精品解析：2025年新疆维吾尔自治区吐鲁番市九年级中考三模数学试题

2025年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的 指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号 等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 众数是92 B. 中位数是 C. 平均数是84 D. 方差是13 5. 估算的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 9. 如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 11. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 12. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 13. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 14. 如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为________． 15. 如图，在等边三角形中，点P，Q 分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是________ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：， 其中 17. （1）解不等式组： （2）如图，已知矩形． ①尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E， 交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） ②连接．求证：四边形是菱形． 18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 19. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证： （1）； （2）． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 22. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 23. 【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 2025年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷) (卷面分值：150分：考试时间：120分钟) 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指 定位置上. 2.答卷前，请考生务必将自已的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位 号等信息填写在答题卡的密封区内. 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题列出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答) 1.在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作+20元，则支出10元记作() A.+10 元 B.~10 元 C+20 元 D-20 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有 相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.首先审清题意， 明确“正”和“负”所表示的意义：再根据题意作答. 【详解】解：如果收入20元记作+20元，那么支出10元记作-10元， 故选：B. 第1页/共33页 6学科网命组卷网 2.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为(). 主视方向 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图解答即可. 【详解】根据立体图形得到： 主视图为： 左视图为： 俯视图为： 故答案为：A 【点睛】此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法 3.下列各式运算正确的是() A.3a'b-2a'b=2ab B.a'a=a C.a5÷a2=a D.(a2）°=a 【答案】C 第2页/共33页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则 是解题的关键.根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解。 【详解】解：A.3a6-2a2b=a ，故该选项错误，不符合题意： B.a2.a=a ,故该选项不正确，不符合题意： a5÷a2=a C ,故该选项正确，符合题意； D.(d=a,故该选项不正确，不符合题意： 故选：C 4.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85,81,82,86,82， 83,92,89.关于这组数据，下列说法中正确的是() A.众数是92 B.中位数是84.5 C.平均数是84 D.方差是13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键. 找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数， 求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可. 81,82,82,83,85,86,89,92 【详解】解：排列得： 出现次数最多是82，即众数为82： 最中间的两个数为83和85，即中位数为84： (81+82+82+83+85+86+89+92)÷8=85 ,即平均数为85： g[81-8y+2082-85+(83-8+(85-85r+686-85+(89-5+(02-85] 8×16+18+4+1+16+49) 第3页/共33页 6学科网 命组卷网 =13 即方差为13. 故选：D 5.估算 3 的值在() A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，后估算计算即可. 【详解】 +}=6+1 .2=V4<V6<9=3 :2+1KV6+1<3+1 即3V6+1<4 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键. 4-k y= 6.在反比例函数x的图象上有两点A(x,乃)，B(:),当x<0<时，有片<2，则k的取 值范围是() A.k<0 B.4>0 a.k<4 D.k>4 【答案】C 【解析】 4-k 【分析】根据题意可得反比例函数y= x的图象在一三象限，进而可得4-k>0,解不等式即可求解」 【详解】解：当<0<名时，有片<力， 第4页/共33页 6学科网命组卷网 4-k y= .反比例函数 x的图象在一三象限， .4-k>0 解得：k<4, 故选：C 4-k y= 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数 x的图象在一三象限是解 题的关键. 7.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长 一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳 去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺， 竿长y尺，根据题意得()（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） x-y=5 y-x=5 1 2-y=5 x-y=5 x-y=5 A y2=5 2x=y+5 y-2x=5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量 竿，则绳比竿短5尺列方程组即可. x-y=5, 1 【详解】解：由题意得 y- =5, 故选A. 8.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和 第5页/共33页 学科网命组卷网 中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,m>川).若小正方形 面积为5，(m+m=21, 则大正方形面积为() m n A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题 型.由题意可知，中间小正方形的边长为m一”，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方 形的面积为 m2+n2 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m一n, :(m-n=5.即mr2+n2-2mm=50, (m+n)2=21 :m+m+2mn=21@. ①+②得2(m2+n2)=26 m2+n2=13 大正方形的面积 故选：B 9.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有n个数，且两端的数 1 均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为() 第6页/共33页 命学科网 命组卷网 1 2 2 36 11 1 1 1 1 A.60 B.168 C.280 D.252 【答案】B 【解析】 11 1 【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于n-2n的结果再乘n-1,再把n的值代入即可 得出答案。 【详解】解：寻找规律： 1 ·第n行有n个数，且两端的数均为n,每个数是它下一行左右相邻两数的和， 111 .第6,7,8行从左往右第1个数分别为678： 111111 第7,8行从左往右第2个数分别为6742’7856： 111 第8行从左往右第3个数分别为4256168. 故选B 【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规 律 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10.若代数式Vx-3 有意义，则实数x的取值范围是 第7页/共33页 6学科网 组卷网 【答案】x≥3拼3≤x 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键. 根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可. 【详解】解：代数式Vx-3 有意义， .x-3≥0. 解得，x≥3. 故答案为：x≥3， 11.若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角 和定理求出求边数.首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数. 【详解】，正多边形的一个内角是140°， .它的一个外角是：180°-140°=40， ,多边形的外角和为360°， ∴.这个正多边形的边数是：360÷40=9 故答案为：9。 12已知方程r-2x+k= 的一个根为2，则方程的另一个根为 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系.设方程的另一个根为，根据两根之和等于 b α，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论. 第8页/共33页 命学科网命组卷网 【详解】解：设方程的另一个根为， 方程-2x+k= 有一个根为2」 -2+m=2, 解得：m=4 故答案为：4. 13.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如 果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h=20t-5t2 ，则小球从飞出到落地要用 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令h=0,求t即可. 【详解】解：令h=201-52=0 解得10 舍去)，专=4 4s ”小球从飞出到落地要用， 故答案为：4. 14如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边 BC AB=8 DE=5 AE 上的点F处.若 则折痕的长为。 第9页/共33页 6学科网命组卷网 A B 【答案】5v5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，由折叠的性质得出FE=DE=5, AF=AD 由勾股定理得出 CF=4 AD=BC=AF=x BF=x-4RtAABF ,设 ,则 ，在 中，由勾股 定理得出方程，解方程求出AD=I0,再由勾股定理即可得出答案. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， :MB=CD=8BC=AD∠B=∠D=∠C=90° :CE=CD-DE=8-5=3 由折叠的性质得：FE=DE=5,AF=AD, :.CF=VEF2-CE2=V52-32=4 设AD=BC=AF=x,则BF=x-4, 在RtAABF中，由勾股定理得：8+(x-4=2, 解得：x=10, :AD=10 .AE=VAD2+DE2=V102+52=55 第10页/共33页 6学科网命组卷网 故答案为： 5V5 15.如图，在等边三角形ABC中，点P,9分别是AC,BC边上的动点（都不与线段端点重合），且 P=C0,40、BP相交于点0.下列四个结论：①考PC=2MP,则B0=60P,②若BC=8, BP=7,则PC=5:③AP=OPA,④若AB=3,则OC的最小值为V5,其中正确的是 【答案】①③④ 【解析】 AC=BC 【分析】根据等边三角形的性质得到 ，根据线段的和差得 CP=B,过P作PD∥BC交 AQ 于D,根据相似三角形的性质得到O正确：过B作BE1AC于B,解直角三角形得到®错误：在根 ∠ABP=∠CAO PB=AQ 据全等三角形的性质得到 ,根据相似三角形的性质得到3正确；以AB为边 作等边三角形NAB,连接CN,证明点N,A,O,B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M, 设CM于圆M交点O',CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果. 【详解】解：，△ABC是等边三角形， .AC=BC, 第11页/共33页 6学科网列组卷网 AP=CO CP=BO .PC=2AP, BO=2CO 如图，过P作PD/BC交4 于D, D B △ADP∽△AQC△POD∽ABOQ PD AP 1 PD OP .CO AC 3,BOBO, CO=3PD BO=6PD .BO=6OP;故①正确： 过B作BE⊥AC于E, AC=BC=8,BP=7, E-4c=4 第12页/供33页 6学科网6组卷网 .∠C=60°， BE=BC2-CE2=43 PE=PB2-BE2 =1 .PC=4+1=5,或PC=4-1=3,故②错误； 在等边△ABC中，AB=AC,∠BAC=∠C=60°， 在△MBP与△CM0中. AB=AC ∠BAP=∠C AP=CO ·△MBP≌aCAQ(SAS) ∠ABP=∠CAO PB=AQ .∠APO=∠BPA, .△APO∽aBPA. AP OP .PB AP, :AP2=OP.PB .AP2=OP.4 .故③正确： 以AB为边作等边三角形NAB，,连接CN,交AB于点D,如图所示， 第13页/供33页 6学科网列组卷网 D D M E D B :.∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB, .∠PBA=∠QAC ∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°， ∴点N,A,O,B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M, 设CM于圆M交点O',CO'即为CO的最小值， .NA=NB,CA=CB. .CN垂直平分AB, ∴.∠MAD=∠ACM=30°， :.∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°， 在RtAMAC中，AC=AB=3, MA=AC.tan/ACM=3 CM=2AM=23 第14页/供33页 学科网命组卷网 :,MO'=MA=3 .CO'=CM-MO'=3 即C0的最小值为 3,故④正确。 综上：正确的有①③④. 故答案为：①③④， 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三 角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的 关键， 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16计第.121+(×n45°+(2010j c②先化再末值：亿-o2+0)-2a(a+3)+3d,共非0=号 3 【答案】(1)1；(2)4-6a:6 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，整式的混合运算，化简求值： (1)先计算绝对值，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，再合并即可； 1 (2)先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把3代入化简后的代数式计算即可. 【详解1解：4)一21+( ×sin45°+(V2010) 第15页/共33页 命学科网组卷网 (291 =2-2+1 =1: (2)(2-a(2+a)-2a(a+3)t3a =4-a2-2a2-6a+3a2 =4-6a 款4-6x4+2-6 5x+2>3x-2 17.(1)解不等式组： ≥x 2 (2)如图，已知矩形ABCD」 ①尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E,交AB于点F;(不写作法，保留作图痕迹) ②连接AE、CF.求证：四边形AFCE是菱形. 【答案】(1)-2<x≤-1： (2)①如图所示，直线EF为所求： 第16页/共33页 6学科网命组卷网 F 图2 ②证明：设EF与AC的交点为O, 由(1)可知，直线EF是线段AC的垂直平分线 .EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°，OA=OC. 又，四边形ABCD是矩形， .CD∥AB, :.∠ECO=∠FAO. :△COE≌aA0F(ASM) .EC=FA, .EA=EC=FA=FC. ∴四边形AFCE是菱形. 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、尺规作线段垂直平分线、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、 菱形的判定，熟练掌握相关知识是解答的关键. (1)先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即可求解； (2)①根据题中要求作图即可； ②由直线EF是线段AC的垂直平分线.得到EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°， 第17页/供33页 学科网 命组卷网 O1=OC,根据矩形的性质可证△COE2aAOF(4S),可得EC=PA,即可得到 EA=EC=FA=FC ,利用菱形的判定方法即可证的结论. 5x+2>3x-2① 【详解】解：(1) 1-xx+1+1②： 、2-3 解不等式①，得x>-2, 解不等式②，得x≤-1， .不等式组的解集为一2<x≤-1 (2)略 18。打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题 的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类，B:文学类，C:政史类，D:艺术类，E: 其他类)·张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不 完整的统计图（如图所示）· 人数小 20m 1 15 36% 12 10 E8 B 10 D C 0 A BCDE类别 根据图中信息，请回答下列问题： (1)条形图中的m= n= ,文学类书籍对应扇形圆心角等于 度： (2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； (3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种，请用画 树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率. 【答案】(1)18,6,72 第18页/供33页 6学科网 命组卷网 2 (2)480人 (3)9 【解析】 【分析】(I)根据选择“E:其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为，总人数 减去A,B,C,E的人数即为，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角： (2)利用样本估计总体思想求解： (3)通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算， 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：4÷8%=50（人）， m=50×36%=18 n=50-18-10-12-4=6 10 文学类书籍对应扇形圆心角= ×360°=-72°， 50 故答案为：18,6,72； 【小问2详解】 12 2000× =480 解： 50 (人)， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 开始 乙B C D BC DB C D 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 第19页/共33页 学科网命组卷网 2 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：9. 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解 题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理， 19.如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC和AD上的点，连接AE,CF,且AE∥CF.求证： 5 (1)∠1=∠2： (2)△ABE≌△CDF 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形， :.AF∥EC 又.AE∥CF 四边形 ECF 是平行四边形. ∴.∠1=∠2 平行四边形对角相等） (2) ABCD ·四边形 是平行四边形， ∴.AB=CDAD=BC AECF ·四边形 是平行四边形， 第20页/供33页 6学科网列组卷网 .AE=FC AF=CE ∴.BE=FD. 在△ABE和△CDF中， BE=FD AE=FC ·AB=CD .△ABE≌ACDF(SSS) 【解析】 【分析】(1)证明四边形AECF是平行四边形即可： (2)用SSS证明△ABE≌△CDF即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键。 20.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面 示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点 测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向 走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m,EF/ICB,AB交EF 于点G(点C,D,B在同一水平线上).（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， 3≈1.7) 第21页/供33页 6学科网6组卷网 E 35K60° D B 图① 图② (1)求屋顶到横梁的距离AG: (2)求房屋的高AB(结果精确到lm), 【答案】(1)4.2米；(2)14米 【解析】 【分析】(1)EF/1CB可得∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AGE中 tan∠AEG=AG EG即可求AG; (2)设EH=x,利用三角函数由x表示DH、CH,由DH-CH8列方程即可求解. 【详解】解：(1)·房屋的侧面示意图是轴对称图形，AB所在直线是对称轴，EF/1CB, E 3560 D H B ·AGLEF, EG-2EF=6,∠ABG=∠ACB=35°， 2 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°， :tan∠AEG=AG G,EG=6,tan35°≈0.7. :AG=6tan35°≈42 (米) 答：屋顶到横梁的距离AG约是4.2米. 第22页/供33页 学科网命组卷网 (2)过点E作EH⊥CB于点H,设EH=x, 在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°， :tan∠EDH=EH DH=x DH,. tan60°， 在RtAECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35° CH,.CH=-x :tan∠ECH=El tan35 .CH-DH=CD=8 x =8 .tan35°tan60° .tan35°≈0.7V3≈1.7 解得x≈9.52 :4B=4G+BG=42+9.52=13.72≈14（米 答：房屋的高AB约是14米. 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构 造直角三角形利用三角函数和己知条件列方程解决问题. 21.【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校 决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍。 【素材呈现】 A,B 素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高206 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个： 2 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的3. 第23页/共33页 学科网丽组卷网 【问题解决】 A.B (1)问题一：求出两种书架的单价： (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的 购买方案： 1 -m (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价元，B种书架每个涨价3”元，按 问题二的购买方案需花费21120元，求的值. 【答案】(1)1200元；1000元 (2) w=200a+20000(a≥8)：购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题. (1+20%)x (1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元，用18000元购买A种书架 18000 9000 (1+20%)x个，用9000元购买B种书架x个，根据素材仁即可列出方程，求解并检验即可解答； (2)根据总费用=A种书架的总费用十B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值 范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； (3)根据总费用=A种书架的总费用+B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答. 【小问1详解】 (1+20%)x 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元. 18000 9000 =6 由题意得(1+20%)x 解得x=1000 经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意， 第24页/供33页 命学科网组卷网 ∴.(1+20%)x=1200 A,B 答： 两种书架的单价分别为1200元，1000元. 【小问2详解】 解：购买a个A种书架时，购买总费用w=1200a+1000(20-a), 即w=200a+20000. 2 a≥ (20-a) 由题意得，a应满足： 3 解得a≥8， .200>0 ∴"随着a的增大而增大， 当a=8时，"的值最小，最小值为200×8+20000=21600， ∴.费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个. 【小问3详解】 解：由题意得 (1200-m)×8+ 1000+-m×12=21120 3 解得m=120 22如图，AB为⊙0 为O的直径，DA和O D0相交于点R,1C平分∠D1B,点c在o0上，且 ,⊙O，CD⊥DA 和 AC交BF 于点P. 第25页/供33页 6学科网组卷网 D P B CD⊙O (1)求证： 是的切线： (2)求证： AC·PC=BC2 AF (3)己知BC2=3FP.DC,求AB的值. 【答案】(1)证明：如图1，连接OC, 0 B 图1 .OA=OC. .∠OAC=∠OCA. :AC平分∠DAB, :.∠DAC=∠OAC, .∠DAC=∠OCA, 第26页/供33页 6学科网命组卷网 DAOC CD⊥DA, .OC⊥CD, CD⊙O 是 的切线： (2)证明：·AB为⊙0 为 的直径， .∠ACB=90°， :AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠BAC, :∠DAC=∠PBC, .∠BAC=∠PBC, 又.∠ACB=∠BCP, :.△ACB∽ABCP, AC BC ∴.BCPC, :AC·PC=BC2 1 (3)3 【解析】 【分析】(1)连接 OC,由等腰三角形的性质得∠04C=∠0C1,再证∠D1C=∠0CA,则DMOC 然后证OC⊥CD，,即可得出结论； 第27页/供33页 6学科网 组卷网 ∠ACB=90°，∠DAC=∠PBC∠BAC=∠PBC ACB∽ABCP (2)由圆周角定理得 ,再证 ,然后证 AC BC 得BCPC,即可得出结论； (3)过P作PE⊥AB于点E,证AC·PC=3FP.DC,再证△ACD∽aBPC,得AC·PC=BP.DC, 则BP.DC=3FP.DC,进而得BP=3FP，,然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，过P作PE⊥AB于点E, D EO 图2 由(2)可知， AC·PC=BC2 ·BC2=3FP.DC .AC.PC=3FP.DC. CD⊥DA, 第28页/共33页 6学科网6组卷网 .∠ADC=90°. :B为⊙0 的直径， .∠BCP=90°， .∠ADC=∠BCP, .∠DAC=∠CBP, .△ACD ABPC, AC DC .BP PC, .AC.PC=BP.DC. .BP.DC=3FP.DC. .BP=3FP. :4B为O0的直径， .∠AFB=90°」 .PF⊥AD, C平分 ∠DAB,PE⊥AB .PF=PE. 1 SAF·FP。AFED AB.PE 21 BP.AF 2 AF FPFP 1 .AB BP 3FP 3. 第29页/供33页 6学科网 命组卷网 23.【问题背景】(1)如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.求证： AE=AF 【类比迁移】(2)如图2，在菱形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点， ∠FAE=∠ABC=60°.延张长MF交BC的延长线于点”.求证：MC=DF,BH, 【拓展应用】(3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，F为CD上一点，延长BF交AD的延长 CF 线于点M,连接CM,延长AF交CM于点N,已知AF=nFN,求∠AWC的度数，并直接写出CN 的值.（用含n的式子表示） D 图1 图2 图3 【答案】 (I)证明：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠B=∠D 又：AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, .∠AEB=∠AFD=90° 在△ABE与△ADF中， I∠B=∠D ∠AEB=∠AFD AB=AD ∴.△ABE≌△ADF(AAS) 第30页/共33页 6学科网命组卷网 .AE=AF: (2)证明：连接AC, D B E 图2 ABCD 四边形 为菱形， .AB=AD=CD=BC∠B=∠D=60 ∴.△ABC,△ACD 和 均为等边三角形， ∴.AC=AB∠ACD=60°=∠B=∠BAC .∠EAF=∠B, ∴.∠EAF=∠BAC ∴.∠BAE=∠CAF. :∴△BAE2△CAF(ASA :AF AE, .AD川BC ∴.∠DAF=∠H, :∠D=∠B=∠EAF, ∴.△EAH∽AFDA, AE EH ..DF AF, AE·AF=DF.EH, :.AE2=DF·EH 第31页/供33页 6学科网 组卷网 CF √n(n+l) (3)CN n+1 【解析】 【分析】(I)欲证明AE=AF,只需要证得△ABE2△ADF即可； (2)连接AC,根据菱形的性质得到AB=AD=CD=BC,∠B=∠D=60,根据等边三角形的性质得 到AC=AB,∠ACD=60°=∠B=∠BAC,由全等三角形的性质得到AF=AE,根据平行线的性质 得到∠DAF=∠H,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论： (3)在BC上取点E,使∠EAF=6O°，连接EF,AC,根据全等三角形的性质得到BE=CF,根据 相似三角形的判定和性质定理即可得到结论， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：在BC上取点E,使∠EAF=60°，连接EF,AC, A D M B E 图3 由(2)知△AEF为等边三角形，△BAE2aCAF, ∴.BE=CF .BC=CD ∴.EC=DF DM BC 第32页/供33页 6学科网 组卷网 BF CF BE .FM DF EC, BF BE ∴.BMBC, ∴.∠FBE=∠MBC ∴.△FBE∽AMBC ∴.∠BFE=∠BMC .EF CM ∴.∠ANC=∠AFE=60° ∴.∠ANC=∠ACF=60° ∴.△AFC∽AACN .AC2 AF.AN 设FN=1,则AF=n,AN=n+1, ∴.AC=Vn(n+l) CF AC n(n+1) .CN AN n+1. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性 质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键， 第33页/供33页