【第二章 有理数的运算 03讲 有理数的乘方】2025年暑假小升初衔接（新版人教版专用）七年级上册数学

第二章 有理数的运算 03讲 有理数的乘方 知识清单 1、有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1．计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 2．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 3．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 4．若为正整数，则的意义为（   ） A．3个相乘 B．5个相加 C．3个相加 D．8个相乘 【分析】本题考查幂的定义．根据幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂，直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 表示3个相乘， 故选：A． 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 3、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先乘方，再乘除，最后加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 巩固基础 1．计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 4、科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：A． 2．据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：90.2亿． 故选C． 3．据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过1000000人次和17000辆次，同比增长，，均处于历史最高位．数据“1000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．截至2025年3月15日，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含港澳台、海外及预售票房）已超过亿元．成功超越《星球大战：原力觉醒》的票房成绩，挺进全球影史票房榜第五．其中数据亿用科学记数法表示为 ． 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：亿． 故答案为：． 5．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为 ． 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 知识清单 5、1）准确数：表示实际数量的数。 2）近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 3）精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 6、精确度的类型 1）纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； 2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； 3）近似数是估值，但是要控制误差。 巩固基础 1．长城总长约为6700000米，用科学记数法表示近似数6700000（精确到万位）正确的是（ ） A．6.70×107 B．6.7×106 C．6.7×107 D．6.70×106 【分析】根据科学记数法表示方法，将6700000写成的形式即可． 【详解】解：根据科学记数法表示方法，需要将6700000写成的形式， 题目要求精确到万位， 6700000用科学记数法表示时要保留一位整数，小数点后保留两位，即a=6.70， 6700000的整数位数为7，7-1=6， ， 用科学记数法表示近似数6700000（精确到万位）为：， 故答案为：D． 2．2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似数是 ． 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，先将原数精确到千位，再用科学记数法表示为（其中，n为整数）的形式即可求解． 【详解】解：51717精确到千位是52000， ． 故答案为：． 3．近似数精确到 位． 【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据科学记数法和近似数的定义，即可获得答案． 【详解】解：近似数精确到千位． 故答案为：千． 4．用记数法表示下列个数的近似数． （1） （精确到千位） （2） （精确到百位） 【分析】本题考查求近似数，用科学记数法表示数，掌握求近似数的方法和利用科学记数法表示数的方法是解题关键． （1）将百位数字“2”按照四舍五入的方法舍去，再用科学记数法表示即可； （2）将十位数字“9”按照四舍五入的方法进1，再用科学记数法表示即可，注意保留进位后的百位数字“0”． 【详解】解：（1）（精确到千位）． 故答案为：； （2）（精确到百位）． 故答案为：． 直击考点 题型1：有理数乘方的概念 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法的运算法则进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 例2．表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 变式1．计算：（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 变式2．下列说法正确的是（  ） A．一定是负数 B．绝对值等于它的相反数的数是负数 C．幂越大，底数就越大 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【分析】本题主要考查了绝对值，相反数，幂的相关知识，直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、当，不是负数，故A不符合题意； B、的绝对值等于，但不是负数，故B不符合题意； C、幂的大小与底数无关，故C不符合题意； D、互为相反数的两个数的绝对值相等，故D符合题意， 故选：D． 变式3． 的底数是 指数是 表示 ． 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂． 【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数． 故答案为；；2的3次方的相反数． 题型2：有理数乘方的运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3：有理数乘方的符号运算 例1．下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 例2．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 变式1．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 变式2．观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第16个数与第17个数，然后将它们相加即可． 【详解】∵，… ∴这列数的第偶数个数都是1，第奇数个数是， ∴当n=16时，这个数为1， 当n=17时，这个数为， ∴第16个数与第17个数的和为：， 故选：C． 变式3．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 题型4：含乘方的混合运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 . 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5：有理数乘方的实际应用 例1．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 例2．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 变式1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 变式2．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 变式3．国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 【分析】本题考查有理数的乘方的运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解题的关键；根据题目中八进制数3745换算成十进制数的方法计算即可． 【详解】解：八进制数2024换算成十进制数： ， 故选：B 题型6：有理数乘方的新定义问题 例1．用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值；(2)求的值． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2），． 例2．【概念学习】规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__ _， ___ ，___ ． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 【分析】本题考查了有理数的乘方； （1）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （2）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，． （2）， ； 故答案为：,,； （3）由题意，根据（2）中规律可得， 故答案为：． 变式1．定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______． 【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可 【详解】解： 故答案为 变式2．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 变式3．已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______； （2）( )． 【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解． 【详解】解：第一次：，第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：， 第三次：∵∴计算结果为 第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，…… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1． 故答案为：1． 题型7：用科学记数法表示数 例1．深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：1000万； 故选D． 变式1．洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， ，故选：． 变式2．苏州轨道交通号线是正在建设的一条线路，线路全长米，于年月开通初期运营，标志色为品红色，请将用科学记数法表示为 ． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型8：用科学记数法表示的数变回原数 例1．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 例2．把用科学记数法表示的数写成原数： ． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 变式2．是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴原数的后面有个， 故答案为： 变式3．我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是 ． 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，掌握将科学记数法表示的数变回原来的数的方法是解题的关键．根据题意，将用科学记数法表示的数化成原来的数即可． 【详解】解：．故答案为：9460700000000． 题型9：求一个数的近似数 例1．用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 例2．用四舍五入法将精确到，结果是 ． 【分析】本题主要考查“四舍五入”，熟练掌握“四舍五入”是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到，结果是． 故答案为：． 变式1．用四舍五入法，把4.2956精确到千分位是（    ） A．4.29 B．4.295 C．4.296 D．4.300 【分析】本题考查了近似数和四舍五入法，解题的关键是明确四舍五入法的规则以及千分位的位置．根据四舍五入法，看万分位上的数字，对千分位进行取舍． 【详解】从小数点向右数，第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位． 在4.2956中，千分位是5，万分位是6． 因为4.2956万分位上的数字6比5大，所以把尾数舍去并且向十分位进“1”，，即4.2956精确到十分位是4.296， 故选：C． 变式2．中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位 ． 【分析】本题主要考查科学记数法和求近似数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数即可得到答案． 【详解】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故答案为：． 题型10：近似数的精确度 例1．对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数，掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：A、1270.39（精确到0.01），原选项错误，不符合题意； B、1270.4（精确到十分位），原选项错误，不符合题意； C、（精确到百位），原选项错误，不符合题意； D、（精确到十位），原选项正确，符合题意； 故选：D． 例2．近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 【分析】本题考查了近似数的知识，先将亿还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的数位． 【详解】解：亿即302000000， 则302000000中，数字2在百万位， 故近似数亿精确到百万位， 故选：C． 变式1．下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位． 【详解】解：A、近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； C、近似数精确到百分位是，原说法正确，符合题意； D、近似数与，精确度不相同，原说法错误，不符合题意； 故选:C． 变式2．近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 【详解】解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 题型11：近似数推断取值范围 例1．近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围， 故选：C． 例2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 变式1．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 变式2．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】近似值是通过四舍五入得到的， 可以由大于或等于的数，4后面的一位数字，满5进1得到．或由小于的数，舍去5后的数字得到，因而 ． 【详解】解∶近似数表示的精确数x的范围是． 故选∶B． 变式3．数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查四舍五入，熟练掌握四舍五入的定义是解题的关键．根据四舍五入进行判断即可． 【详解】解：数a的近似值为，那么a的真实值的范围是． 故选B． 课后作业 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市雅礼教育集团一模数学试题）是深度求索人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达2360亿个模型参数，数据2360亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：亿． 故选：B． 2．（2025年江西省抚州市中考二模数学试题）教育是国之大计、党之大计．近日，省财政厅下达2024年教育强国工程资金7.74亿元，支持促进教育公平、提升教育质量，助力教育事业发展．7.74亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：亿， 故选：D． 3．（2025·山东济南·二模）2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 4．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算； 根据有理数的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：表示3个2相乘的积的相反数，即：； 故选：C 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，，为正整数， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b互为相反数， 当n为奇数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； C、a，b互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（天）； 故选A． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，可令，则，进行相减即可得． 解：根据题意，令， 则， ， 即， 故选：C． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键．根据题目中的新定义计算，即可求出的值． 【详解】解：依题意， 故选：D． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查对程序设计的理解和有理数的运算顺序，再代入计算求值即可． 【详解】解：根据题意可知，开始输入a的值为1， ∴； ∴输出的结果为． 故选：A． 二、填空题 11．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知光在真空中的传播速度为千米/秒，1年约秒，如果一颗恒星距离地球2光年（1光年是光在1年中行进的距离），用科学记数法表示这颗恒星与地球的距离为 千米． 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：（千米）； 故答案为． 12．（2025·江苏宿迁·二模）2025年春节长假，宿迁全市纳入统计的29家重点景区接待游客人次，同比增长．用科学记数法表示是 ． 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 由，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 14．（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 15．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 【分析】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度． 【详解】近似数2.9万精确到千位． 故答案为：千位． 16．（2025年安徽省蚌埠市部分学校中考三模数学试卷）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为： ； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是 ． 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，含乘方的有理数混合运算； ①根据题干二进制数转换为十进制数的方法列式即可． ②根据二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是求解即可． 【详解】解：①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：；， 故答案为：； ②∵二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是，而， ∴若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个三位数等于它的各位数字的立方和，则称它为“水仙花数”，如，故是水仙花数，根据定义再写出一个三位数的水仙花数． 【分析】本题主要考查了新定义，有理数乘方运算，理解新定义，掌握有理数乘方运算是关键． 设百位数字为，十位数字为，个位数字为，则，由此列举求解即可． 【详解】解：根据题意，设百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 ∵，，， ∴均为水仙花数． 23．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）一颗人造地球卫星的速度是，一辆汽车的速度是，当汽车行驶了时，人造卫星运行了多少千米？ 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先得到，然后列式计算，用科学记数法表示即可． 【详解】 ∴ ∴当汽车行驶了时，人造卫星运行了千米． 25．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 26．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 【分析】本题考查有理数的乘方，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：1；． （2）； ； ； 故答案为：，； （3） ． 27．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和法则是关键． （1）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可； （2）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可． 【详解】（1）解： （2） 28．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 29．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【详解】（1）解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是． （2）解： ． 30．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算 03讲 有理数的乘方 目录 【知识点1. 有理数的乘方】………………………………………………………… 1 【知识点2. 整数指数幂的符号规律】……………………………………………… 2 【知识点3. 有理数的加减乘除乘方混合运算顺序】……………………………… 3 【知识点4. 科学记数法】…………………………………………………………… 4 【知识点5. 准确数、近似数、精确度】…………………………………………… 6 【题型1. 有理数乘方的概念】……………………………………………………… 7 【题型2. 有理数乘方的运算】……………………………………………………… 7 【题型3. 有理数乘方的符号运算】………………………………………………… 8 【题型4. 含乘方的混合运算】……………………………………………………… 8 【题型5. 有理数乘方的实际应用】………………………………………………… 10 【题型6. 有理数乘方的新定义问题】……………………………………………… 11 【题型7. 用科学记数法表示数】…………………………………………………… 12 【题型8. 用科学记数法表示的数变回原数】……………………………………… 13 【题型9. 求一个数的近似数】……………………………………………………… 13 【题型10. 近似数的精确度】……………………………………………………… 14 【题型11. 近似数推断取值范围】………………………………………………… 14 【课后作业】…………………………………………………………………………… 15 知识清单 1、有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1．计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 2．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 3．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 4．若为正整数，则的意义为（   ） A．3个相乘 B．5个相加 C．3个相加 D．8个相乘 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 3、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先乘方，再乘除，最后加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 巩固基础 1．计算 知识清单 4、科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过1000000人次和17000辆次，同比增长，，均处于历史最高位．数据“1000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．截至2025年3月15日，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含港澳台、海外及预售票房）已超过亿元．成功超越《星球大战：原力觉醒》的票房成绩，挺进全球影史票房榜第五．其中数据亿用科学记数法表示为 ． 5．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为 ． 知识清单 5、1）准确数：表示实际数量的数。 2）近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 3）精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 6、精确度的类型 1）纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； 2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； 3）近似数是估值，但是要控制误差。 巩固基础 1．长城总长约为6700000米，用科学记数法表示近似数6700000（精确到万位）正确的是（ ） A．6.70×107 B．6.7×106 C．6.7×107 D．6.70×106 2．2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似数是 ． 3．近似数精确到 位． 4．用记数法表示下列个数的近似数． （1） （精确到千位） （2） （精确到百位） 直击考点 题型1：有理数乘方的概念 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 变式1．计算：（    ） A． B． C． D． 变式2．下列说法正确的是（  ） A．一定是负数 B．绝对值等于它的相反数的数是负数 C．幂越大，底数就越大 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 变式3． 的底数是 指数是 表示 ． 题型2：有理数乘方的运算 1. 计算 题型3：有理数乘方的符号运算 例1．下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 变式1．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式2．观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 变式3．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 题型4：含乘方的混合运算 1. 计算 题型5：有理数乘方的实际应用 例1．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 例2．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 变式2．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 变式3．国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 题型6：有理数乘方的新定义问题 例1．用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值；(2)求的值． 例2．【概念学习】规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__ _， ___ ，___ ． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 变式1．定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______． 变式2．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 变式3．已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______； （2）( )． 题型7：用科学记数法表示数 例1．深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式2．苏州轨道交通号线是正在建设的一条线路，线路全长米，于年月开通初期运营，标志色为品红色，请将用科学记数法表示为 ． 题型8：用科学记数法表示的数变回原数 例1．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．把用科学记数法表示的数写成原数： ． 变式1．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2．是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 变式3．我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是 ． 题型9：求一个数的近似数 例1．用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 例2．用四舍五入法将精确到，结果是 ． 变式1．用四舍五入法，把4.2956精确到千分位是（    ） A．4.29 B．4.295 C．4.296 D．4.300 变式2．中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位 ． 题型10：近似数的精确度 例1．对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 例2．近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 变式1．下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 变式2．近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 题型11：近似数推断取值范围 例1．近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 课后作业 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市雅礼教育集团一模数学试题）是深度求索人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达2360亿个模型参数，数据2360亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025年江西省抚州市中考二模数学试题）教育是国之大计、党之大计．近日，省财政厅下达2024年教育强国工程资金7.74亿元，支持促进教育公平、提升教育质量，助力教育事业发展．7.74亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·二模）2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 7．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 8．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知光在真空中的传播速度为千米/秒，1年约秒，如果一颗恒星距离地球2光年（1光年是光在1年中行进的距离），用科学记数法表示这颗恒星与地球的距离为 千米． 12．（2025·江苏宿迁·二模）2025年春节长假，宿迁全市纳入统计的29家重点景区接待游客人次，同比增长．用科学记数法表示是 ． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 14．（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 15．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 16．（2025年安徽省蚌埠市部分学校中考三模数学试卷）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 19．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 20．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为： ； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是 ． 三、解答题 21. 计算 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个三位数等于它的各位数字的立方和，则称它为“水仙花数”，如，故是水仙花数，根据定义再写出一个三位数的水仙花数． 23．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）一颗人造地球卫星的速度是，一辆汽车的速度是，当汽车行驶了时，人造卫星运行了多少千米？ 25．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 26．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 27．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 28．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 29．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 30．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$