精品解析：山东省日照市莒县三中教育集团2024-2025学年七年级下学期6月月考数学试题

2024—2025学年度下学期七年级第二次素养练习 数学试题 （时间：120分钟，分值120分） 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位贸上） 1. 的平方根是（　　） A. 7 B. ﹣7 C. D. 2. 已知数据，3.14159265，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图，下列条件不能证明的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则∠2为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5. 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为，则相应的3个内角度数之比为；②在中，若，则为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角；⑤如果和是对顶角，那么；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 9. 若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 10. 如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 一个瓶子中有一些豆子，从瓶子中取出一些豆子，记录这些取出的豆子的粒数为20，给这些豆子做上记号，把这些豆子放回瓶子中，充分揺匀.从瓶子中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数为30，其中带有记号的豆子粒数为6，则可以估算出此时瓶中剩下的豆子的粒数大约是______. 12. 把命题：“内错角相等．”改写“如果...，那么...”的形式为：____________________． 13. 已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 15. 根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为_______． 16. 【数学活动回顾】：七年级下册教材P115中我们曾探究过“以方程的解为坐标(的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】请你根据二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，写出两条直线的交点坐标为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组： （3）解不等式组：，并写出它的最大整数解． 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为． （1）将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B． ①点M平移到点A的过程可以是：先向　　　　平移　　　　个单位长度，再向　　　　平移　　　　个单位长度； ②点B的坐标为　　　　； （2）在（1）的条件下，若点C的坐标为，连接，求的面积． （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 随着科技的不断发展，越来越多的中学生拥有了自己的手机，某中学课外兴趣小组为了了解中学生每周使用手机的时间，随机抽取了该校部分使用手机的中学生进行调查（问卷调查表如下所示），并利用调查结果绘制了图①②两幅“中学生每周使用手机的时间统计图”（均不完整），请根据统计图表解答以下问题： 中学生每周使用手机的时间问卷调查表 （1）本次接受问卷调查的共有 人，在扇形统计图中“”选项所占的百分比为 ； （2）在扇形统计图中，“”选项所对应扇形的圆心角为 度； （3）请补全条形统计图； （4）若该校共有 名中学生，请你估计该校每周使用手机的时间在“”选项的有多少名学生． 20. 已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 22. 北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元． （1）求购进A、B两种滑雪板的单价； （2）若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？ 23. 已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点. （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系. （2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数. （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN－∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期七年级第二次素养练习 数学试题 （时间：120分钟，分值120分） 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位贸上） 1. 的平方根是（　　） A. 7 B. ﹣7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数解答即可． 【详解】，7的平方根是， 的平方根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，解题关键是先求出49的算术平方根． 2. 已知数据，3.14159265，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，熟记概念是解题的关键． 初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等，以此判断即可解答． 【详解】解：无理数的有，，而3.14159265是有限小数，为有理数，是整数，为有理数，是整数，为有理数， 故选：C． 3. 如图，下列条件不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定； 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得，不符合题意； B、由可得，不符合题意； C、由可得，不符合题意； D、由可得，不能得出，符合题意； 故选：D． 4. 如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则∠2为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】作直线l平行于已知的这组平行线，直线l将三角板的一个角分为∠3和∠4，根据平行的性质可知∠1=∠3，∠4=∠2，又有∠3+∠4=45°，∠1=25°，即可求出∠2． 【详解】解：作直线，直线l将三角板的一个角分为∠3和∠4，如图所示： ∵， ∴， 则根据两线平行，内错角相等，即有∠1=∠3，∠4=∠2， ∵∠3+∠4=45°，∠1=25°， ∴∠2=∠4=45°-∠3=45°-∠1=45°-25°=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的基本性质，理解平行线的性质定理是解题关键． 5. 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：点在第四象限，点到轴的距离是，到轴的距离是， 的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 7. 下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为，则相应的3个内角度数之比为；②在中，若，则为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角；⑤如果和是对顶角，那么；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形及三角形的内角和定理，平行线的性质，平移的性质等．①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；②根据三角形的内角和定理解答即可；③根据平移的性质解答即可；④根据三角形的外角性质解答即可；⑤根据对顶角相等解答即可；⑥由角平分线的性质及三角形内角和定理解答即可 ． 【详解】解：①错误，设三角形的3个外角的度数分别为，，， ∴，解得， 个外角的度数分别为，，， 其对应的内角分别为、、， 个内角度数之比为； ②错误，设，则，，，解得， ； ③错误，根据平移的性质可知，在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行或在一条直线上； ④错误，应该是三角形的一个外角大于任何一个不相邻内角； ⑤正确，如果和是对顶角，那么； ⑥错误，两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 综上所述：错误的个数为5个． 故选：D． 8. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得到∠BEF=，∠CFE=，再根据邻补角的定义得到180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，则可计算出 ∠AEF=42.5°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE=77.5°，然后把∠AFE=77.5°代入180°-∠AFE=∠2+∠AFE即可得到∠2的度数． 【详解】解：如图，∵△ABC沿EF翻折， ∴∠BEF=，∠CFE=， ∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE， ∵∠1=95°， ∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°， ∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°， ∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°， ∴， ∴∠2=25°． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了三角形的内角和定理的应用． 9. 若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有3个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2，3， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的k的整数值为：9，10，和为； 故选B． 10. 如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键．分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】解：，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 一个瓶子中有一些豆子，从瓶子中取出一些豆子，记录这些取出的豆子的粒数为20，给这些豆子做上记号，把这些豆子放回瓶子中，充分揺匀.