，并且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. C. D. A与B有可能是对立事件 5. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A B. C. D. 6. 六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）种. A. 348 B. 288 C. 360 D. 60 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 动点的轨迹是一个圆 B. 动点的轨迹所围成的面积为6 C. 动点的轨迹跟坐标轴不相交 D. 动点离原点最短距离为 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则________________________． 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 14. 已知函数.若存在实数，使得方程有6个不相等实数根，则实数的取值范围是_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． （1）求证：； （2）若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角余弦值. 16. 在中，角所对边分别为，已知，且满足 （1）求角的大小 （2）的内心为，求周长的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求证：无论a取何值，都有两个极值点； （3）设的极大值点为，极小值点为，求证：. 18. 已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； （3）在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，…，是公差为1的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，以此类推． （1）当，时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $