精品解析：2025年新疆维吾尔自治区吐鲁番市九年级中考三模数学试题

2025年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的 指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号 等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 众数是92 B. 中位数是 C. 平均数是84 D. 方差是13 5. 估算的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 9. 如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 11. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 12. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 13. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 14. 如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为________． 15. 如图，在等边三角形中，点P，Q 分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是________ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：， 其中 17. （1）解不等式组： （2）如图，已知矩形． ①尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E， 交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） ②连接．求证：四边形是菱形． 18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 19. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证： （1）； （2）． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 22. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 23. 【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的 指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号 等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图解答即可． 【详解】根据立体图形得到： 主视图为： 左视图为： 俯视图为： 故答案为：A． 【点睛】此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法． 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 众数是92 B. 中位数是 C. 平均数是84 D. 方差是13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键． 找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可． 【详解】解：排列得：， 出现次数最多是82，即众数为82； 最中间的两个数为83和85，即中位数为84； ，即平均数为85； ，即方差为13． 故选：D． 5. 估算的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，后估算计算即可． 【详解】， ∵， ∴ 即， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键． 6. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 9. 如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘，再把n的值代入即可得出答案． 【详解】解：寻找规律： ∵第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第6，7，8行从左往右第1个数分别为； 第7，8行从左往右第2个数分别为； 第8行从左往右第3个数分别为． 故选B． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 12. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 13. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 14. 如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，由折叠的性质得出，，由勾股定理得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为： ． 15. 如图，在等边三角形中，点P，Q 分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是________ ． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过P作交于D，根据相似三角形的性质得到①正确；过B作于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到③正确；以为边作等边三角形，连接，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心M，设于圆M交点，即为的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过P作交于D， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴；故①正确； 过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或，故②错误； 在等边中，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 以为边作等边三角形，连接，交于点，如图所示， ∴，， ∵， ∴ ， ∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心M， 设于圆M交点，即为的最小值， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：， 其中 【答案】（1）1；（2）；6 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，整式的混合运算，化简求值； （1）先计算绝对值，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，再合并即可； （2）先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式． 17. （1）解不等式组： （2）如图，已知矩形． ①尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E， 交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） ②连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、尺规作线段垂直平分线、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识是解答的关键． （1）先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即可求解； （2）①根据题中要求作图即可； ②由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，利用菱形的判定方法即可证的结论． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）①如图所示，直线为所求； ②证明：设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 19. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）用证明即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 又． 四边形是平行四边形． 平行四边形对角相等 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）4.2米；（2）14米 【解析】 【分析】（1）可得，在中由即可求AG； （2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，， ∴，，． 在中，，， ∵，，． ∴（米） 答：屋顶到横梁的距离约是4.2米． （2）过点作于点，设， 在中，，， ∵，∴， 在中，，， ∵，∴． ∵， ∴， ∵，， 解得． ∴（米） 答：房屋的高约是14米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元 （2）；购买A种书架8个，B种书架12个 （3）120 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． 【小问2详解】 解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． 【小问3详解】 解：由题意得 ， 解得． 22. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． 23. 【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【解析】 【分析】（1）欲证明，只需要证得即可； （2）连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：（1）四边形是菱形， ，． 又于点，于点， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：连接， 四边形为菱形， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在上取点，使，连接，， 由（2）知为等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 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