从瓶子中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数为30，其中带有记号的豆子粒数为6，则可以估算出此时瓶中剩下的豆子的粒数大约是______. 【答案】70粒 【解析】 【分析】首先计算出第二次取出的记号豆子占所有记号豆子的比例，再用第二次取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出. 【详解】解:根据题意可得记号豆子的比例： 此时瓶中剩下的豆子的粒数大约是： 故答案为70. 【点睛】本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，注意要理解抽样调查和普查的区别. 12. 把命题：“内错角相等．”改写“如果...，那么...”的形式为：____________________． 【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】根据命题的概念求解即可． 【详解】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等． 【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握命题的结构是题设和结论两部分组成是解题的关键． 13. 已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ∵， ∴， ∴ 当是钝角三角形时，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 15. 根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理. 根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长是宽的倍． 故答案为： 16. 【数学活动回顾】：七年级下册教材P115中我们曾探究过“以方程的解为坐标(的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】请你根据二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，写出两条直线的交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，数形结合是解题的关键．利用两点确定一条直线，画直线，利用画出的图象写出交点坐标即可； 【详解】解：如图所示， 取点，，作出的图象，取点，，作出的图象； 观察图象，两条直线的交点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组： （3）解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【答案】（1）4；（2）；（3），最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查出实数的混合运算，解二元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先算乘方、算术平方根、立方根，再算乘法，最后算加法即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （3）先分别解不等式组中的不等式，再根据同小取小得出不等式的解集，即可得最大整数解． 【详解】解：（1）； （2）方程组整理得：， ①-②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最大整数解为． 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为． （1）将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B． ①点M平移到点A的过程可以是：先向　　　　平移　　　　个单位长度，再向　　　　平移　　　　个单位长度； ②点B的坐标为　　　　； （2）在（1）的条件下，若点C的坐标为，连接，求的面积． （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①右，3，上，5；② （2）； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）①根据点M到点A的移动过程判断即可； ②根据①得到的平移方式解答即可； （2）根据三角形的面积计算即可； （3）设，根据题意得到求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点M的坐标为，点A的坐标为， ∴点M到点A的移动过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度或先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度； 故答案是：右，3，上，5或上，5，右，3； ②∵点N的坐标为， ∴B点的横坐标为：，纵坐标为：， 所以B点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图：； ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设，根据题意得到， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、点坐标的平移规律、解绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识进行计算成为解答本题的关键． 19. 随着科技的不断发展，越来越多的中学生拥有了自己的手机，某中学课外兴趣小组为了了解中学生每周使用手机的时间，随机抽取了该校部分使用手机的中学生进行调查（问卷调查表如下所示），并利用调查结果绘制了图①②两幅“中学生每周使用手机的时间统计图”（均不完整），请根据统计图表解答以下问题： 中学生每周使用手机的时间问卷调查表 （1）本次接受问卷调查的共有 人，在扇形统计图中“”选项所占的百分比为 ； （2）在扇形统计图中，“”选项所对应扇形的圆心角为 度； （3）请补全条形统计图； （4）若该校共有 名中学生，请你估计该校每周使用手机的时间在“”选项的有多少名学生． 【答案】（1）； （2） （3） 补全条形统计图如图所示： （4）名 【解析】 【分析】（1）根据C项有50人，占总调查人数的，求出总的调查人数即可；根据D项人数与总人数求出百分比即可； （2）用乘以“”选项所占百分比即可得出答案； （3）求出A选项的人数，补全统计图即可； （4）用样本中“”选项的百分比估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次接受问卷调查的共有：（人）， 扇形统计图中“”选项所占的百分比为： ， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“”选项所对应扇形的圆心角为： ， 故答案为：72． 【小问3详解】 解：A项中人数为：（人）， 【小问4详解】 解：（名）， 答：该校每周使用手机的时间在“”选项的有240名学生． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． 20. 已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）由三角形的外角性质得，结合，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 21. 【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 【答案】（1）①>；②<；③>；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解作差法是解答本题的关键． （1）①②根据作差法的意义解答即可； ③用作差法比较即可； （2）先表示出，再用作差法比较即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴． 故答案为：>； ②∵， ∴． 故答案为：<； ③， ∵， ∴， ∴． 故答案为：>； （2）设两扇形部分外的空白面积为d， 则， ∴， ∴． 22. 北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元． （1）求购进A、B两种滑雪板的单价； （2）若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】（1）购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元； （2）该校共有5种购买方案． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元，根据“购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板，根据“购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可求出m的取值范围，结合m，均为正整数，即可得出该校共有5种购买方案． 【小问1详解】 设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元； 【小问2详解】 设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板， 根据题意得：， 解得：， 又∵均为正整数，且m必须为偶数， ∴m可以为， ∴该校共有5种购买方案． 23. 已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点. （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系. （2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数. （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN－∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少. 【答案】（1）∠C=∠1+∠2；（2）60°；（3）结论①的值不变是正确的. 【解析】 【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C=∠1+∠2； （2）根据（1）中的结论可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设∠CEG=∠CEM=x，得到∠GEN=180°-2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF=90°-x，据此可得的值不变． 【详解】解：（1）∠C=∠1+∠2． 理由：如图1，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CD∥MN， ∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2． （2）∵∠AEN=∠A=30°， ∴∠MEC=30°， 由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°， ∴∠PDC=90°-∠MEC=60°， ∴∠BDF=∠PDC=60°； （3）结论①的值不变是正确的， 设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x， ∴∠BDF=90°-x， ∴ ==2（定值）， 即的值不变，值为2． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $