【小升初复习篇 第五章 综合与实践 规律探索】2025年暑假小升初衔接（新版人教版专用）

第五章 综合与实践 之规律探索 旧知复习 1、常见数字排列的变化规律 1）每相邻两个数的差是一个固定的值； 2）相邻的两个数，后一个数总是前一个数的几倍； 3）每一个数都是这个数所在项数的平方或立方； 4）前几项的和等于后一项； 5）奇数位上或偶数位上相邻的两个数的差是一个固定的数； 6）奇数位上的数是相同的倍数关系。 2、常见图形的变化规律 1）图形按方阵的形式排列，每一行、每一列都有这些图形，呈循环排列； 2）图形排成一行，每组图形呈循环排列； 3）图形的规律与数字之间的规律类似，可以将图形转化成数字探索规律。 小试牛刀 题型一：算式的规律 1．算一算，填一填，把我的发现写出来。 1×8＋1＝ 12×8＋2＝ 123×8＋3＝ 1234×8＋4＝ （    ）×8＋（    ）＝ 我的发现是： 2．找规律，填一填。 ×( )＝( )×( )＝( ) ×( )＝( )×( )＝( ) 根据你的发现，直接写出下面各式的结果。 ( )     ( )      ( ) 3．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。 4．在括号里填合适的自然数，然后找出规律。                 根据上面的规律，你能直接写出下面算式的得数吗？ （     ）。 5．根据每组第一个算式的结果直接写出其他算式的结果，并说说你发现了什么规律。 120×2＝240    24×45＝1080 120×4＝    12×45＝ 120×6＝    4×45＝ 120×8＝    2×45＝ 我发现：在乘法里，____________。 6．计算下面各题你发现了什么？ 我发现：求两个数除以一个相同的数（0除外）的商所得的和或差，可以先求这两个数的（    ），再（    ）这个相同的数。 根据上面的发现我可以很快得到下面各题的结果。 （    ）    （    ） 7．算一算，填一填，并找规律接着写算式。 23＋32＝（    ）    99－64＝（    ） 24＋42＝（    ）    88－54＝（    ） 25＋52＝（    ）    77－44＝（    ）（    ）＋（    ）＝（    ）  （    ）－（    ）＝（    ） （    ）＋（    ）＝（    ）  （    ）－（    ）＝（    ） 发现：左边算式第一个加数每次多（    ），第二个加数每次多（    ），得数每次多（    ）。 右边算式第一个数每次少（    ），第二个数每次少（    ），得数每次少（    ）。 8．王明在计算机课上编制了一个计算小程序，如果输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是王明做的几次操作情况： ①输入5，输出14。 ②输入8，输出23。 ③输入11，输出32。 （1）输入14，输出（    ）。 （2）输入9，输出（    ）。 （3）小程序的运算规律是什么？用你的方式写出来。 9．杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作。“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ （1）横着观察，李涵发现了这样的规律。 第二排：1＋1＝2 第三排：1＋2＋1＝4＝2×2。 第四排：1＋3＋3＋1＝8＝2×2×2。 第五排：（    ）＝（    ）＝（    ）。 …… 第n排，所有数的和是（    ）个2相乘的积。 （2）张明也在积极探索规律，他有了新的发现。 第三排：121＝11×11 第四排：1331＝11×11×11 第五排：14641＝11×11×11×11 照这样的规律，张明认为第六排的算式11×11×11×11×11的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”。这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法。 题型二：数字排列的规律 1．有一列按规律排列的数：0.6、1.2、2.4、4.8…这列数的第6个是（    ）。 A．9.6 B．19.2 C．38.4 D．76.8 2．17，14，，8，5，按规律，里的数是（    ）。 A．9 B．10 C．11 3．在斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…中，到第2021个数止，共有（    ）个奇数。 A．1346 B．1347 C．1348 D．1349 4．小云按图所示的规律将1到24填入表格。填完后他从表格中剪下了一块。他剪下的不可能是（    ）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A． B． C． D． 5．给定一列按规律排列的数：、、、…则这列数的第8个数是（    ）。 A． B． C． D． 6．有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，，，…，则排列在第（    ）。 A．88个 B．94个 C．88个或94个 D．81个或88个 7．按规律填数。 (1)345，436，527，( )，( )。 (2)4500，4400，4300，( )，( )。 8．找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 9．找规律填数。 (1)( )，( )，( )。 (2)，( )，( )，( )。 10．找规律填数。 11．找规律，填一填。 12．将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式。观察规律，第20行的第3个数是( )。 13．将1~99的99个整数按从小到大的顺序排列如下：1234567891011121314…9899，相邻两个数码的距离都是1厘米。现有黑、白两只电动跳蚤，每秒都跳1厘米，黑跳蚤从左端“1”出发，白跳蚤从右端“9”出发，两只跳蚤同时出发，它们会在数码 相遇。 14．仔细观察下图中数的排列规律，并在□里填上合适的数。                        1                    1    1               1    2    1            1   3    3     1       1    4    6     4    1 1       1 15．在某小区为业主举办的元旦晚会上，主持人为业主们准备了一个游戏；从300个外形相同的福袋中找到唯一装有奖品的福袋，主持人将这些福袋按1至300的顺序编号排成一列，第一次先请一位业主从中取出所有序号为单数的球，均没有发现奖品，接着主持人将剩下的福袋又按1至150重新编号排成一列（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号，……，原来的300号变为150号），又请一位业主从中取出所有新序号为单数的球，也没有发现奖品，……，如此下去，直到最后一个福袋是装有奖品的，那么这个装有奖品的福袋最初的序号是( )。 题型三：图形的变化规律 1．照下面的规律，第（    ）幅图时，“数”“学”两个字第一次相邻。 A．4 B．5 C．6 D．7 2．●▲■■●▲■■，接下来画的是（    ）。 A．■ B．▲ C．● 3．兰兰和京京在方格中有规律地移动爱心和五角星（如图），问号处应该选（    ）。 A． B． C． 4．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 5．， 里的图形是哪个？（    ） A． B． C． 6．