第六章平行四边形 单元练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下第六章平行四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，，则AB的长是（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 3．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（　　） A．18 B．24 C．23 D．14 5．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 6．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个角是（　　） A．90° B．15° C．120° D．130° 7．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，AC⊥AB，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．137° B．153° C．127° D．143° 8．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝4，EF＝1，则AB为（　　） A．3 B．2.5 C．3.5 D．4 9．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 10．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定 二．填空题（共6小题） 11．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是 　 　 ． 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，EF过点O与AD，BC分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长　 　 ． 13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　 　 ． 14．平行四边形的一个角的平分线把一条边分为5和4两部分，则平行四边形的周长为　 　 ． 15．如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB＝5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE＝2cm，则AF＝　 　 cm． 16．如图，在正五边形ABCDE中，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于点G，则∠EAG的度数为 　 　 °． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由． 18．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，求这个多边形的边数． 19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3． （1）求证：BN＝DN； （2）求△ABC的周长． 20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形． （2）连接BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD． 21．如图，点E，F分别在▱ABCD的边DC，CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，垂足分别为G，H．求证：DG＝BH． 22．如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 23．（创新题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝l0cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． 北师大版数学8年级下第六章平行四边形参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C D D B B A 一．选择题（共10小题） 1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B'AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B'AC∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B'AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B'AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，，则AB的长是（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，再证明四边形ABDE是平行四边形，则DE＝AB，所以CE＝2AB，由∠F＝90°，∠ECF＝∠ABC＝60°，求得∠CEF＝30°，则CFCE＝AB，所以EFAB＝2，则AB＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵DE∥AB，AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE＝AB， ∴CE＝2AB， ∵EF⊥BC， ∴∠F＝90°， ∵∠ECF＝∠ABC＝60°， ∴∠CEF＝90°﹣∠ECF＝30°， ∴CFCE＝AB， ∴EFAB， ∵EF＝2， ∴AB＝2， ∴AB＝2， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明CE＝2AB，CF＝AB是解题的关键． 3．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝5，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝AE＝4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论． 【解答】解：连接CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，CD＝AB＝5 ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴CE＝AE＝4， ∵DE＝3， ∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴ACAE＝4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出辅助线证得∠CED＝90°是解决问题的关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（　　） A．18 B．24 C．23 D．14 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA（∠DAB+∠CBA）＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA ∴∠DAP＝∠DPA ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP+PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴BP6， ∴△APB的周长＝6+8+10＝24； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用． 5．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 【分析】由题意得出AF垂直平分CE，AF平分∠CAE，由F的坐标得出OF、CF，根据三角函数求出AF，再证明Rt△CDF≌Rt△BAO，得出DF、OD，即可得出结果． 【解答】 解：如图所示：∵△ACE是等边三角形，点C与点E关于x轴对称， ∴AF垂直平分CE，AF平分∠CAE， ∴∠CFD＝90°＝∠BOA，CF＝BO， ∵E点的坐标是（7，﹣3）， ∴OF＝7，CF＝3， 在Rt△AFC中，∠CAF＝30°， ∴AF9， ∴AO＝AF﹣OF＝2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝DC， 在Rt△CDF和Rt△BAO中，， ∴Rt△CDF≌Rt△BAO（HL）， ∴DF＝AO＝2， ∴OD＝OF﹣DF＝7﹣2＝5， ∴D点坐标为（5，0）； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形特征、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 6．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个角是（　　） A．90° B．15° C．120° D．130° 【分析】n边形的内角和为（n﹣2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用2 570°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补． 【解答】解：∵2 570°÷180°＝14…50°， ∴去掉的内角为180°﹣50°＝130°， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数． 7．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，AC⊥AB，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．137° B．153° C．127° D．143° 【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝53°，AB∥CD，AD∥BC，则∠BAC＝∠DCA＝90°，得∠ACB＝37°，再证OE是△ACD的中位线，得OE∥CD，则∠COE＝90°，然后求出∠FOC＝90°﹣∠ACB＝53°，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝53°，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣53°＝37°， ∵点O为AC的中点，点E为AD的中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴OE∥CD， ∴∠COE+∠ACD＝180°， ∴∠COE＝90°， ∵OF⊥BC， ∴∠FOC＝90°﹣∠ACB＝53°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝90°+53°＝143°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 8．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝4，EF＝1，则AB为（　　） A．3 B．2.5 C．3.5 D．4 【分析】由BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，得∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，由AD∥BC，得∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，则∠AEB＝∠ABE，∠DFC＝∠DCF，可证明AE＝DF＝AB，由AE+DF＝AD+EF＝5，得2AB＝5，则AB＝2.5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF， ∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝4，EF＝1， ∴AD∥BC，AD＝BC＝4，AB＝DC， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DFC＝∠DCF， ∴AE＝AB，DF＝DC， ∴AE＝DF＝AB， ∵AE+DF＝AF+EF+DE+EF＝AD+EF＝4+1＝5， ∴2AB＝5， ∴AB＝2.5， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出AE＝DF＝AB是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【分析】根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答． 【解答】解：连接DN， ∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EFDN， ∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB13， ∴EF的最大值为6.5． ∵∠A＝90°，AD＝5， ∴DN≥5， ∴EF≥2.5， ∴EF长度的可能为5； 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 10．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、HPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，相减即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB， ∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中 ， ∴△ABD≌△CDB， 即△ABD和△CDB的面积相等； 同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等， ∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等， 即S1＝S2． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 二．填空题（共6小题） 11．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是 　1080°　 ． 【分析】根据n边形的每个外角都是45°，求出n，可得结论． 【解答】解：由题意n8， ∴这个多边形的内角和＝（8﹣2）×180°＝1080°． 故答案为：1080°． 【点评】本题考查多边形内角与外角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，EF过点O与AD，BC分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长　12　 ． 【分析】根据平行四边形的性质知，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，所以△OAE≌△OCF，所以OF＝OE＝1.5，CF＝AE，所以四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF，由此就可以求出周长． 【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF， ∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE， ∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE ＝ED+AE+CD+OE+OF ＝AD+CD+OE+OF ＝4+5+1.5+1.5 ＝12． 故填空答案：12． 【点评】本题利用了平行四边形的性质和已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解． 13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　540°或360°或180°　 ． 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°， 所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故答案为：540°或360°或180°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键． 14．平行四边形的一个角的平分线把一条边分为5和4两部分，则平行四边形的周长为　26或28　 ． 【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，证出BE＝AB，分两种情况，即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA ∴AB＝BE， ∵角的平分线AE把一条边分成长是4和5的两部分， 则BC＝AD＝9， 当BE＝4，EC＝5时，AB＝4，周长＝2（9+4）＝26， 当BE＝5，EC＝4时，AB＝5，周长＝2（9+5）＝28， 即▱ABCD的周长是26或28． 故答案为：26或28． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE＝AB是解决问题的关键． 15．如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB＝5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE＝2cm，则AF＝　2.5　 cm． 【分析】由S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，易得AF：AE＝BC：CD＝5：4，继而代入数据求得AF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB＝CD， ∴BC：CD＝AD：AB＝5：4， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴AF：AE＝BC：CD＝5：4， ∵AE＝2cm， ∴AF＝2.5cm． 故答案为：2.5． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握利用面积法求高． 16．如图，在正五边形ABCDE中，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于点G，则∠EAG的度数为 　18　 °． 【分析】根据多边形的外角和为360°及正多边形的每个外角都相等即可求出∠AEG的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAG的度数． 【解答】解：正五边形ABCDE的外角和是360°， ∴每个外角的度数为， 即∠AEG＝72°， ∵AG⊥DE， ∴∠AGE＝90°， ∴∠EAG＝90°﹣72°＝18°， 故答案为：18． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理及正多边形的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由． 【分析】∠AOB的平分线必定经过平行四边形对角线的交点．所以先作平行四边形的对角线，再作∠AOB的平分线．设对角线交点为P，根据平行四边形的性质可得：AP＝BP．再由条件AO＝BO，OP＝OP，可得△APO≌△BPO，进而得到∠AOP＝∠BOP． 【解答】解：如图：OP是∠AOB的平分线； 理由：由四边形AEBF是平行四边形可以知道AP＝BP， 又OA＝0B， 则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线， 所以OP是∠AOB的平分线． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及复杂作图，关键是熟练掌握平行四边形的性质，找出作图的方法． 18．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，求这个多边形的边数． 【分析】设这个外角为x°，则这个内角为3x°，根据邻补角互补得出方程x+3x＝180，求出x，再根据多边形的外角和等于360°求出边数即可． 【解答】解：设这个外角为x°，则这个内角为3x°， x+3x＝180， 解得：x＝45， 解这个正多边形的一个外角为45°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的边数是8． 【点评】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的性质等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键． 19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3． （1）求证：BN＝DN； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论； （2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD＝AB＝10，从而计算周长即可． 【解答】（1）证明：∵AN平分∠BAC ∴∠1＝∠2 ∵BN⊥AN ∴∠ANB＝∠AND＝90° 在△ABN和△ADN中， ∵， ∴△ABN≌△ADN（ASA）， ∴BN＝DN． （2）解：∵△ABN≌△ADN， ∴AD＝AB＝10， 又∵点M是BC中点， ∴MN是△BDC的中位线， ∴CD＝2MN＝6， 故△ABC的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+15+6+10＝41． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形． 20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形． （2）连接BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B＝60°，而∠EFB＝60°，由此可以证明EF∥DC，而DC＝EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形； （2）如图，连接BE，由BF＝EF，∠EFB＝60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB＝EF，∠EBF＝60°，而DC＝EF，由此得到EB＝DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB＝60°，AB＝AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE＝AD． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵∠EFB＝60°， ∴∠ABC＝∠EFB， ∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）， ∵DC＝EF， ∴四边形EFCD是平行四边形； （2）连接BE ∵BF＝EF，∠EFB＝60°， ∴△EFB是等边三角形， ∴EB＝EF，∠EBF＝60° ∵DC＝EF， ∴EB＝DC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠EBF＝∠ACB， ∴△AEB≌△ADC， ∴AE＝AD． 【点评】此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题． 21．如图，点E，F分别在▱ABCD的边DC，CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，垂足分别为G，H．求证：DG＝BH． 【分析】首先连接DF，BE，易得S△ADF＝S△ABES▱ABCD，又由AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，利用面积法，即可证得结论． 【解答】证明：连接DF，BE， ∵点E，F分别在▱ABCD的边DC，CB上， ∴S△ADFS▱ABCD，S△ABES▱ABCD， ∴S△ADF＝S△ABE， ∵DG⊥AF，BH⊥AE， ∴AF•DGAE•BH， ∵AE＝AF， ∴DG＝BH． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意利用S△ADF＝S△ABE求解是解此题的关键． 22．如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，DEBC，GF∥BC，GFBC，则DE∥GF，DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的长即可． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC，GF∥BC，GFBC， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）解：∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝2， ∵DG⊥BH， ∴∠DGB＝90°， ∴BG， 即线段BG的长度为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（创新题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝l0cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． 【分析】由题意得AQ＝t cm，BP＝2t cm，则QD＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），当P从B到C时，CP＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），当P从C返回B时，CP＝（2t﹣10）（cm），再由QD＝CP得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵AD＝8cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动， ∴AQ＝t cm，BP＝2t cm， ∴QD＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm）， 当P从B到C时，CP＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），当P从C返回B时，CP＝（2t﹣10）（cm）， ∵AD∥BC， ∴当QD＝CP时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴8﹣t＝10﹣2t或8﹣t＝2t﹣10， 解得：t＝2或t＝6， 即t的值为2或6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/7 23:16:01；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$