2025年江苏省无锡市中考数学模拟卷（三）

2025无锡中考数学模拟卷（三） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（    ） A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41 3．（本题3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列命题中：（1）相等的圆周角所对的弧相等；（2）相似三角形的面积之比等于相似比；（3）任何三角形有且只有一个内切圆；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．正确的命题个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（本题3分）已知过，两点的直线平行于轴，则的值为（    ） A．－2 B．3 C．－4 D．2 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（本题3分）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（   ）． A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②① 10．（本题3分）如图，点，，，分别在菱形的边，，，上，连结，，若，，，记，当，发生变化时，下列代数式的值不变的是(   ) A． B． C． D． （第八题图） （第九题图） （第十题图） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）4的平方根是 ． 12．（本题3分）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 13．（本题3分）分式方程的解是 ． 14．（本题3分）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为 ． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上．若，，则 ． 16．（本题3分）如图，正六边形的顶点在正方形的边上，则正方形与正六边形的边长的比值是 ． 17．（本题3分）如图，正方形中，，点M、N分别在、上，将正方形沿直线翻折，使点B落在上的点E处． （1）当点E为的中点时，则的面积是 ； （2）设，，则 (用含x的代数式表示)． 18．（本题3分）如图，已知是的直径，为上一点，连接，平分交于点于点，连接交于点，，连接．若，，则 ； ．    （第十五题图） （第十六题图） （第十七题图） （第十八题图） 三、解答题（共96分） 19．（本题8分）先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 20．（本题8分）（1）计算：； （2）分解因式：． 21．（本题10分）如图，在正方形中，对角线，相交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（本题10分）某学校为了更好地推动教育数字化，提高学生使用数字化资源学习的技能，开展了信息素养兴趣课．课程结束后，进行了结课考试，其中测试成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．为了解八、九年级学生的情况，对所有测试成绩进行了统计分析，整理并绘制成如下统计图（不完整）．已知两个年级参加考试人数相同，且九年级有11人获得A等级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)补全下面表格中的数据：________，______，_______； 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 8.76 9 1.0624 九年级 8 1.3824 (3)请你选择两种统计量对本次信息素养兴趣课测试中八、九年级的测试成绩做出评价． 23．（本题10分）【定义】 如果凸四边形的对角线互相垂直，且长度是两倍关系，则称这个凸四边形为“垂倍四边形” 【运用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限内，四边形是垂倍四边形，求点的坐标； （2）垂倍四边形中，，垂足为，，且，，则_____； 【判定】 （3）在中，，点是的中点，点是点关于的对称点，点是点关于的对称点，依题意补全图2，求证四边形是垂倍四边形． 【作图】 （4）已知点、、、的位置如图3所示，用直尺和圆规作垂倍四边形，使得，，点在边上，点在边上． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 24．（本题10分）【背景资料】1638年伽利略斜面实验，如图1，三个质量、大小完全相同的小球从A点分别沿① 、② 、③ 轨道同时滚落，谁先到达终点P？结果令人惊讶，是轨道② ． 【提出问题】伽利略通过反复实验发现此轨道曲线的存在，并命名为“最速曲线”． 问题：该曲线是如何形成的？（终其一生未解） 【问题解决】50多年后牛顿破解：如图2，将一枚硬币，做好半径标记，并放置在直线 l上（此时点A处在切点），沿直线l滚动一周至，A点运动的摆线即为“最速曲线“． 提示： 1．、为点A运动过程中的某一位置点，、及后面题中的也如此； 2．图2中，线段的长弧的长． 【深入探究】 （1）如图3，若硬币的半径为，当A点滚动到线段上处，则的长为 ． （2）如图4，半径分别为、的两圆、从同一点A（B与之重合）出发，沿直线l滚动形成两条“最速曲线”．过程中，当A、、在同一直线上时，标记点A、B分别滚到、处． ① 求证：； ②_ ．（直接写出结论） 【迁移拓展】 （3）如图5，抛物线，，（m、t均为小于0的常数），过公共顶点A作直线分别交两抛物线于点E、F，求：的值． 25．（本题10分）如图，等腰三角形内接于是的直径，是线段上异于的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 26．（本题10分）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 27．（本题10分）（1）如图1，正方形中，E为边上一点，，连接，过点E作交边于点F，将沿直线折叠后，点A落在点处，连接，当点恰好落在上时，直接写出的长 ； （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，直接写出的长 （用含m的代数式表示）； （3）如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，求的长．    28．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)若此二次函数的图象上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (3)以，，，四个点为顶点作矩形，若此二次函数的图象在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为，直接写出a的值． 数学模卷（三）2025.6 数学模卷（三）2025.6 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《2025无锡中考数学模拟卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A B D C B C A 1．D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，准确运用法则计算是正确解答此题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考核知识点：众数，中位数．解题关键点：理解众数和中位数的定义． 根据众数和中位数的定义可以推出结果． 【详解】解：六个数中39出现次数最多，故众数是39； 按顺序第三个数是39，第四个数是41，所以中位数是． 故选C． 3．A 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，解决本题的关键是熟知中心对称图形和轴对称图形的定义．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．根据圆周角定理、相似三角形的性质、三角形的内切圆、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：（1）在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题不正确； （2）相似三角形的面积之比等于相似比的平方，故本小题命题不正确； （3）任何三角形有且只有一个内切圆，命题正确； （4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本小题命题不正确； 综上，只有1个正确的命题， 故选：A． 5．B 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，即可求解． 【详解】解：∵过，两点的直线平行于轴， ∴A、B两点的横坐标相等，即：a=3， 故选B． 【点睛】本题主要考查点的坐标特征，熟练掌握“平行于y轴的直线上的点的横坐标相等”是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正弦的定义及勾股定理，分别过点作轴于点，轴于点，，结合反比例函数k的几何意义，求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 8．B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 9．C 【分析】根据正方形的性质得出，，设长度为，则，分别求出，，，，然后再进行判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 设长度为，则， ∵、、和的长度分别为、、、， ∴， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴图象③为点的轨迹； ∵， 当时，取最小值1，当时，取最大值， 延长，取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，，当时，， ∴图象④为点的轨迹； ∵， ∴当时，取最小值1，当时，取最大值， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面， ∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹； 综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．A 【分析】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，理解菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．过点作于点，连接，设，根据，得出，，证明和相似得，同理和相似，则，进而得，由此可判定和相似，利用相似三角形性质得，则，进而得出 ，即可求解． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 设 和都是直角三角形， 在中， 在中， ， ， 四边形是菱形，且， ，，， ， ，， 又， ， ， 同理：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当，发生变化时，的值不变 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了平方根的知识，理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：4的平方根是． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】两边都乘以x(x-1)，化为整式方程求解，然后检验. 【详解】原式通分得： 去分母得： 去括号解得， 经检验，为原分式方程的解 故答案为 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验. 14．29 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，铁原子的个数相等列式，以及氧原子的个数相等，得出方程组，再解出，即可作答． 【详解】解：依题意， 解得， ∴， 故答案为：29． 15．/ 【分析】本题考查了正切值求线段长，全等三角形的性质，正方形的判定和性质，反比例函数系数的计算，掌握正切值的计算，反比例函数系数的计算方法是关键． 根据正切值的计算得到，，如图所示，过点作轴于点，作轴于点，可证矩形是正方形，设，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查正多边形的对称性，勾股定理，延长与交于点，连接与交于点，连接，，根据正方形和正六边形，可得，即可证明，得到，再证明，得到，，结合正六边形，正方形性质可得、、、都相交与点，且点是这些线段的中点，即可得到直线和是正六边形的两条对称轴，然后在和中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：延长与交于点，连接与交于点，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴，，， ∵正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正六边形，正方形， ∴、、、都相交与点，且点是这些线段的中点， ∴直线和是正六边形的两条对称轴， ∴点和在线段上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴正方形与正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． （2）连接，作垂直于点F，则四边形是矩形，证明，从而得到，，再根据在中，得到，再化简即可的解． 【详解】解：（1）∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的面积是， （2）连接，作垂直于点F，则四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 即， 化简得： 故答案为：，． 18． // 【分析】连接，设，证明点为内心，进而证明为等腰三角形，设，由，可知，由垂径定理可得，即有，在中，结合勾股定理解得的值，即可确定的值；确定，的长度，再证明为等腰三角形，可设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接，    设， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，即平分， 又∵平分， ∴，点为内心， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，解得或（舍去）， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴在中，可有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， ∴，解得，即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形内心、圆周角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 19．，当，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意，，，， 或， 当时，原式，当，原式（两个答案有一个即可）． 20．（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解等知识，解题的关键是： （1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，绝对值的意义，算术平方根的定义等计算即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 21．(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和角平分的定义证明，进而利用等角对等边即可证明结论； （2）过点作于点，根据正方形的性质可得，，，利用三角形函数解得，再结合三角形的性质定理解得，然后由即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，是正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质定理以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 22．(1)图见解析 (2)9，8.76，10； (3)见解析 【分析】本题考查统计图表的综合应用，解题的关键是通过已知条件求出相关数据，再根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法进行求解与分析． （1）先根据九年级A等级人数及所占比例求出总人数，进而补全八年级条形统计图； （2）根据定义分别计算八年级中位数、九年级平均数和众数； （3）依据平均数和方差对两个年级成绩进行评价． 【详解】（1）解：因为九年级有11人获得等级，且等级占比， 所以九年级参加考试的总人数为人， 那么八年级等级人数为人， 补全条形统计图如下： ； （2）解：八年级一共有25人，将成绩从小到大排列，第13个数的位置就是中位数， 等级6人，等级12人，前人， 所以第13个数在等级，等级对应分数9分， 即； 等级11人，等级人，等级人，等级人， ； 等级人数最多，等级对应分数10分，所以； 故答案为：9，8.76，10； （3）解：从平均数角度：八年级平均数8.76分，九年级平均数也是8.76分，说明两个年级学生的平均成绩相同， 从方差角度：八年级方差1.0624，九年级方差1.3824，因为，方差越小数据越稳定，所以八年级学生成绩比九年级学生成绩更稳定． 23．（1）或；（2）45；（3）补图见解析；证明见解析；（4）见解析 【分析】（1）过点作轴于点，与的交点为，证明，得到，再根据垂倍四边形的定义分两种情况讨论即可； （2）设，，则，，利用勾股定理列式，得到，进而求出，得出是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长至点M，使，连接，，设与相交于O，与相交于G，证明，得出，，结合三角形外角的性质可得出，则，然后根据三角形中位线定理得出，，即可得出，，最后根据“垂倍四边形”的定义即可得证； （4）过B作，过A作于H，以为边，在右侧作正方形，作的垂直平分线交于F，交于E，交于D，连接，过A作交于C，连接即可． 【详解】解：点，点， ，， 如图，过点作轴于点，与的交点为， 四边形是垂倍四边形，点在第一象限内， ， ， ， ， ， ， ， 若，则， ，， ； 若，则， ，， ； 综上可知，点的坐标为或； （2）如图，设，， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ； （3）补图如下： 证明：延长至点M，使，连接，，设与相交于O，与相交于G， ∵点是点关于的对称点，点是点关于的对称点， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵D是中点，， ∴，， ∴， ∴四边形是垂倍四边形； （4）如图，过B作，过A作于H，以为边，在右侧作正方形，作的垂直平分线交于F，交于E，交于D，连接，过A作交于C，连接，则四边形即为所求． 理由：延长、相交于S，交于Q，过C作于T， 由作图知：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，即， 又，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是垂倍四边形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，明确题意，灵活运用所学知识，添加合适辅助线，构造相似三角形、全等三角形等是解题的关键． 24．（1）；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）由题意可得，，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，由题意可得线段的长弧的长，求出弧的长即可得解； （2）①由题意可得线段的长弧的长，线段的长弧的长，由弧长公式得出，证明，得出，，由相似三角形的性质可得，从而可得，即可得出，从而可得证；②由①可得，，再证明，即可得解； （3）作轴于，轴于，设直线的解析式为，联立求得 ，即，同理可得，即，证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解（1）由题意可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得线段的长弧的长， ∵弧的长为， ∴， ∴的长为； （2）①由题意可得：线段的长弧的长，线段的长弧的长， ∴，， ∴， 由切线的性质可得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②如图：连接、， 由①可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作轴于，轴于， 设直线的解析式为， 联立，得， 解得：，， ∴，即， 同理可得，即， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长公式、二次函数与一次函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）如图，连接．根据等腰三角形内接于是的直径，得出，即可得，则．根据是的切线，得出，即．证出，即可证明； （2）设，则．由（1）知，，则．．在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 等腰三角形内接于是的直径， ， ， ． 是的切线， ， 即． ． ， ， ； （2）解：， 设，则． 由（1）知，， ． ， ． 是直角三角形， ． ， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】该题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 26．（1）见解析（2）见解析；（3）钝角或直角或．（4）见解析 【分析】（1）作，交于点E，根据，得到，得到，结合，得，故点E即为所求． （2）作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； （3）根据三角形内角和定理，一个三角形中，最多有一个直角或钝角和等边三角形的性质解答即可． （4）过点C作于点C，且满足；过点M作于点M，交所在直线与点N；作的平分线，交于点P；过点P作于点E，作于点G，则点P即为所求． 【详解】解：（1）作，交于点E， 故点E即为所求． ， ， ， 又， 则， ． （2）当为钝角时，如图，作得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当为锐角时，如图，作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当为钝角或直角或时，符合题意； 过点截成等腰三角形， 当为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则只能是等腰三角形的顶角，故点截成等腰三角形的直线只有一条； 当时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或． （4）过点C作于点C，且截取； 过点M作于点M，交所在直线与点N； 作的平分线，交于点P； 过点P作于点E，作于点G， 根据角的平分线性质，得， 延长交于点F， 根据作图，得 四边形是矩形； 则， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角的平分线的基本作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线的基本作图，角的平分线的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和判定，基本作图是解题的关键． 27．（1）3；（2）；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 由翻折性质可知，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3； （2）由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过E作，交延长线于H，作的平分线，交于G，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 即的长为． 28．(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意，可得出此抛物线上有且只有 3 个点到直线的距离等于时，抛物线的顶点到直线的距离等于，即可求出的值，从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标； （3）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，． ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，其中一个是顶点， 当时，， 解得，， 综上所述点的坐标为或或； （3）解：由（2）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， ∴ 解得或（舍去）． ∴当时； 当时，如图： 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为， a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或， ∴当时， 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去） ∴当时， 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去）． ∴当时， 综上所述：当时，a的值为或或或． 答案第32页，共32页 答案第31页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025无锡中考数学模拟卷（三） ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5 、 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6 、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂 缺考 标记 ！ 只能 由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 选择题 １、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.（本题8分） 20. （本题8分） （1） （2） 21. （本题10分） 22. （本题10分） 23. （本题10分） 24. （本题10分） 25. （本题10分） 26. （本题10分） 27. （本题10分） 28. （本题10分） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学模卷（三）2025.6 试卷第 1 页，共 8 页 2025 无锡中考数学模拟卷（三） 一、单选题（共 30分） 1．（本题 3 分）下列运算正确的是（ ） A． 2 3 6a a a = B． 22 3 5a a a+ = C． ( ) 3 2 62 6a a− = − D． 34a a a = 2．（本题 3 分）某班 6 名同学在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39， 这组数据的众数，中位数分别是（ ） A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41 3．（本题 3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（本题 3 分）下列命题中：（1）相等的圆周角所对的弧相等；（2）相似三角形的面积之比等于相似比；（3）任何 三角形有且只有一个内切圆；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．正确的命题．．．．．个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（本题 3 分）已知过 ( ), 2A a − ， ( )3, 4B − 两点的直线平行于 y轴，则a的值为（ ） A．－2 B．3 C．－4 D．2 6．（本题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线OA，OB．且OA OB⊥ ，两射线分别与函 数 ( ) 1 0y x x = −  和 ( ) 4 0y x x =  相交，交点分别为A ， B，连接 AB，则sin ABO 的值 为（ ） A． 1 3 B． 3 3 C． 5 4 D． 5 5 7．（本题 3 分）如图，在 ABCV 中， 3, 2,90 0 ,C BAC BC BC = =  = 边上有一动点D， 作点 B关于直线 AD的对称点 B，在点D从点 B运动到点C的过程中，点B的运动路径 长为（ ） A． 3  B． 2 3  C． 4 3  D． 8 3  8．（本题 3 分）如图，在菱形 ABCD中， 60BAD = ，O为对角线的交点.将菱形 ABCD绕点O逆时针旋转90得 到菱形 ABCD   ，两个菱形的公共点为 E， F ，G， H .对八边形BFB GDHD E  给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 数学模卷（三）2025.6 试卷第 2 页，共 8 页 9．（本题 3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD中，E、F 为线段 AB、BC上的动点，且 45EDF = ，小明用信息 技术软件开展研究，当拖动点 E时，发现线段EA与线段DE、EF、DF和 EC之间存在相互变化关系，设EA长度 为 x，DE、EF、DF和 EC的长度分别为 1y 、 2y 、 3y 、 4y ，在平面直角坐标系中画出点 ( )1,x y 、( )2,x y 、( )3,x y 和 ( )4,x y 的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）． A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②① 10．（本题 3 分）如图，点 E，F ，M ，N 分别在菱形 ABCD的边 AB，BC，AD，CD上，连结EF，MN，若 5AB = ， BE BF AM CN= = = ， sin sinB x EFB=  ，记EF MN y+ = ，当 x， y发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A． y x B． 2 y x C． xy D． y x− （第八题图） （第九题图） （第十题图） 二、填空题（共 24分） 11．（本题 3 分）4 的平方根是 ． 12．（本题 3 分）若 2x − 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 ． 13．（本题 3 分）分式方程 1 2 0 1x x − = − 的解是 ． 14．（本题 3 分）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的 火法炼铜的化学反应方程式为     2 2 2 3 2CuFeS O Cu+4FeO+2Fe O +2 SOx y x x+ =  高温 ，其中 x y， 为常数，则 x y+ 的值 为 ． 15．（本题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABCV 是等腰直角三角形， 90C = ，点 ,A B分别在 x轴、 y轴 上，点C在函数 ( )0 k y k x =  的图象上．若 tan 3BAO = ， 2OA = ，则 k = ． 16．（本题 3 分）如图，正六边形EFGHIJ 的顶点 , , ,E F H I 在正方形 ABCD的边上，则正方形 ABCD与正六边形 EFGHIJ 的边长的比值是 ． 17．（本题 3 分）如图，正方形 ABCD中， 3AB = ，点 M、N分别在 AD、BC上，将正方形沿直线MN翻折，使点 B 落在CD上的点 E处． 数学模卷（三）2025.6 试卷第 3 页，共 8 页 （1）当点 E为CD的中点时，则 CEN的面积是 ； （2）设EC x= ， AM y= ，则 y = (用含 x的代数式表示)． 18．（本题 3 分）如图，已知 AB是 O的直径，E为 O上一点，连接 AE，AC平分 BAE 交 O于点 ,C CD AB⊥ 于点D，连接EB交CD于点G，OF BC∥ ，连接EF．若 45AEF  = ， 10AB = ，则BC = ； BCGS = ． （第十五题图） （第十六题图） （第十七题图） （第十八题图） 三、解答题（共 96分） 19．（本题 8 分）先化简： 2 4 4 5 1 1 1 a a a a a − +  +  +  − −  ，其中 a为整数且 2 1a−   ，再选一个你喜欢的 a的值代入求值． 20．（本题 8分）（1）计算：( ) 0 3.14 9 6cos60− + − − ； （2）分解因式： 3 2 23 12 12a a b ab− + ． 21．（本题 10 分）如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O， DBC 的平分 线 BE交CD于点 E，交 AC于点 F ． (1)求证： EC FC= ； (2)若 2DE = ，求 AB的长． 22．（本题 10 分）某学校为了更好地推动教育数字化，提高学生使用数字化资源学习的技能，开展了信息素养兴趣 课．课程结束后，进行了结课考试，其中测试成绩分为 A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为 10 分，9 分，8 分，7 分．为了解八、九年级学生的情况，对所有测试成绩进行了统计分析，整理并绘制成如下统计图（不 完整）．已知两个年级参加考试人数相同，且九年级有 11 人获得 A等级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)补全下面表格中的数据：a =________，b = ______，c = _______； 年级 平均数/ 中位数/ 众数/ 方差 数学模卷（三）2025.6 试卷第 4 页，共 8 页 分 分 分 八年 级 8.76 a 9 1.0624 九年 级 b 8 c 1.3824 (3)请你选择两种统计量对本次信息素养兴趣课测试中八、九年级的测试成绩做出评价． 23．（本题 10 分）【定义】 如果凸四边形的对角线互相垂直，且长度是两倍关系，则称这个凸四边形为“垂倍四边形” 【运用】 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，点 ( )1,0A ，点 ( )0,3B ，点C在第一象限内，四边形OACB是垂倍四边形， 求点C的坐标； （2）垂倍四边形 ABCD中，AC BD⊥ ，垂足为H ， 2 12AC BD= = ，且 4 5AB = ， 2 5CD = ，则 ACB =∠ _____ ； 【判定】 （3）在 ABCV 中， 45A = ，点D是 BC的中点，点 E是点 B关于 AC的对称点，点 F 是点C关于 AB的对称点， 依题意补全图 2，求证四边形 AFDE是垂倍四边形． 【作图】 （4）已知点A 、B、M 、N 的位置如图 3 所示，用直尺和圆规作垂倍四边形 ABCD，使得 AC BD⊥ ， 2AC BD= ， 点 N 在BC边上，点M 在 AD边上． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 24．（本题 10 分）【背景资料】1638 年伽利略斜面实验，如图 1，三个质量、大小完全相同的小球从 A点分别沿① 、 ② 、③ 轨道同时滚落，谁先到达终点 P？结果令人惊讶，是轨道② ． 【提出问题】伽利略通过反复实验发现此轨道曲线的存在，并命名为“最速曲线”． 问题：该曲线是如何形成的？（终其一生未解） 【问题解决】50 多年后牛顿破解：如图 2，将一枚硬币 O，做好半径OA标记，并放置在直线 l上（此时点 A处 数学模卷（三）2025.6 试卷第 5 页，共 8 页 在切点），沿直线 l滚动一周至 nO ，A点运动的摆线即为“最速曲线“． 提示： 1． iA、 nA 为点 A运动过程中的某一位置点， iO 、 nO 及后面题中的 i nB B 也如此； 2．图 2 中，线段 AT的长=弧 iAT的长． 【深入探究】 （1）如图 3，若硬币的半径为1cm，当 A点滚动到线段 1OO 上 1A处，则 1OA 的长为 cm． （2）如图 4，半径分别为1cm 、1.5cm的两圆 O、 G从同一点 A（B与之重合）出发，沿直线 l滚动形成两条“最 速曲线”．过程中，当 A、 2O 、 2G 在同一直线上时，标记点 A、B分别滚到 2A 、 2B 处． ① 求证： 2 2 2 2O A G B∥ ； ② 2 2:AA AB =_ ．（直接写出结论） 【迁移拓展】 （3）如图 5，抛物线 2 1 3:C y mx t= + ， 2 2 :C y mx t= + ，（m、t均为小于 0 的常数），过公共顶点 A作直线分别交两 抛物线于点 E、F，求： :AE AF的值． 数学模卷（三）2025.6 试卷第 6 页，共 8 页 25．（本题 10 分）如图，等腰三角形 ABC内接于 O AB， 是 O的直径，D是线段OB上异于O B， 的一点．连接CD 并延长交 O于点 E，点 P在 AB的延长线上，且PE是 O的切线． (1)求证：PD PE= ； (2)若 3 1 5 OD PB PE= =, ，求BD的长． 26．（本题 10 分）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行 线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写 出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图 1，在 ABCV 中，点D在BC边上， : 1: 3BD CD = ，在 AB边上求作点 E，使 : 1: 4DE AC = ． 【自主研究】 （2）点 P在 A 内，在图 2 和图 3 中分别求作过点 P截 A 成等腰三角形的一条直线； （3）点 P在 A 内，若过点 P截 A 成等腰三角形的直线只有一条，则 A 满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图 4，已知 ABCV 以及长为 l的线段，点 P在 BC上，点 P到 AB AC、 的垂线段分别为PE、PF，若PE PF l+ = ， 请在BC上作出满足条件的一个点 P． 数学模卷（三）2025.6 试卷第 7 页，共 8 页 27．（本题 10 分）（1）如图 1，正方形 ABCD中，E为 AB边上一点， 6AE = ，连接DE，过点 E作EF DE⊥ 交BC 边于点 F，将 ADEV 沿直线DE折叠后，点 A落在点 A处，连接DF，当点 A恰好落在DF上时，直接写出 A F 的长 = ； （2）如图 2，在（1）的条件下，若把正方形 ABCD改成矩形 ABCD，且 AD mAB= ，其他条件不变，直接写出 A F 的长= （用含 m的代数式表示）； （3）如图 3，在（1）的条件下，若把正方形 ABCD改成菱形 ABCD，且 =60B ， 120DEF = ，其他条件不变， 当 BE A F= 时，求 A F 的长． 数学模卷（三）2025.6 试卷第 8 页，共 8 页 28．（本题 10 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数 2y x bx c= + + 的图象经过点 ( )2,0A ， ( )0, 2B − ． (1)求二次函数的表达式； (2)若此二次函数的图象上有且只有 3 个点到直线 y n= 的距离等于 3 4 ，求此 3 个点的坐标； (3)以 ( ), 0M a ， ( )2,0N a + ， ( )2, 3P a + − ， ( ), 3Q a − 四个点为顶点作矩形MNPQ，若此二次函数的图象在矩形MNPQ 内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为 5 4 ，直接写出 a的值． 答案第 1 页，共 32 页 《2025无锡中考数学模拟卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A B D C B C A 1．D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，准确运用法则计算是正确解答此题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、 2 3 5a a a = ，故该选项不正确，不符合题意； B、2 3 5a a a+ = ，故该选项不正确，不符合题意； C、 ( ) 3 2 62 8a a− = − ，故该选项不正确，不符合题意； D、 34a a a = ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考核知识点：众数，中位数．解题关键点：理解众数和中位数的定义． 根据众数和中位数的定义可以推出结果． 【详解】解：六个数中 39 出现次数最多，故众数是 39； 按顺序第三个数是 39，第四个数是 41，所以中位数是 39 41 40 2 + = ． 故选 C． 3．A 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，解决本题的关键是熟知中心对称图形和轴对称图形的定义．轴 对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中 心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要 熟悉课本中的定理．根据圆周角定理、相似三角形的性质、三角形的内切圆、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：（1）在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题不正确； 答案第 2 页，共 32 页 （2）相似三角形的面积之比等于相似比的平方，故本小题命题不正确； （3）任何三角形有且只有一个内切圆，命题正确； （4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本小题命题不正确； 综上，只有 1 个正确的命题， 故选：A． 5．B 【分析】根据平行于 y轴的直线上的点的横坐标相等，即可求解． 【详解】解：∵过 ( ), 2A a − ， ( )3, 4B − 两点的直线平行于 y轴， ∴A、B两点的横坐标相等，即：a=3， 故选 B． 【点睛】本题主要考查点的坐标特征，熟练掌握“平行于 y轴的直线上的点的横坐标相等”是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数 k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正弦的定义及勾股定理，分别过点 ,A B 作 AC x⊥ 轴于点C， BD x⊥ 轴于点D， OAC BOD∽ ，结合反比例函数 k的几何意义，求出 1 2 AO BO = ，再利用勾 股定理求出 2 2 5AB AO BO AO= + = ，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：分别过点 ,A B作 AC x⊥ 轴于点C，BD x⊥ 轴于点D， ∵OA OB⊥ ， ∴ 90AOB = ， ∴ 90AOC OAC AOC BOD + =  + = ， ∴ OAC BOD =  ， ∵ 90ACO BDO =  = ， ∴ OAC BOD∽ ， ∴ 2 AOC BOD S AO S BO   =     ， ∵ 1 4 , 2 2 2 AOC BODS S= = = 答案第 3 页，共 32 页 ∴ 2 1 4 AOC BOD S AO S BO   = =    ， ∴ 1 2 AO BO = （负值舍去）， ∴ 2AO BO= ， ∴ 2 2 5AB AO BO AO= + = ， ∴ 5 sin 5 AO ABO AB  = = ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了含 30 度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点B的运 动路径是解题关键； 如图，延长BC到 E点，使EC BC= ，连接 ,AE AB，先求得 60BAE = ，再通过垂直平分线的基本性质可知 4AB AB = = ，进而知道点 B的运动路径为以A 点为圆心，半径为 4 的圆弧，即BE，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长BC到 E点，使EC BC= ，连接 ,AE AB， ∵ 90ACB = ， ∴ AC垂直平分BE， ∴ AE AB= ， 又∵ 30 , 2BAC BC =  = ， ∴ 2 4AE AB BC= = = ， 30CAE BAC =  = ， ∴ 60BAE = ， ∵点 B关于直线 AD的对称点 B， ∴ AD垂直平分BB， ∴ 4AB AB = = ， ∴点 B在以A 点为圆心，半径为 4 的圆上运动， ∵当点D与点C重合时，点 B与 E点重合， ∴点 B的运动路径为以A 点为圆心，半径为 4 的圆弧，即BE， ∴点 B的运动路径长为： 60 4 4 180 3BE l   = = ， 答案第 4 页，共 32 页 故选：C． 8．B 【分析】根据菱形 ABCD， 60BAD = ，则 30BAO DAO =  = ， 90AOD AOB =  = ，结合旋转的性质得到点 , , ,A D B C   一定在对角线 ,AC BD上，且OD OD OB OB = = = ，OA OA OC OC = = = ，继而得到 AD C D = ， 30D AH DC H  =  = ，结合 D HA DHC  =  ，继而得到 AD H C DH ≌ ，可证D H DH = ，C H AH = ，同理可 证 , ,D E BE BF B F B G DG  = = = ，证 A BE C DH ≌ ，继而得到DH BE= ，得到 DH BE D H D E BF FB B G DG   = = = = = = = ，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性 质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得 120ED H = ，结合 90D OD = ， 60ODH ODH =  = ，得到 150D HD = ，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证 D OH DOH ≌ ，进一步可得OD OH ，可判定点O到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形 的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长BD，连接OH， 根据菱形 ABCD， 60BAD = ，则 30BAO DAO =  = ， 90AOD AOB =  = ， ∵菱形 ABCD绕点O逆时针旋转90得到菱形 ABCD   ， ∴点 , , ,A D B C   一定在对角线 ,AC BD上，且OD OD OB OB = = = ，OA OA OC OC = = = ， ∴ AD C D = ， 30D AH DC H  =  = ， ∵ D HA DHC  =  ， ∴ AD H C DH ≌ ， ∴D H DH = ，C H AH = ，同理可证 , ,D E BE BF B F B G DG  = = = ， ∵ 30 , , 120EA B HC D A B C D A BE C DH      =  =  =  =  = ， ∴ A BE C DH ≌ ， ∴DH BE= ， ∴DH BE D H D E BF FB B G DG   = = = = = = = ， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 答案第 5 页，共 32 页 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得 120ED H = ， ∵ 90D OD = ， 60ODH ODH =  = ， ∴ 150D HD = ， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据 , ,OD OD DH DH OH OH = = = ， ∴ D OH DOH ≌ ， ∴ 75D HO DHO =  = ， ∵ 60ODH = ， 故OD OH ， ∴点O到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选 B． 9．C 【分析】根据正方形的性质得出 1AB BC CD AD= = = = ， 90ABC BCD CDA DAB =  =  =  = ，设EA长度为 x，则 1EB x= − ，分别求出 ( )2 21 1 0 1y DE x x= = +   ， ( ) 2 4 2 2 0 1y EC x x x= = − +   ， ( ) 2 2 1 0 1 1 x y EF x x + = =   + ， ( ) ( ) 2 3 2 2 2 0 1 1 x y DF x x + = =   + ，然后再进行判断即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD为正方形， ∴ 1AB BC CD AD= = = = ， 90ABC BCD CDA DAB =  =  =  = ， 设 EA长度为 x，则 1EB x= − ， ∵DE、 EF、DF和 EC的长度分别为 1y 、 2y 、 3y 、 4y ， 答案第 6 页，共 32 页 ∴ ( )2 2 2 21 1 0 1y DE AE AD x x= = + = +   ， ∴当 1x = 时， 1y 取最大值 2 ，当 0x = 时，取最小值1， ∴图象③为点 ( )1,x y 的轨迹； ∵ ( ) ( ) 22 2 2 2 4 1 1 2 2 0 1y EC EB BC x x x x= = + = − + = − +   ， 当 1x = 时， 4y 取最小值 1，当 0x = 时，取最大值 2 ， 延长BA，取 AG CF= ，连接DG，如图所示： ∵ AD CD= ， 90DAG DCF =  = ， ∴ ( )SASADG CDF≌ ， ∴DG DF= ， CDF ADG =  ， ∴ 90GDF ADG ADF ADF CDF =  + =  + = ， ∵ 45EDF = ， ∴ 90 45 45GDE = −  = ， ∴ GDE FDE =  ， ∵DE DE= ， ∴ ( )SASGDE FDE≌ ， ∴ EF GE AE AG AE FC= = + = + ， 设 FC m= ，则 ( )1 0 1BF m m= −   ，EF x m= + ， 根据勾股定理得： 2 2 2EF BF BE= + ， ∴ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1m x m x+ = − + − ， 解得： 1 1 x m x − = + ， ∴ ( ) 2 2 1 1 0 1 1 1 x x y EF x m x x x x − + = = + = + =   + + ， ∴当 1x = 时， 2 1y = ，当 0x = 时， 2 1y = ， ∴图象④为点 ( )2,x y 的轨迹； 答案第 7 页，共 32 页 ∵ ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 0 1 1 1 x x y DF CF DC x x x − +  = = + = + =    +  + ， ∴当 1x = 时， 3y 取最小值 1，当 0x = 时，取最大值 2 ， ∵ 1EB x= − ， 1 1 x CF x − = + ， ∴ 1 1 1 x EB CF x x − − = − − + ( )( )1 1 1 1 1 x x x x x − + − = − + + 21 1 1 x x x − − + = + 2 1 x x x − = + ( )1 1 x x x − = + ， ∵0 1x  ， ∴1 0x+  ， ( )1 0x x−  ， ∴ ( )1 0 1 x x x −  + ， ∴ 1 1 1 x x x − −  + ， ∴EB CF ， ∴ 2 2 2 21 1EB CF+  + ， ∴ 4 3y y ， ∴当0 1x  时，点 ( )4,x y 的轨迹在点 ( )3,x y 的轨迹上面， ∴图象②为点 ( )3,x y 的轨迹；图象①为点 ( )4,x y 的轨迹； 综上分析可知：在平面直角坐标系中，点 ( )1,x y 、 ( )2,x y 、 ( )3,x y 和 ( )4,x y 的轨迹分别对应的图象是③④②①． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键 是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．A 【分析】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，理解菱形的性质，熟练掌握相似 三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．过点 E作 EP BF⊥ 于点 P，连接 AC，设 BE BF AM CN a= = = = ，根据sin sinB x EFB=  ，得出EF ax= ， 5AE CF DM DN a= = = = − ，证明 BEF 和 BAC 相似得 NEF BAC = ，同理 DMN和 DAC相似，则 DMN DAC = ，进而得 NEF DMN = ，由此可判定 答案第 8 页，共 32 页 BEF和 DMN相似，利用相似三角形性质得 5MN x ax= − ，则 5y EF MN x= + = ，进而得出 5 y x = ，即可求解． 【详解】解：过点 E作 EP BF⊥ 于点 P，连接 AC，如图所示： 设 BE BF AM CN a= = = = AEP 和 EFP都是直角三角形， 在Rt BEP中，sin EP EP B BE a = = 在Rt EFP中，sin EP EFB EF  = sin sinB x EFB= ，  EP EP x a EF =  EF ax = ， 四边形 ABCD是菱形，且 5AB = ， 5AB CB AD CD = = = = ， B D = ， DAC DAC = ， 5AE CF DM DN a = = = = − ， BE BF a= = ， 5AB CB= = ，  5 BE BF a AB CB = = 又 EBF ABC = ， BEF BAC ∽ ， NEF BAC  = ， 同理： DMN DAC∽ ， DMN DAC  = ， DAC DAC = ， NEF DMN  = ， 又 B D = ， BEF DMN ∽ ，  EF BE MN DM =  5 EF a MN a = − EF ax= ， 答案第 9 页，共 32 页  5 ax a MN a = − 5MN x ax = − ， 5 5y EF MN ax x ax x = + = + − = ，  5 y x = 当 x， y发生变化时， y x 的值不变 故选：A． 11． 2 【分析】本题主要考查了平方根的知识，理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：4 的平方根是 2 ． 故答案为： 2 ． 12． 2x  【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵ 2x − 在实数范围内有意义，， ∴ 2 0x −  ， ∴ 2x  ， 故答案为： 2x  ． 13． 2x = 【分析】两边都乘以 x(x-1)，化为整式方程求解，然后检验. 【详解】原式通分得： 2( 1) 0 ( 1) x x x x − − = − 去分母得： ( )2 1 0x x− − = 去括号解得， 2x = 经检验， 2x = 为原分式方程的解 故答案为 2x = 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解， 求出 x的值后不要忘记检验. 14．29 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，铁原子的个数相等列式 4 2 2x = +  ，以及氧原子 的个数相等2 4 2 3 2 2y x= +  +  ，得出方程组，再解出 8 21 x y =  = ，即可作答． 答案第 10 页，共 32 页 【详解】解：依题意， 4 2 2 2 4 2 3 2 2 x y x = +   = +  +  解得 8 21 x y =  = ， ∴ 8 21 29x y+ = + = ， 故答案为：29． 15．2 3 4+ / 4 2 3+ 【分析】本题考查了正切值求线段长，全等三角形的性质，正方形的判定和性质，反比例函数系数的计算，掌握正 切值的计算，反比例函数系数的计算方法是关键． 根据正切值的计算得到 ( ) 2 2 2 22 2 3 4AB OA OB= + = + = ， 2 2 2 2 BC AB AC= = = ，如图所示，过点C作CE x⊥ 轴于点 E，作CF y⊥ 轴于点 F ，可证矩形OECF是正方形，设BF AE a= = ，可得 ( )3 1, 3 1C + + ，由此即可求解． 【详解】解：∵ , tan 3, 2 OB OA OB BAO OA OA ⊥  = = = ， ∴ 3 2 3OB OA= = ， ∴ ( ) 2 2 2 22 2 3 4AB OA OB= + = + = ， ∵ ABC是等腰直角三角形， 90ACB = ， ∴CA CB= ， 45CAB CBA =  = ， ∴ 2 sin sin 45 2 BC ABC AB  =  = = ， ∴ 2 2 2 2 BC AB AC= = = ， 如图所示，过点C作CE x⊥ 轴于点 E，作CF y⊥ 轴于点F ， ∴ 90CEO CFO BOA =  =  = ， ∴四边形OECF是矩形， ∴ 90ECF = ， ∴ BCA ACF ECF ACF − =  − ，即 BCF ACE =  ， 又 90 ,BFC AEC CB CA =  =  = ， 答案第 11 页，共 32 页 ∴ ( )BCF ACE AAS≌ ， ∴ BF AE= ，CF CE= ， ∴矩形OECF是正方形， ∴OF OE= ， 设 BF AE a= = ， ∴OB BF OA AE− = + ，即2 3 2a a− = + ， ∴ 3 1a = − ， ∴ 2 2 3 1 3 1OE OA AE a OF= + = + = + − = + = ， ∴ ( )3 1, 3 1C + + ， ∴ ( ) ( )3 1 3 1 2 3 4k = +  + = + ， 故答案为：2 3 4+ ． 16． 6 2 【分析】本题考查正多边形的对称性，勾股定理，延长 EF与CB交于点M ，连接 AC与EH 交于点O，连接BD， EI ，根据正方形 ABCD和正六边形EFGHIJ ，可得 AEF IHC M =  =  ，即可证明 ( )AASAEF CIH≌ ，得到 AE HC= ，再证明 ( )ASAAEO CHO≌ ，得到OA OC= ，OE OH= ，结合正六边形EFGHIJ ，正方形 ABCD性质 可得 AC、EH 、BD、EI 都相交与点O，且点O是这些线段的中点，即可得到直线 AC和BD是正六边形EFGHIJ 的两条对称轴，然后在Rt DNI和Rt JNIV 中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：延长EF与CB交于点M ，连接 AC与 EH 交于点O，连接BD， EI ， ∵正方形 ABCD， ∴ 90BAC BCD =  = ， AD BC∥ ， ∴ AEF M =  ， AEO CHO =  ， 45EAO HCO =  = ， ∵正六边形EFGHIJ ， ∴ EF HI∥ ， EF HI= ， 120EJI? ?