像这样继续摆下去，第5个图形有（    ）根小棒。 A．24 B．30 C．36 7．观察下面图形找规律。 正方形的个数 1 2 3 4 5 直角三角形的个数 0 4 8 按照上面的画法，如果要得到100个直角三角形，需要画（    ）个正方形。 A．24 B．26 C．28 D．29 8．观察下图，根据前面三幅图的规律，第四幅图是（    ）。 A． B． C． 9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ）。 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33 11．按规律接着画。 (1)□△□△ ， 。 (2)○☆☆○☆☆ ， ， 。 12．根据下面几幅图的规律，照这样算，第10幅图中有( )个〇，有( )。 13．按规律，画出下一个图形：( )。 14．观察下图中的棋子，并填空。 (1)按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子的颗数是( )。 (2)用含n的代数式表示第n个图形的棋子颗数是( )。 (3)第20个图形需棋子( )颗。 15．用火柴棒摆金鱼，根据规律填一填。 8根           ( )根       ( )根       ( )根 16．如图，虚线把正方形点阵分成两个三角形点阵，按此规律，第9个图形的算式是 ＋ ＝ 2。 题型四：其他规律探索 1．三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 2．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 3．观察下表方框中的9个数，下列发现正确的是（    ）。 A．竖着看，上一行的数比下一行的数多10。 B．横着看，左一列的数比右一列的数多1。 C．斜着看，对角线上的三个数字之和相等。 4．观察下面图形的排列，想一想，第100个图形是（    ）。 A． B． C． 5．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在（    ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段DE上 D．线段EA上 6．普通话汉语拼音有四个声调：阴平、阳平、上声、去声。照这样的顺序，每个声调说一个对应的汉字，第256个汉字应该是（    ）声调。 A．去声 B．阳平 C．阴平 7．在百数表中，用三连方（如图）盖住了三个数字，这三个数字之和是（　　）。 A．69 B．100 C．105 D．130 8．在下面的数表中，每次框出相邻的2个数，一共有（　　）种不同的和。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A．12 B．11 C．10 D．9 9．下面是小明帮妈妈做家务需要的时间，他至少需要( )分钟才能完成以下全部家务． 扫地 擦桌子 洗水壶 烧水 6分钟 2分钟 1分钟 9分钟 A．18 B．10 C．9 D．8 10．王明采用实验法研究“荡秋千的次数与什么有关”这一问题时，其中一组实验数据如图所示，根据表格数据可以得出（    ）。 时间 15秒 绳长 15厘米 钩码 10克 20克 30克 次数 8次 8次 8次 A．在相同时间内，荡秋千的次数与绳长有关 B．在相同时间内，荡秋千的次数与质量有关 C．在相同时间内，荡秋千的次数与质量无关 11．学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如下图）。 照这样，钉15张图画需要（    ）颗图钉。 A．30 B．32 C．56 D．60 12．找规律填数。 13．在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。你知道A、B、C、D分别是几吗？ A＝( )    B＝( )    C＝( )    D＝( ) 14．按一定的规律写数：1、2、﹣3、4、5、﹣6、7、8、﹣9…，当写完第100个数停下来时，写的数中一共有( )个正数，( )个负数。 15．△□□★★△□□★★……左起第28个是( )，当□和★一共是24个时，△最少是( )个。 16．今年“国庆七日长假”，明明想参加“西湖两日游”，哪两日去呢，他共有 不同的选择。 17．如下图是2013年8月的月历卡，用形如的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数。框出的3个数和最大的是 ，一共可以框出 种不同的和。 培优精练 1．找规律△〇□☆△〇□☆……，第40个图形是（    ）。 A．三角形 B．圆形 C．正方形 D．星星 2．按规律填空：1、4、9、16、25、（    ）、49。 A．32 B．33 C．35 D．36 3．班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（    ）的。 A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 4．六年级一班开毕业典礼前，同学们用彩色小旗布置教室，按三红两黄两绿的规律连接起来，第2024个彩旗是（    ）。 A．红色 B．黄色 C．绿色 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 6．幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（    ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 7．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 8．一组数3、5、7、9、…中，第n个数是（    ）。 A．n B．2n C．2n＋1 9．如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（    ）。 A．2 B．1 C．3 D．4 10．将自然数1，2，3，如表排列，各列分别用，，，，表示，则2023所在的行、列为（    ）。 A．第504行列 B．第505行列 C．第506行列 D．第507行列 11．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 12．观察下图，寻找规律，问号处应填入（    ）。 A． B． C． D． 13．如果3月恰好有四个星期日，那么3月1号不可能是（    ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期三 D．星期二 14．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2021cm时，它停在（    ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 15．有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 16．下面分数是有规律排列的，、、、……根据这个规律，第20个分数是（    ）。 A． B． C． D． 17．如图所示，图①中的多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，……，以此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为（                ）。 A． B． C． D． 18．观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝( ) … ( )×( )＝999999999 19．观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 20．用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 21．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 22．如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 23．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 24．奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是( )。 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 25．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( )。 26．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝ ，b＝ 。 27．杨辉三角（如图）是我国古代数学瑰宝之一，仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是( )，代表的数字是( )。 28．例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝ 。 29．小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个……正方形（如图）。 (1)把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 ( ) … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 ( ) … 所有正方形的总面积 144 72 48 ( ) … (2)正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是( )分米，每个小正方形的面积是( )平方分米。 (3)正方形的个数与边长( )；正方形的边长与总面积( )。（填“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”） (4)若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系：( )。 30．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 31．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 32．仔细观察如图，任意框出四个数，请将表格中其余三个数用含有字母的式子表示出来。 如果框出的四个数的和是84，那么这四个数分别是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 综合与实践 之规律探索 旧知复习 1、常见数字排列的变化规律 1）每相邻两个数的差是一个固定的值； 2）相邻的两个数，后一个数总是前一个数的几倍； 3）每一个数都是这个数所在项数的平方或立方； 4）前几项的和等于后一项； 5）奇数位上或偶数位上相邻的两个数的差是一个固定的数； 6）奇数位上的数是相同的倍数关系。 2、常见图形的变化规律 1）图形按方阵的形式排列，每一行、每一列都有这些图形，呈循环排列； 2）图形排成一行，每组图形呈循环排列； 3）图形的规律与数字之间的规律类似，可以将图形转化成数字探索规律。 小试牛刀 题型一：算式的规律 1．算一算，填一填，把我的发现写出来。 1×8＋1＝ 12×8＋2＝ 123×8＋3＝ 1234×8＋4＝ （    ）×8＋（    ）＝ 我的发现是： 【分析】观察算式可知，第一个因数是形如123…的数，第二个因数是8，再加上第一个因数个位上的数，结果是形如987…的数，位数与第一个因数相同，据此即可解答。 【详解】1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 12345×8＋5＝98765 我的发现是：第一个因数是形如123…的数，第二个因数是8，再加上第一个因数个位上的数，结果是形如987…的数，位数与第一个因数相同。 2．找规律，填一填。 ×( )＝( )×( )＝( ) ×( )＝( )×( )＝( ) 根据你的发现，直接写出下面各式的结果。 ( )     ( )      ( ) 【分析】本题可根据积的变化规律，将后面式子中的因数拆分成与125×8相关的形式，将24看成8×3，32看成8×4，48看成8×6，64看成8×8，72看成8×9，观察这一组算式可知，一个乘数125不变，另一个乘数是8与几的乘积，积就是1000与几的乘积。 【详解】已知24＝8×3，所以125×24＝125×8×3。因为125×8＝1000，所以125×8×3＝1000×3＝3000。 因为32＝8×4，所以125×32＝125×8×4。又因为125×8＝1000，所以125×8×4＝1000×4＝4000。 由于48＝8×6，则125×48＝125×8×6。由125×8＝1000，可得125×8×6＝1000×6＝6000。 因为64＝8×8，所以125×64＝125×8×8。因为125×8＝1000，所以125×8×8＝1000×8＝8000。 鉴于72＝8×9，那么125×72＝125×8×9。又因为125×8＝1000，所以125×8×9＝1000×9＝9000。 3．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。 【分析】根据已知的例子发现规律，a△b是从a开始的连续b个依次递减1的自然数相加的和；据此可知，2024△5是从2024开始的连续5个依次递减1的自然数相加的和，据此计算出得数即可。 【详解】2024△5＝2024＋2023＋2022＋2021＋2020＝10110 则2024△5＝10110。 4．在括号里填合适的自然数，然后找出规律。                 根据上面的规律，你能直接写出下面算式的得数吗？ （     ）。 【分析】根据题意可知，一个分数的分子是1，分母如果分成两个相邻的自然数相乘，那么这个分数就等于分别以这两个自然数为分母，分子是1的分数差，分别求出两个分数的差等于、、、，进而求出算式的结果，据此解答。 【详解】＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＋＋＋＋＋＋＋ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＋＋＋＋＋＋＋＝ 5．根据每组第一个算式的结果直接写出其他算式的结果，并说说你发现了什么规律。 120×2＝240    24×45＝1080 120×4＝    12×45＝ 120×6＝    4×45＝ 120×8＝    2×45＝ 我发现：在乘法里，____________。 【分析】我们可以通过观察每组算式中因数的变化，来得出积的变化情况；当一个因数不变时，另一个因数发生变化，积也会相应地发生变化；据此解答。 【详解】根据分析：观察下面两组算式： 120×2＝240；24×45＝1080； 120×4＝480；12×45＝540； 120×6＝720；4×45＝180； 120×8＝960；2×45＝90； 观察第一组算式可以发现：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几； 观察第二组算式可以发现：一个因数不变，另一个因数除以几（0不能做除数，所以0除外），积也除以几； 总结：我发现：在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。 