精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

四川省达州市渠县中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题，共32分) 一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （a3）4＝a12 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a8÷a2＝a4 2. 据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（ ）米 A B. C. D. 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 4. 如图，点、分别在线段、上，与相交于点，已知，现添加以下条件，仍不能判定是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，点C，D分别在线段，上，与相交于点E，若，，则图中全等三角形的对数为（） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 8. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，AD＝c，则EF的长为（ ） A. c－a B. c－b C. a－b+c D. a+b－c 第Ⅱ卷(非选择题，共68分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 9. 计算：______． 10. 一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为_____． 11. 骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是___________． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则_____． 13. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=_____． 三、解答题(本大题共5个小题，共48分) 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，点D、E、F、G均在的边上，连接BD、DE、FG，∠3=∠CBA，FG//BD． （1）求证：∠1+∠2=180°； （2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A=35°，求∠C的度数． 16. 某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出1个球记下颜色，再把球放回盒子里，店员记录了抽奖数据如表： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0317 0.31 0.301 0.298 0301 （1）通过以上摸奖数据，估计摸到红球的概率为___；(结果精确到) （2）若先从盒子里取出个红球不放回，再从盒子里随机摸出个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则____； （3）若先从盒子里取出a个红球，再放入a个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求a的值． 17. （1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 18. 如图1，在中，于点D． （1）求证：； （2）如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值． B卷(共50分) 一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 19. 若，，则______；______． 20. 如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为___________． 21. 如图，已知，，，则的度数是____________． 22. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则____；(用含的代数式表示 （2）当点运动____s时，． 23. 如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝___． 二、解答题(本大题共3个小题，共30分) 24. 定义，如．已知(n为常数)， ． （1）若，求x的值； （2）若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； （3）若A中的n满足，且，求的值． 25. 直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数； ②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 26. 如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． （1）当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； （2）当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市渠县中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题，共32分) 一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （a3）4＝a12 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a8÷a2＝a4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法的运算法则，依次判断即可． 【详解】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（a3）4＝a12，原计算正确，故此选项符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a8÷a2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 2. 据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米 米 故选：． 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件、随机事件． 不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断即可 ． 【详解】解：A选项：水中捞月是不可能事件，故A选项符合题意； B选项：春风吹又生是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：举头望明月是随机事件，故C选项不符合题意； D选项：鱼戏莲叶东是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：A ． 4. 如图，点、分别在线段、上，与相交于点，已知，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AD=AE，∠A为公共角， A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添BD=CE，等量关系可得AB=AC，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． D、如添，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 6. 下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据余角的定义、直线的性质、补角的定义、两点之间线段最短逐个分析即可解答． 【详解】解：①等角余角相等，故①说法正确； ②两点确定一条直线，故②说法正确； ③同角的补角相等，故③说法正确； ④两点之间线段最短，故④说法错误， 因此正确的是①②③，有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了余角的定义、补角的性质、线段的性质、直线的性质等知识点，熟练掌握相关定义、性质是解题的关键． 7. 如图，点C，D分别在线段，上，与相交于点E，若，，则图中全等三角形的对数为（） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质依次证明图中三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故全等的三角形有4对， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，AD＝c，则EF的长为（ ） A. c－a B. c－b C. a－b+c D. a+b－c 【答案】D 【解析】 【分析】先证明ABF≌CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再结合AD＝c即可求得EF的长． 【详解】解：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∴∠C＋∠D＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠A＋∠D＝90°， ∴∠A＝∠C， 在ABF和CDE中， ， ∴ABF≌CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵AD＝c， ∵EF＝AF－AE ＝AF－(AD－DE) ＝a－(c－b) ＝a＋b－c， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 第Ⅱ卷(非选择题，共68分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用整式的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项法则是解决本题的关键． 10. 一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是整数， ∴这个三角形第三边长是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键． 11. 骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中奇数的面朝下的结果有2种， 故概率是； 故答案为：． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F， 在△DCE和△ABD中， ∵， ∴△DCE≌△ABD（SAS）， ∴∠CDE=∠DAB， ∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°， ∴∠AFD=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°， 故答案为：90度． 【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键． 三、解答题(本大题共5个小题，共48分) 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用有理数乘方、零次幂、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 如图，点D、E、F、G均在的边上，连接BD、DE、FG，∠3=∠CBA，FG//BD． （1）求证：∠1+∠2=180°； （2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A=35°，求∠C的度数． 【答案】（1）见解析；（2）75° 【解析】 【分析】（1）根据∠3=∠CBA可以得到DE∥AB，即可得到∠2=∠DBA，再根据FG//BD即可求解； （2）根据平行线的性质可以得到∠EDC=∠A=35°，根据角平分线的性质可以得到∠BDE=35°，从而得到∠ABD=35°，∠ABC=70°，再根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：（1）∵∠3=∠CBA， ∴DE∥AB， ∴∠2=∠DBA， ∵FG//BD， ∴∠DBA+∠1=180° ∴∠1+∠2=180°； （2）由（1）得DE∥AB，∠2=∠DBA， ∵∠A=35°， ∴∠EDC=∠A=35°， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC=∠2=35°， ∴∠DBA=35°， ∵BD平分∠ABC ∴∠ABC=2∠DAB=70° ∵∠A+∠C+∠ABC=180° ∴∠C=180°-∠A-∠ABC=75° 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16. 某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出1个球记下颜色，再把球放回盒子里，店员记录了抽奖数据如表： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）通过以上摸奖数据，估计摸到红球的概率为___；(结果精确到) （2）若先从盒子里取出个红球不放回，再从盒子里随机摸出个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则____； （3）若先从盒子里取出a个红球，再放入a个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求a的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应概率，还涉及了必然事件． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3； （2）根据题意可得需要拿出所有的红球即可； （3）根据题意可得拿掉a人红球，加入a个黑球后，则红球，再由概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3， 故答案为：0.3， 【小问2详解】 ∵估计摸到红球的概率为0.3， ∴盒子里红球的数量为个， ∵ “摸出黑球”必然事件， ∴袋子只有黑球，需要拿出所有的红球， ∴x=12， 故答案为：12； 【小问3详解】 解：由（2）知红球的数量为12个， 根据题意得，解得． 17. （1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 18. 如图1，在中，于点D． （1）求证：； （2）如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等进行解答即可； （2）根据同角的余角相等得出，根据三角形外角的性质得出，根据等式性质得出，即可证明结论； （3）证明，得出，根据三角形面积公式得出，即可得出，根据，利用完全平方公式变形得出，根据，得出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为40， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂线定义，完全平方公式变形求值，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． B卷(共50分) 一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 19. 若，，则______；______． 【答案】 ①. 8 ②. 12 【解析】 【分析】根据完全平方公式，，将，代入计算即可． 【详解】解：由完全平方公式：，代入数据： 得到：， ∴， ∴， 故答案为：8，12． 【点睛】本题考查了完全平方公式及其恒等变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 20. 如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题关键，根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为， 正方形网格总面积为， 针尖落在阴影部分的概率为器， 故答案为：． 21. 如图，已知，，，则度数是____________． 【答案】115° 【解析】 【分析】延长交于，由平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则____；(用含的代数式表示 （2）当点运动____s时，． 【答案】 ① α ②. 2或5 【解析】 【分析】（1）先证明，由对顶角性质得到，则； （2）①当点E在射线上移动时，证明，则，得到，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案；②当点E在射线上移动时，作点作交直线于点，，证明，则，得到，点从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，， ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：2或5． 23. 如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝___． 【答案】2.5 【解析】 【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明，，由此可得，，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵EF⊥AB，AH⊥BC， ∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°， ∵AEBC， ∴∠EAF＝∠B， 在与中， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵BH＝1， ∴CH＝1.5， ∴BC＝BH＋CH＝2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 二、解答题(本大题共3个小题，共30分) 24. 定义，如．已知(n为常数)， ． （1）若，求x的值； （2）若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； （3）若A中的n满足，且，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ． 小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 25. 直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数； ②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45° 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解； ②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答； （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论.. 【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ， ∴∠AOB＝90°， ∵∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°． ②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下： 同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO ＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°． （2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2， ∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°， 又∵∠BOA＝90°， ∴∠GAO＞90°， ①∵∠E＝∠EAF＝30°， ∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°， ∴∠OAE＝15°， ∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO） ∴∠ABO＝60°． ②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90° ∴∠E+∠F=90° ∴∠E=22.5° ∴∠EFA=90-22.5°=67.5° ∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°， ∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45° ∴∠ABO=90°-45°=45° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系. 26. 如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． （1）当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； （2）当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）①补全图形见解析，；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$