， 答案第 12 页，共 32 页 ∴ IHC M =  ， ∴ AEF IHC M =  =  ， ∴ ( )AASAEF CIH≌ ， ∴ AE HC= ， ∴ ( )ASAAEO CHO≌ ， ∴OA OC= ，OE OH= ， ∵正六边形EFGHIJ ，正方形 ABCD， ∴ AC、 EH 、BD、 EI 都相交与点O，且点O是这些线段的中点， ∴直线 AC和 BD是正六边形EFGHIJ 的两条对称轴， ∴点G和 J在线段BD上， ∴ 1 60 2 NJI EJI? ? ?， BD EI^ ， ∴ 30NIJ? ?， 45NDI NID? ? ?， ∴ 1 2 JN IJ= ， 2 2 3 2 DN NI IJ NJ IJ= = + = ， ∴ 2 2 6 2 2 DI DN NI NI IJ= + = = ， ∴正方形 ABCD与正六边形EFGHIJ 的边长的比值是 6 2 DI IJ = ． 故答案为： 6 2 ． 17． 27 32 ( ) 21 3 6 x − 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）由折叠的性质得 BN EN= ，设BN EN x= = ，在Rt CEN△ 中，利用勾股定理列式计算求得 9 8 x = ，再利用三角 形面积公式求解即可． （2）连接BE，作MF垂直BC于点 F，则四边形 ABFE是矩形，证明 MFN BCE△ ≌△ ，从而得到 BN BF FN x y EN= + = + = ， ( )3CN BC BN x y= − = − + ，再根据在Rt CEN△ 中， 2 2 2CE NC EN+ = 得到 ( ) ( ) 2 22 3x x y x y+ − − = + ，再化简即可的解． 【详解】解：（1）∵正方形纸片 ABCD， 3AB = ， ∴ 3AB BC CD= = = ， 90C = ， 由折叠的性质知， BN EN= ， 设 BN EN x= = ， ∵点 E是CD的中点， 答案第 13 页，共 32 页 ∴ 1 3 2 2 CE CD= = ， 在Rt CEN△ 中，EN x= ， 3 3CN EN x= − = − ， 由勾股定理得 2 2 2CE CM EM+ = ， ∴ ( ) 2 2 23 3 2 x x   + − =    ， 解得 15 8 x = ， ∴ 9 3 8 CN x= − = ， ∴ CEN的面积是 1 1 9 3 27 2 2 8 2 32 CN CE =   = ， （2）连接BE，作MF垂直BC于点 F，则四边形 ABFE是矩形， ∴ 3AM BF y MF AB= = = =， ， 由折叠的性质可知，BE MN⊥ ，EN BN= ， ∴ 90NMF MNF EBC = − =  ， 又∵ MFN BCE =  ， 3MF BC= = ， ∴ MFN BCE△ ≌△ ， ∴ FN CE x= = ， ∴ BN BF FN x y EN= + = + = ， ∴ ( )3CN BC BN x y= − = − + ， 在Rt CEN△ 中， 2 2 2CE NC EN+ = ， 即 ( ) ( ) 2 22 3x x y x y+ − − = + ， 即 ( ) ( ) ( ) 2 22 9 6x x y x y x y+ − + + + = + ， 化简得： ( ) 21 3 6 y x= − 故答案为： 3 2 ， ( ) 21 3 6 x − ． 18． 2 5 5 2 / 2.5 / 1 2 2 【分析】连接 BF，设BC x= ，证明点 F 为 AEB内心，进而证明 BCFV 为等腰三角形，设BC FC x= = ，由OF BC∥ ， 答案第 14 页，共 32 页 可知OF AC⊥ ，由垂径定理可得 AF CF x= = ，即有 2AC x= ，在Rt ABC△ 中，结合勾股定理解得 x的值，即可确 定 BC的值；确定BD，CD的长度，再证明 BCG为等腰三角形，可设CG BG y= = ，则 4DG y= − ，在Rt BGD△ 中， 由勾股定理解得 y的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接 BF， 设 BC x= ， ∵ AB是 O的直径， ∴ 90AEB ACB =  = ， ∵ 45AEF  = ， ∴ 45BEF AEB AEF AEF =  − =  =  ，即EF平分 AEB ， 又∵ AC平分 BAE ， ∴ EAC BAC =  ，点 F 为 AEB内心， ∴ BF平分 ABE ，即 ABF EBF=∠ ∠ ， ∵EC EC= ， ∴ EAC EBC =  ， ∴ EBC EBF ABF BAC CFB + =  + =  ， 即 CBF CFB =  ， ∴ BC FC x= = ， ∵OF BC∥ ， ∴ 90AFO ACB =  = ，即OF AC⊥ ， ∴ AF CF x= = ， ∴ 2AC AF CF x= + = ， 在Rt ABC△ 中，可有 2 2 2BC AC AB+ = ， ∴ ( ) 22 22 10x x+ = ，解得 2 5x = 或 2 5= −x （舍去）， ∴ 2 5BC = ， 2 2 5 4 5AC =  = ， ∵CD AB⊥ ， 答案第 15 页，共 32 页 ∴ 1 1 2 2 ABC S AB CD BC AC=  =  ，即 1 1 10 2 5 4 5 2 2 CD =   ， 解得 4CD = ， ∴在Rt BCD△ 中，可有 ( ) 2 2 2 22 5 4 2BD BC CD= − = − = ， ∵CD AB⊥ ， ∴ 90BCD CBD + = ， 又∵ 90CAB CBD + = ， ∴ CAB BCD =  ， ∴ BCD CAB CAE CBE =  =  =  ， ∴CG BG= ， 设CG BG y= = ，则 4DG CD CG y= − = − ， ∴在Rt BGD△ 中，可有 2 2 2BD DG BG+ = ， ∴ ( ) 22 22 4 y y+ − = ，解得 5 2 y = ，即 5 2 CG = ， ∴ 1 1 5 5 2 2 2 2 2 BCGS CG BD=  =   = ． 故答案为： 2 5 ， 5 2 ． 【点睛】本题主要考查了三角形内心、圆周角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，正确作出 辅助线是解题关键． 19． 4 2a + ，当 1a = − ，原式 4= 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 a的值代入进 行计算即可． 【详解】解：原式 ( )( ) 22 2 4 5 1 1 1 1 a a a a a a a a + −  + − = +  +  − − −  ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 a a a a a + − − = +  − + 2 1 2 a a − = − + ( )2 2 2 a a a + − − = + 4 2a = + ， 由题意， 1 0a −  ， 2 0a +  ， 2 1a−   ， 0a = 或 1− ， 当 0a = 时，原式 2= ，当 1a = − ，原式 4= （两个答案有一个即可）． 答案第 16 页，共 32 页 20．（1）1；（2） ( ) 2 3 2a a b− 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解等知识，解题的关键是： （1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，绝对值的意义，算术平方根的定义等计算即可； （2）先提取公因式3a，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 1 3 3= + − 1= ； （2）原式 ( )2 23 4 4a a ab b= − + ( ) 2 3 2a a b= − ． 21．(1)见详解 (2) 2 2+ 【分析】（1）根据正方形的性质和角平分的定义证明 67.5FEC EFC =  = ，进而利用等角对等边即可证明结论； （2）过点 E作 EH BD⊥ 于点H ，根据正方形的性质可得， 45ODE = ，AB CD= ，利用三角形函数解得 2EH = ， 再结合三角形的性质定理解得 2EC EH= = ，然后由 AB CD DE EC= = + 即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵ AC，BD是正方形的对角线， ∴ 45ACB DBC BDC =  =  = ， ∵ BE平分 DBC ， ∴ 1 22.5 2 DBE EBC DBC = =  = ， ∴ 67.5FEC BDC DBE =  + = ， 67.5EFC ACB EBC =  + = ， ∴ FEC EFC =  ， ∴ EC FC= ； （2）解：如图，过点 E作 EH BD⊥ 于点 H ， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 45ODE = ， AB CD= ， 90BCE =  ∴ 2 sin 2 2 2 EH DE ODE=   =  = ， ∵ BF平分 OBC ， 90BCE = ，EH BD⊥ ， ∴ 2EC EH= = ， 答案第 17 页，共 32 页 ∴ 2 2AB CD DE EC= = + = + ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质定理以及解直角三角形等知识，熟练 掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 22．(1)图见解析 (2)9，8.76，10； (3)见解析 【分析】本题考查统计图表的综合应用，解题的关键是通过已知条件求出相关数据，再根据平均数、中位数、众数、 方差的定义和计算方法进行求解与分析． （1）先根据九年级 A 等级人数及所占比例求出总人数，进而补全八年级条形统计图； （2）根据定义分别计算八年级中位数、九年级平均数和众数； （3）依据平均数和方差对两个年级成绩进行评价． 