6．计算下面各题你发现了什么？ 我发现：求两个数除以一个相同的数（0除外）的商所得的和或差，可以先求这两个数的（    ），再（    ）这个相同的数。 根据上面的发现我可以很快得到下面各题的结果。 （    ）    （    ） 【分析】分别计算出两组算式，再进行观察。216÷9－36÷9＝24－4＝20，（216－36）÷9＝180÷9＝20；147÷7＋63÷7＝21＋9＝30，（147＋63）÷7＝210÷7＝30。 观察两组算式的结果，发现结果都相同，且都是两个数分别除以一个相同的数，再相加（相减），结果与这两个数先相加（相减）再除以这个数一致。据此解答。 【详解】由分析可知： 我发现：求两个数除以一个相同的数（0除外）的商所得的和或差，可以先求这两个数的和（差），再除以这个相同的数。 304÷8＋16÷8 ＝（304＋16）÷8 ＝320÷8 ＝40 432÷6－132÷6 ＝（432－132）÷6 ＝300÷6 ＝50 7．算一算，填一填，并找规律接着写算式。 23＋32＝（    ）    99－64＝（    ） 24＋42＝（    ）    88－54＝（    ） 25＋52＝（    ）    77－44＝（    ）（    ）＋（    ）＝（    ）  （    ）－（    ）＝（    ） （    ）＋（    ）＝（    ）  （    ）－（    ）＝（    ） 发现：左边算式第一个加数每次多（    ），第二个加数每次多（    ），得数每次多（    ）。 右边算式第一个数每次少（    ），第二个数每次少（    ），得数每次少（    ）。 【分析】先根据整数加减法的计算法则，依次算出每个算式的结果，然后观察算式，找出规律即可。 左侧算式，每个算式的第一个加数依次是23、24、25，也就是第一个加数每次都多1；第二个加数依次是32、42、52，也就是第二个加数每次都多10，则得数多的部分就是两个加数多的部分的和； 右侧算式，被减数依次是99、88、77，也就是被减数依次少11，减数依次是64、54、44，也就是减数依次少10，则得数少的部分就是被减数与减数减少的差。 【详解】由分析得：1＋10＝11；11－10＝1 23＋32＝55        99－64＝35 24＋42＝66        88－54＝34 25＋52＝77        77－44＝33 26＋62＝88        66－34＝32 27＋72＝99        55－24＝31 发现：左边算式第一个加数每次多1，第二个加数每次多10，得数每次多11。 右边算式第一个数每次少11，第二个数每次少10，得数每次少1。 8．王明在计算机课上编制了一个计算小程序，如果输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是王明做的几次操作情况： ①输入5，输出14。 ②输入8，输出23。 ③输入11，输出32。 （1）输入14，输出（    ）。 （2）输入9，输出（    ）。 （3）小程序的运算规律是什么？用你的方式写出来。 【分析】①输入5，输出14，即5×3－1＝15－1＝14； ②输入8，输出23，即8×3－1＝24－1＝23； ③输入11，输出32，即11×3－1＝33－1＝32。 发现：输入数乘3减1等于输出数。据此规律计算下面的题。 【详解】（1）14×3－1＝42－1＝41，即输入14，输出41。 （2）9×3－1＝27－1＝26，即输入9，输出26。 （3）小程序的运算规律是：输入数乘3减1等于输出数。 9．杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作。“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ （1）横着观察，李涵发现了这样的规律。 第二排：1＋1＝2 第三排：1＋2＋1＝4＝2×2。 第四排：1＋3＋3＋1＝8＝2×2×2。 第五排：（    ）＝（    ）＝（    ）。 …… 第n排，所有数的和是（    ）个2相乘的积。 （2）张明也在积极探索规律，他有了新的发现。 第三排：121＝11×11 第四排：1331＝11×11×11 第五排：14641＝11×11×11×11 照这样的规律，张明认为第六排的算式11×11×11×11×11的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”。这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法。 【分析】（1）观察前几排数字和： 第二排：1＋1＝2。 第三排：1＋2＋1＝4＝2×2。 第四排：1＋3＋3＋1＝8＝2×2×2。 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为1＋4＋6＋4＋1＝16＝2×2×2×2。 通过观察可以发现，第n排所有数的和是n−1个2相乘的积。因为从第二排开始，数字和依次是，，，⋯，指数比排数少1。可以发现规律：第n排所有数的和是（n－1）个2相乘的积。 （2）从第三排到第五排，我们看到杨辉三角中的数与11的连乘有这样的对应关系： 第三排：121＝11×11 ； 第四排：1331＝11×11×11 ； 第五排：14641＝11×11×11×11 。 按照前面的规律，第六排对应的式子是11×11×11×11×11 ，从杨辉三角看第六排数字是1、5、10、10、5、1 。 估算方面：11接近10 ，10×10×10×10×10＝100000 ，是六位数 ，所以11×11×11×11×11的结果应该是六位数。 十进制计数法方面：在杨辉三角中，这些数字相加时，因为满十要进一 。像第六排的10，在计算时会产生进位。比如个位相加满十向十位进一，十位相加满十向百位进一等等 ，所以实际结果不是简单按照数字排列得到八位数15101051 ，而是六位数161051 。 【详解】（1）第五排：1＋4＋6＋4＋1＝16＝2×2×2×2。 第n排所有数的和是n－1个2相乘的积。 （2）由于十进制计数法的进位以及估算可知，第六排11×11×11×11×11的积是六位数161051而不是八位数15101051。 题型二：数字排列的规律 1．有一列按规律排列的数：0.6、1.2、2.4、4.8…这列数的第6个是（    ）。 A．9.6 B．19.2 C．38.4 D．76.8 【分析】这组数的规律是前一个数的2份相加是后一个数，如0.6＋0.6＝1.2，1.2＋1.2＝2.4，2.4＋2.4＝4.8。 【详解】第五个数：4.8＋4.8＝9.6 第六个数：9.6＋9.6＝19.2 即0.6、1.2、2.4、4.8…这列数的第6个是19.2。 故答案为：B 2．17，14，，8，5，按规律，里的数是（    ）。 A．9 B．10 C．11 【分析】 根据17，14，，8，5的变化规律，可发现每相邻两数之差都是3。由17减去3得到14，14再减3得到11，11再减3得到8，8再减3得到5。 【详解】17－3＝14 14－3＝11 11－3＝8 8－3＝5 17，14，，8，5，按规律，里的数是11。 故答案为：C 3．在斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…中，到第2021个数止，共有（    ）个奇数。 A．1346 B．1347 C．1348 D．1349 【分析】观察发现这串数的奇偶性：奇、奇、偶、奇、奇、偶……，每3个为一个周期。2021个数中每3个为一个周期，一共有673组，余下的两个数都是奇数。每组里面有2个奇数，673组里面有1346个奇数，再加上2即可。 【详解】2021÷3＝673……2 673×2＋1 ＝1346＋2 ＝1348 则到第2021个数止，共有1348个奇数。 故答案为：C 4．小云按图所示的规律将1到24填入表格。填完后他从表格中剪下了一块。他剪下的不可能是（    ）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A． B． C． D． 【分析】根据图中规律，把表格中的数字填写完整（如下图），再根据剪下的数字的位置关系，找到数字排列不符合表中规律的，即可解答。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 【详解】A．数字排列符合表中规律； B．数字排列不符合表中规律； C．数字排列符合表中规律； D．数字排列符合表中规律。 所以，他剪下的不可能是。 故答案为：B 5．给定一列按规律排列的数：、、、…则这列数的第8个数是（    ）。 A． B． C． D． 【分析】由前4个是、、、，可知：分子是1，2，3，4，第几个数分子就是几，所以第8个数的分子是8；分母是2，5，10，17，相邻两个数之间的差分别是3，5，7…，由此求出第8个数的分母。 【详解】第8个数的分子是8， 分母是：17＋9＋11＋13＋15 ＝26＋11＋13＋15 ＝37＋13＋15 ＝50＋15 ＝65 则这列数的第8个数是。 故答案为：B 6．有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，，，…，则排列在第（    ）。 A．88个 B．94个 C．88个或94个 D．81个或88个 【分析】根据所给数可知，分母是1的有1个；分母是2的有3个；分母是3的有5个；分母是4的有7个……据此计算出分母是1－9的一共的个数，分母是10时，可能是第7个，也可能是第13个。据此计算即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋7＝88 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋13＝94 据此可知排列在第88个或者第94个。 故答案为：C 7．按规律填数。 (1)345，436，527，( )，( )。 (2)4500，4400，4300，( )，( )。 【分析】（1）百位上依次是3、4、5…；后面两个数依次是口诀五九四十五、四九三十六、三九二十七……中的积。 （2）数据从左往右依次小100。 【详解】（1）345，436，527，618，709。 （2）4500，4400，4300，4200，4100。 8．找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 【分析】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，……，所以，这一组数的规律是从第三个数开始，每个数是前两个数之和； （2），，，，……，所以，这一组数的规律是每个分数的大小相等，从第二个数开始，每个数是有前一个数的分子和分母同时乘2得到的；据此解答。 【详解】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21；13＋21＝34； 所以，1，2，3，5，8，（13），21，（34）。 （2），，，，， ； 所以，，，，，，，，。 9．找规律填数。 (1)( )，( )，( )。 (2)，( )，( )，( )。 【分析】（1）可以发现分子依次是1、2、3，呈现依次加1的规律；分母依次是2、3、4，也呈现依次加1的规律。 （2）分子依次是1、3、5，呈现依次加2的规律；分母依次是5、10、15，呈现依次加5的规律。 【详解】（1）第一个括号处，分子应该是3＋1＝4，分母应该是4＋1＝5，所以这个数是；第二个括号处，分子是4＋1＝5，分母是5＋1＝6，这个数是；第三个括号处，分子是5＋1＝6，分母是6＋1＝7，这个数是。 （2）第一个括号处，分子应该是5＋2＝7，分母应该是15＋5＝20，所以这个数是；第二个括号处，分子是7＋2＝9，分母是20＋5＝25，这个数是；第三个括号处，分子是9＋2＝11，分母是25＋5＝30，这个数是。 10．找规律填数。 【分析】根据题意，最外面的两条斜着的都是1，则第一个空和最后一个空都是1，第一排是两个1，1＋1＝2，正好是第二排中间的数，第二排1＋2＝3，2＋1＝3，第三排中间正好是两个3，则每个方格是上一层左右的两个数相加的结果，据此填空即可。 【详解】 11．找规律，填一填。 【分析】由题中数据可知，左上角两个小三角形中的数相加等于右下角大三角形中的数（或右下角大三角形中的数减去左上角两个小三角形中的一个数，求出差，就是左上角两个小三角形中的另一个数），依此列式计算即可。 【详解】5＋10＝15，20＋13＝33， 37＋8＝45；62－40＝22；72－65＝7； 即， 12．将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式。观察规律，第20行的第3个数是( )。 【分析】由图可知第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，由此规律可得第19行有19个数；且第19行最后一个数为（1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19），计算出第19行的最后一个数，则第20行的第3个数为第19行最后一个数＋3，据此解答。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19 ＝（1＋19）×（19÷2） ＝20×9.5 ＝190 190＋3＝193 因此第20行的第3个数是193。 13．将1~99的99个整数按从小到大的顺序排列如下：1234567891011121314…9899，相邻两个数码的距离都是1厘米。现有黑、白两只电动跳蚤，每秒都跳1厘米，黑跳蚤从左端“1”出发，白跳蚤从右端“9”出发，两只跳蚤同时出发，它们会在数码 相遇。 【分析】通过题意可知，一位数有9个，两位数有90个，据此可知，共有（9×1＋90×2）个数码，相邻两个数码的距离都是1厘米，所以用（数码总数－1）×1即可求出总长度，根据相遇时间＝路程和÷速度和，用总长度除以两只跳蚤的速度和，即可求出相遇时间，即94秒；据此先计算出，黑跳蚤跳到50的数码“0”需要（9×1＋41×2－1）秒，即90秒，还需（94－90）秒，即4秒，所以需要再跳4厘米，也就是4个数码，50后面的4个数码分别是5152，所以黑跳蚤跳到数码2。 【详解】9×1＋90×2 ＝9＋180 ＝189（个） （189－1）×1 ＝188×1 ＝188（厘米） 相遇时间： 188÷（1＋1） ＝188÷2 ＝94（秒） 黑跳蚤跳到50的数码“0”需要： 9×1＋41×2－1 ＝9＋82－1＝90（秒） 还需94－90＝4（秒） 所以需要再跳4厘米，也就是4个数码，50后面的4个数码分别是5152，黑跳蚤跳到数码2。 14．仔细观察下图中数的排列规律，并在□里填上合适的数。                        1                    1    1               1    2    1            1   3    3     1       1    4    6     4    1 1       1 【分析】如图，每行首尾的数均为1，从第二行开始，上面一行相邻的两个数相加的和就是下面一行位于这两个数中间的那个数，按此规律填数即可。 【详解】                              1                          1    1                     1    2    1               1    3    3     1           1    4    6     4    1       1    5    10    10    5　　 1 1   　6    15    20    15    6    1 15．在某小区为业主举办的元旦晚会上，主持人为业主们准备了一个游戏；从300个外形相同的福袋中找到唯一装有奖品的福袋，主持人将这些福袋按1至300的顺序编号排成一列，第一次先请一位业主从中取出所有序号为单数的球，均没有发现奖品，接着主持人将剩下的福袋又按1至150重新编号排成一列（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号，……，原来的300号变为150号），又请一位业主从中取出所有新序号为单数的球，也没有发现奖品，……，如此下去，直到最后一个福袋是装有奖品的，那么这个装有奖品的福袋最初的序号是( )。 【分析】每次取出后剩余的球序号都发生有规律的变化，第一次取出后剩余的球的序号变成了2（2＝21）的倍数，第二次取出后剩余的球的序号变成了4（4＝22）的倍数，第三次取出后剩余的球的序号变成了8（8＝23）的倍数……结合总球数是300个，依照这个规律解答。 【详解】第一次取出后，2号变1号，4号变2号，6号变3号……剩下所有球的序号都是2（2＝21）的倍数； 第二次取出后，4号变1号，8号变2号，12号变3号……剩下所有球的序号都是4（4＝22）的倍数； 第三次取出后，8号变1号，16号变2号，24号变3号……剩下所有球的序号都是8（8＝23）的倍数； …… 则第n次取出后，剩下所有的球的序号都是2n的倍数； 因为28＝256，29＝512＞300，第八次取出后，剩下的球的序号是28的倍数，即256的倍数，所以剩下的球只有256号（共有300个球），这一个福袋就是有奖品的。 题型三：图形的变化规律 1．照下面的规律，第（    ）幅图时，“数”“学”两个字第一次相邻。 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】仔细观察三幅图可知，“数”字绕着正方形的最外围每次顺时针移动2格，“学”字绕着正方形的最外围每次顺时针移动4格，据此推算出后面几幅图如下： 由图可知，第5幅图时，“数”“学”两个字第一次相邻。 【详解】由分析得，第5幅图时，“数”“学”两个字第一次相邻。 故答案为：B 2．●▲■■●▲■■，接下来画的是（    ）。 A．■ B．▲ C．● 【分析】●▲■■，这四个图形依次重复出现，故，●▲■■●▲■■，接下来画的是●。 【详解】由分析可知： ●▲■■●▲■■，接下来画的是●。 故答案为：C 3．兰兰和京京在方格中有规律地移动爱心和五角星（如图），问号处应该选（    ）。 A． B． C． 【分析】 观察可以发现，五角星按顺时针每移动2格，爱心按就按逆时针每移动3格，按照此规律，据此选择即可。 【详解】 由分析可知，问号处应该选。 故答案为：C 4．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 【分析】先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，发现列数等于行数加1，第一个图形内部的小圆点2列1行，第二个图形内部的小圆点3列2行，第三个图形内部的小圆点4列3行，依次规律，第个图形内部的小圆点列行，据此解答。 【详解】第1个图形中有小圆点： （个） 第2个图形中有小圆点： （个） 第3个图形中有小圆点： （个） 第4个图形中有小圆点： （个） 第个图形中有小圆点： 个 当时， （个） 所以第个图形内部的小圆点有424个。 故答案为：D 5．， 里的图形是哪个？（    ） A． B． C． 【分析】 通过观察可知，这些图形是以为一组重复出现的，因此 里的图形是。 【详解】由分析可知： 里的图形是。 故答案为：A 6．像这样继续摆下去，第5个图形有（    ）根小棒。 A．24 B．30 C．36 【分析】由图可得：第1个图形有6根小棒，第2个图形有（2×6＝12）根小棒，第3个图形有（3×6＝18）根小棒，由此可得：第几个图形的小棒规律为：几×6，由此根据规律解答即可。 【详解】由分析可得： 5×6＝30（根） 即，像这样继续摆下去，第5个图形有30根小棒。 故答案为：B 7．观察下面图形找规律。 正方形的个数 1 2 3 4 5 直角三角形的个数 0 4 8 按照上面的画法，如果要得到100个直角三角形，需要画（    ）个正方形。 A．24 B．26 C．28 D．29 【分析】根据题意可知，1个正方形有0个直角三角形，2个正方形有4个直角三角形，3个正方形有（4＋4）个直角三角形，4个正方形有（4＋4＋4）个直角三角形，……，据此可知，n个正方形有4（n－1）个直角三角形。据此解答。 【详解】根据题意可知，n个正方形有4（n－1）个直角三角形， 4（n－1）＝100 4（n－1）÷4＝100÷4 n－1＝25 n－1＋1＝25＋1 n＝26 如果要得到100个直角三角形，需要画26个正方形。 故答案为：B 8．观察下图，根据前面三幅图的规律，第四幅图是（    ）。 A． B． C． 【分析】观察图片可知，正方形的位置依次是：左上角，左下角，右下角和右上角；三角形的位置依次是：左下角，右下角、右上角和左上角；四角星的位置依次是：右下角、右上角、左上角和左下角；圆形的位置依次是：右上角、左上角、左下角和右下角；据此解决。 【详解】由题意分析得： 观察下图，根据前面三幅图的规律，第四幅图是。 故答案为：A 9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ）。 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 【分析】一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，即每5个不同颜色的纸环为一组循环，且右边剩下的4个纸环以“黄绿蓝紫”的顺序排列，正好是一组的结束，所以这个纸环链用到纸环的总个数是5的倍数； 截去其中的一部分，左边剩8个纸环，右边剩4个纸环，一共还剩下12个纸环；分别用四个选项的个数加上12，看得数是否是5的倍数，如果是5的倍数，就是被截去部分纸环可能的个数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】A．2010＋12＝2022，2022不是5的倍数，所以2010不是被截去部分纸环的个数； B．2011＋12＝2023，2023不是5的倍数，所以2011不是被截去部分纸环的个数； C．2012＋12＝2024，2024不是5的倍数，所以2012不是被截去部分纸环的个数； D．2013＋12＝2025，2025是5的倍数，所以2013可能是被截去部分纸环的个数。 故答案为：D 10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33 【分析】根据题目可知，三角形数的规律为：第1个三角形个数＝1，第2个三角形个数＝1＋2＝3，第3个三角形个数＝1＋2＋3＝6，第4个三角形个数＝1＋2＋3＋4＝10，……第n个三角形个数＝1＋2＋3＋4＋…＋n，而任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A．1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，那么9和16都不是“三角形数”，不符合题意； B．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，那么15和21都是“三角形数”，且是两个相邻的“三角形数”，符合题意； C．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么18和31都不是“三角形数”，不符合题意； D．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么31和33都不是“三角形数”，不符合题意； 所以符合这一规律的是36＝15＋21。 故答案为：B 11．按规律接着画。 (1)□△□△ ， 。 (2)○☆☆○☆☆ ， ， 。 【分析】（1）□△这两个图形依次循环出现； （2）○☆☆这三个图形依次循环出现；据此解决即可。 【详解】（1）由分析可知： □△□△□，△。 （2）○☆☆○，☆，☆。 12．根据下面几幅图的规律，照这样算，第10幅图中有( )个〇，有( )。 【分析】由图可知，第1幅图有8个〇，第2幅图有12个〇，第3幅图有16个〇。对比可知，圆的数量依次加4，那么第10幅图中圆的数量就等于第一幅图中圆的数量加上9个4。第1幅图中有1×1＝1（个）正方形，第2幅图中有2×2＝4（个）正方形，第3幅图中有3×3＝9（个）正方形，那么第10幅图就应该有（10×10）个正方形。据此解答。 【详解】8＋（10－1）×4 ＝8＋9×4 ＝8＋36 ＝44（个） 10×10＝100（个） 故第10幅图中有44个〇，有100个。 13．按规律，画出下一个图形：( )。 【分析】观察这组图形，每个图形左边的数字依次是3、4、5、6，则接下来图形左边的数字应该是7。每个图形都是轴对称图形，据此解答。 【详解】 画出下一个图形：。 14．观察下图中的棋子，并填空。 (1)按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子的颗数是( )。 (2)用含n的代数式表示第n个图形的棋子颗数是( )。 (3)第20个图形需棋子( )颗。 【分析】观察给出的图形，我们可以发现：第1个图形有4个棋子，第2个图形有7个棋子，第3个图形有10个棋子，每增加一个图形，棋子的数量就增加3个。根据这个规律，第4个图形的棋子数应该是第3个图形的棋子数加上3；可以得出关系：第1个图形的棋子数＝4，第2个图形的棋子数＝7＝4＋3，第3个图形的棋子数＝10＝4＋3×2，由此可以推断，第n个图形的棋子数＝4＋3×（n－1）；根据这一代数式，将20代入代数式中，即可得到第20个图形的棋子数。 【详解】（1）10＋3＝13，第4个图形中的棋子的颗数是13。 （2）第1个图形的棋子数＝4，第2个图形的棋子数＝7＝4＋3，第3个图形的棋子数＝10＝4＋3×2，由此可以推断，第n个图形的棋子数＝4＋3×（n－1）＝4＋3n－3＝3n＋1。 用含n的代数式表示第n个图形的棋子颗数是3n＋1。 （3）3n＋1＝3×20＋1＝60＋1＝61 第20个图形需棋子61颗。 15．用火柴棒摆金鱼，根据规律填一填。 8根           ( )根       ( )根       ( )根 【分析】由题意得，用火柴棒摆金鱼，第一条金鱼需要8根火柴棒，后面每增加1条金鱼需要用6根火柴棒，所以第2幅图需要（8＋6）根火柴棒，第3幅图需要（8＋6＋6）根火柴棒。第7幅图中，需要在8根火柴棒的基础上增加6个6根。据此解答。 【详解】8＋6＝14（根） 8＋6＋6 ＝14＋6 ＝20（根） 8＋（7－1）×6 ＝8＋6×6 ＝8＋36 ＝44（根） 16．如图，虚线把正方形点阵分成两个三角形点阵，按此规律，第9个图形的算式是 ＋ ＝ 2。 【分析】通过观察可知，第1个图形的算式结果是22，第2个图形的算式结果是32，第3个图形的算式结果是42，……以此类推，第n个图形的算式结果是（n＋1）2。第1个图形算式的第1个加数是1，第2个图形算式的第1个加数是（1＋2），第3个图形算式的第1个加数是（1＋2＋3），……以此类推，第n个图形算式的第1个加数是（1＋2＋3＋…＋n），然后用减法各部分的关系，一个加数＝和－另一个加数，推算出每个算式第二个加数的结果。 【详解】（9＋1）2 ＝102 ＝100 1＋2＋3＋4＋…＋9 ＝（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝45 100－45＝55 按此规律，第9个图形的算式是45＋55＝102 题型四：其他规律探索 1．三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等，据此可知：第一行的数字和等于第一列的数字和，第一行数字之和为6＋10＋左上角数字，第一列数字之和为12＋a＋左上角数字，因为它们相等，所以可以忽略左上角数字（因为两边都有，会相互抵消），得到等式12＋a＝6＋10，两边同时减去12即可求解。 【详解】12＋a＝6＋10 解：12＋a＝16 12＋a－12＝16－12 a＝4 所以a的值为4。 故答案为：A 2．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【分析】（1）根据百数表中数的排列规律，结合3的倍数的特征及数的奇偶性、质数和合数的意义进行选择即可。 一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）在百数表中，二连方的两个数，一个是奇数，另一个一定是偶数，一个是偶数，另一个一定是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】（1）9＋5＝14，14不是3的倍数； 2＋3＋7＝12，12是3的倍数； 1＋1＋5＝7，7不是3的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数。 在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 237。 故答案为：B （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。两个相邻的数之差是1，一个奇数一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，盖住的任意两个数之和一定是奇数。 故答案为：A 3．观察下表方框中的9个数，下列发现正确的是（    ）。 A．竖着看，上一行的数比下一行的数多10。 B．横着看，左一列的数比右一列的数多1。 C．斜着看，对角线上的三个数字之和相等。 【分析】方框中的9个数分别为：第一排23、24、25；第二排：33、34、35；第三排43、44、45；43－33＝10、33－23＝10、44－34＝10、34－24＝10、45－35＝10、35－25＝10；43＋34＋25＝102、23＋34＋45＝102，依此即可选择。 【详解】A．竖着看，上一行的数比下一行的数少10，即此项错误。 B．横着看，左一列的数比右一列的数少1，即此项错误。 C．斜着看，对角线上的三个数字之和相等，即此项正确。 故答案为：C 4．观察下面图形的排列，想一想，第100个图形是（    ）。 A． B． C． 【分析】根据题意可知，图形的变化是有规律的，按照为一组依次重复出现，也就是把这4个图形看成一组，周期为4；用100除以4求出100个图形里有几组这样的周期，如果没有余数，第100个图形就是周期的最后一个，如果有余数，余数是几，第100个图形就是周期的第几个图形。 【详解】（组） 所以第100个图形是。 故答案为：C 5．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在（    ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段DE上 D．线段EA上 【分析】用爬行距离÷每段距离＝爬行段数，根据周期问题的解题方法，爬行段数÷总段数，根据余数确定在哪条线段即可。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】2024÷3＝674（段）……2（cm） 周期AB、BC、CD、DE、EA 674÷5＝134（圈）……4（段） 当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在线段EA上。 