【详解】（1）解：因为九年级有 11 人获得A 等级，且A 等级占比44% ， 所以九年级参加考试的总人数为11 44% 25 = 人， 那么八年级D等级人数为25 6 12 5 2− − − = 人， 补全条形统计图如下： ； （2）解：八年级一共有 25 人，将成绩从小到大排列，第 13 个数的位置就是中位数， A 等级 6 人， B等级 12 人，前6 12 18+ = 人， 所以第 13 个数在 B等级， B等级对应分数 9 分， 即 9a = ； A 等级 11 人， B等级25 4% 1 = 人，C等级25 36% 9 = 人，D等级25 16% 4 = 人， 10 11 9 1 8 9 7 4 110 9 72 28 219 8.76 25 25 25 b  +  +  +  + + + = = = = ； A 等级人数最多，A 等级对应分数 10 分，所以 10c = ； 故答案为：9，8.76，10； （3）解：从平均数角度：八年级平均数 8.76 分，九年级平均数也是 8.76 分，说明两个年级学生的平均成绩相同， 从方差角度：八年级方差 1.0624，九年级方差 1.3824，因为1.0624 1.3824 ，方差越小数据越稳定，所以八年级学 生成绩比九年级学生成绩更稳定． 答案第 18 页，共 32 页 23．（1） 3 1 , 2 2       或 ( )6, 2 ；（2）45；（3）补图见解析；证明见解析；（4）见解析 【分析】（1）过点C作CD x⊥ 轴于点D， AB与OC的交点为M ，证明 AOB CDO∽ ，得到 OB OA AB OD CD OC = = ，再根据 垂倍四边形的定义分两种情况讨论即可； （2）设 AH a= ， BH b= ，则 12CH a= − ， 6DH b= − ，利用勾股定理列式，得到 20 2b a= − ，进而求出 8a = ，得 出 BHC△ 是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长CA至点M，使 AM AC= ，连接 BM ，AD，设EF与 AB相交于 O，EF与 BM 相交于 G，证明 BAM EAF≌ ， 得出 BM EF= ， ABM AEF = ，结合三角形外角的性质可得出 90EAO BGO =  = ，则EF BM⊥ ，然后根据三角形 中位线定理得出 2MB AD= ，MB AD∥ ，即可得出 2EF AD= ，AD BM∥ ，最后根据“垂倍四边形”的定义即可得证； （4）过 B作 BP BN⊥ ，过 A作 AH BP⊥ 于 H，以BH 为边，在BH 右侧作正方形 BHJK ，作HJ 的垂直平分线交BK 于 F，交HJ 于 E，交 AM 于 D，连接 BD，过 A作 AC BD⊥ 交BN 于 C，连接CD即可． 【详解】解： 点 ( )1,0A ，点 ( )0,3B ， 1OA = ， 3OB = ， 如图，过点C作CD x⊥ 轴于点D， AB与OC的交点为M ， 四边形OACB是垂倍四边形，点C在第一象限内， OC AB ⊥ ， 90OBM BOM + = ， 90BOM AOM + = ， OBM AOM =  ， 90AOB CDO =  = ， AOB CDO ∽ ， OB OA AB OD CD OC  = = ， 若 2AB OC= ，则 3 1 2 OD CD = = ， 3 2 OD = ， 1 2 CD = ， 3 1 , 2 2 C        ； 若 2OC AB= ，则 3 1 1 2OD CD = = ， 答案第 19 页，共 32 页 6OD = ， 2CD = ， ( )6,2C ； 综上可知，点C的坐标为 3 1 , 2 2       或 ( )6, 2 ； （2）如图，设 AH a= ，BH b= ， 2 12AC BD= = ， 6BD =∴ ， 12CH a = − ， 6DH b= − ， AC BD⊥ ， 2 2 2AH BH AB + = ， 2 2 2CH DH CD+ = ， 4 5AB = ， 2 5CD = ， 2 2 80a b + = ， ( ) ( ) 2 2 12 6 20a b− + − = ， 20 2b a = − ， ( ) 22 20 2 80a a + − = ， 解得： 8a = ， 12 8 4CH = − = ， 20 2 8 4BH = −  = ， CH BH = ， BHC 是等腰直角三角形， 45ACB = ； （3）补图如下： 证明：延长CA至点 M，使 AM AC= ，连接 BM ， AD，设EF与 AB相交于 O，EF与 BM 相交于 G， 答案第 20 页，共 32 页 ∵点 E是点 B关于 AC的对称点，点 F 是点C关于 AB的对称点， ∴ AE AB= ， 45EAC BAC =  = ， AC AF= ， 45FAB CAB =  = ， ∴ 135EAF EAC CAB BAF =  + + = ， 又 180 135BAM BAC =  − = ， ∴ BAM EAF =  ， ∴ BAM EAF≌ ， ∴ BM EF= ， ABM AEF = ， ∵ AOF AEF EAO BGO ABM =  + =  + ， ∴ EAO BGO =  ， 又 90EAO EAC CAB =  + = ， ∴ 90BGO = ， ∴ EF BM⊥ ， ∵D是BC中点， AM AC= ， ∴ 2EF BM AD= = ， AD BM∥ ， ∴ EF AD⊥ ， ∴四边形 AFDE是垂倍四边形； （4）如图，过 B作 BP BN⊥ ，过 A作 AH BP⊥ 于 H，以BH 为边，在BH 右侧作正方形 BHJK ，作HJ 的垂直平分 线交BK 于 F，交HJ 于 E，交 AM 于 D，连接BD，过 A作 AC BD⊥ 交BN 于 C，连接CD，则四边形 ABCD即为 所求． 答案第 21 页，共 32 页 理由：延长BD、KJ 相交于 S，交HJ 于 Q，过 C作CT HJ⊥ 于 T， 由作图知：四边形CTJK是矩形，四边形 BHJK是正方形， ∴CT JK BK= = ， ∵ AC BD⊥ ， ∴ 90SQA QAC =  + ， 又 90SQA QSJ QJS QSJ =  + =  + ， ∴ QAC QSJ =  ，即 EAC BSK =  ， 又 90AEC SKB =  = ，TC KB= ， ∴ AC SB= ， ∵ BH HJ⊥ ， EF BJ⊥ ， SK BJ⊥ ， ∴ BH EF SK∥ ∥ ， 答案第 22 页，共 32 页 ∴ 1 BD CF HE DS KF JE = = = ， ∴ BD DS= ， ∴ 2AC SB BD= = ， 又 AC BD⊥ ， ∴四边形 ABCD是垂倍四边形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形， 勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，明确题意，灵活运用所学知识，添加合适辅助线，构造相似三角形、全 等三角形等是解题的关键． 24．（1） π 1 2 − ；（2）①见解析；② 2:3；（3）1: 3 【分析】（1）由题意可得 1 1 1 90OAM OMA OOA OOM = =  =  = ， 1 1 1 1cmO A OM= = ，则四边形 1OAMO 为矩形， 由矩形的性质可得 1OO AM= ，由题意可得线段 AM 的长=弧 1AM 的长，求出弧 1AM 的长即可得解； （2）①由题意可得线段 AN的长=弧 2A N的长，线段 AH的长=弧 2B H 的长，由弧长公式得出 2 2 2 2 2 2 A O N O NAN AH B G H G H  =   ， 证明 22O N G H∥ ，得出 2 2ANO AHG∽ ， 2 2AO N AG H =  ，由相似三角形的性质可得 2 2 O NAN AH G H = ，从而可得 2 2 2 2A O N B G H =  ，即可得出 2 2 2 2AO A AG B =  ，从而可得证；②由①可得 2 2ANO AHG∽ ， 2 2 2 2AO A AG B =  ， 再证明 2 2 2 2AA O AB G∽ ，即可得解； （3）作EG y⊥ 轴于G，FH y⊥ 轴于H ，设直线 AE的解析式为 ( )0y kx t k= +  ，联立 23 y kx t y mx t = +  = + 求得 3 E k x m = ， 即 3 k EG m = ，同理可得 F k x m = ，即 k FH m = ，证明 AEG AFH∽ ，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解（1）由题意可得： 1 1 1 90OAM OMA OOA OOM = =  =  = ， 1 1 1 1cmO A OM= = ， ∴四边形 1OAMO 为矩形， ∴ 1OO AM= ， 由题意可得线段 AM 的长=弧 1AM 的长， ∵弧 1AM 的长为 90 π π 1 cm 180 2   = ， ∴ 1 π cm 2 OO AM= = ， ∴ 1OA 的长为 1 1 1 π 1 cm 2 OO O A   − = −    ； （2）①由题意可得：线段 AN的长=弧 2A N的长，线段 AH的长=弧 2B H 的长， 2025 无锡中考数学模拟卷（三） 姓名：______________班级：______________ 准考证号 选择题 １、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.（本题 8 分） 2 4 4 5 1 1 1 a a a a a − +  +  +  − −  20. （本题 8 分） （1） ( ) 0 3.14 9 6cos60− + − −  （2） 3 2 23 12 12a a b ab− + 21. （本题 10 分） 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 缺考标记 考生禁止填涂 缺考标记！只能 由监考老师负 责用黑色字迹 的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 22. （本题 10 分） 23. （本题 10 分） 24. （本题 10 分） 25. （本题 10 分） 26. （本题 10 分） 27. （本题 10 分） 28. （本题 10 分）