故答案为：D 6．普通话汉语拼音有四个声调：阴平、阳平、上声、去声。照这样的顺序，每个声调说一个对应的汉字，第256个汉字应该是（    ）声调。 A．去声 B．阳平 C．阴平 【分析】根据题意，每4个汉字为一组，用256除以4求出商，如果没有余数，那么说明正好是第四个声调，如果有余数，余数是几就是第几个声调。 【详解】256÷4＝64（组） 第256个汉字应该是去声声调。 故答案为：A 7．在百数表中，用三连方（如图）盖住了三个数字，这三个数字之和是（　　）。 A．69 B．100 C．105 D．130 【详解】根据题干分析可得：14＋23＋32＝69 故答案为：A 8．在下面的数表中，每次框出相邻的2个数，一共有（　　）种不同的和。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A．12 B．11 C．10 D．9 【详解】数字的个数是：13－2＋1＝12 不同的和一共有：12－1＝11（种） 故答案选：B 9．下面是小明帮妈妈做家务需要的时间，他至少需要( )分钟才能完成以下全部家务． 扫地 擦桌子 洗水壶 烧水 6分钟 2分钟 1分钟 9分钟 A．18 B．10 C．9 D．8 【详解】1+9=10(分钟)． 故答案为C． 先洗水壶用1分钟，再烧水用9分钟，烧水的同时可以扫地、擦桌子． 10．王明采用实验法研究“荡秋千的次数与什么有关”这一问题时，其中一组实验数据如图所示，根据表格数据可以得出（    ）。 时间 15秒 绳长 15厘米 钩码 10克 20克 30克 次数 8次 8次 8次 A．在相同时间内，荡秋千的次数与绳长有关 B．在相同时间内，荡秋千的次数与质量有关 C．在相同时间内，荡秋千的次数与质量无关 【分析】从实验一的实验数据可知，绳长固定为15厘米，钩码质量分别是10克、20克和30克，荡秋千次数都是8次，即在相同的时间内，由于荡秋千的次数在不同质量下都是8次，这表明荡秋千的次数与质量无关；据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 当绳长相同、钩码质量不同时，在相同的时间内，荡秋千的次数相同；得出结论：在相同时间内，荡秋千的次数与质量无关。 故答案为：C 11．学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如下图）。 照这样，钉15张图画需要（    ）颗图钉。 A．30 B．32 C．56 D．60 【分析】从图中发现：钉第一张图画需要4颗图钉，再增加一副需要多2颗图钉，依此类推，每增加一幅图就多2颗图钉，照这样，钉15张图画是增加了15－1＝14幅图，那么增加了14×2颗图钉，再加原有的4颗图钉即可。 【详解】（15－1）×2＋4＝14×2＋4＝28＋4＝32（颗） 钉15张图画需要32颗图钉。 故答案为：B 12．找规律填数。 【分析】根据前三组可知：3＋9＝12；5＋9＝14；9＋8＝17，即下边的两个数字相加等于上边的数字；上边的数字减去下边的一个数字，等于下边的另一个数字。 【详解】16－9＝7； 4＋7＝11； 13－8＝5； 13．在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。你知道A、B、C、D分别是几吗？ A＝( )    B＝( )    C＝( )    D＝( ) 【分析】根据题意可知，先看最后一列有1和4，则第一、二行该列只能是2和3。由于第一行已含3，故第一行第四列只能放2，第二行第四列放3；这样第一行还差1和4两个数；第三行（已知有2和1）还差3和4，再看第三列，如果让D＝4，则第一行同列的B也会是4，形成重复，故只能D＝3、B＝4；相应C＝4、A＝1；将其余空格依次填完，可核对每行每列均含1～4且不重复，即可得出所求结果。 【详解】根据分析可得： A＝1   B＝4   C＝4   D＝3 14．按一定的规律写数：1、2、﹣3、4、5、﹣6、7、8、﹣9…，当写完第100个数停下来时，写的数中一共有( )个正数，( )个负数。 【分析】将写的这一组数中每三个数分为一组，每组中前两个数为正数，后一个数为负数；用100除以3所得商为一共有几组数，余数为每组中的第几个数，最后用所得商乘2再加上这个余数，就是所有正数的个数，用100减去正数的个数，所得差即为负数的个数。 【详解】100÷3＝33（组）……1（个） 余数为1，最后一个数在第34组的第1个，可知为正数。 正数：2×33＋1 ＝66＋1 ＝67（个） 负数：100－67＝33（个）。 因此写的数中一共有67个正数，33个负数。 15．△□□★★△□□★★……左起第28个是( )，当□和★一共是24个时，△最少是( )个。 【分析】观察图形排列规律为 △□□★★循环，每个周期包含5个图形，用总数量除以5，可以算出一共分了几个周期的第几个图形即可解决问题。 每个周期中，□和★共4个。当总数为24时，需完整周期数：24÷4＝6。每个周期含1个△，因此6个周期对应6个△。据此解答。 【详解】28÷5＝5（个）……3 左起第28个是□。 24÷4＝6（个） △至少6个。 △□□★★△□□★★……左起第28个是□，当□和★一共是24个时，△最少是6个。 16．今年“国庆七日长假”，明明想参加“西湖两日游”，哪两日去呢，他共有 不同的选择。 【详解】明明可以选择以下的两天去旅游： 10月1日和10月2日；10月2日和10月3日；10月3日和0月4日；10月4日和10月5日；10月5日和10月6日；10月6日和10月7日；共6种选择。 故答案为：6种 17．如下图是2013年8月的月历卡，用形如的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数。框出的3个数和最大的是 ，一共可以框出 种不同的和。 【详解】29＋30＋31＝59＋31＝90 1＋5×4＝21（种） 答：框出的3个数和最大的是 90，一共可以框出 21种不同的和。 故答案为90，21 培优精练 1．找规律△〇□☆△〇□☆……，第40个图形是（    ）。 A．三角形 B．圆形 C．正方形 D．星星 【分析】把△〇□☆看成一组，每组里面有4个图形，40÷4＝10组，则40个图形里面刚好有10组这样的图形，那么第40个图形就是这组里面的最后一个图形，据此解答。 【详解】40÷4＝10（组） 分析可知，第40个图形是☆。 故答案为：D 2．按规律填空：1、4、9、16、25、（    ）、49。 A．32 B．33 C．35 D．36 【分析】观察可知规律，第一个数是12，第二个数是22，第三个数是32，第四个数是42，第五个数是52，则第六个数是62计算62即可得解。 【详解】 按规律填空：1、4、9、16、25、36、49。 故答案为：D 3．班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（    ）的。 A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【分析】根据题意，这组气球是以3＋2＋2＋1＝8个气球为一个循环周期，分别按3红、2黄、2绿、1白的顺序循环排列； 求第132个气球的颜色，就是求132里有几个8，用除法计算，如有余数，余数是几，就是一个循环周期里的第几个气球；如果没有余数，就是一个循环周期里的最后一个气球，据此找到对应的颜色即可。 【详解】132÷8＝16……4 余数是4，是一个循环周期里的第4个气球，即黄气球； 第132个气球是黄色的。 故答案为：B 4．六年级一班开毕业典礼前，同学们用彩色小旗布置教室，按三红两黄两绿的规律连接起来，第2024个彩旗是（    ）。 A．红色 B．黄色 C．绿色 【分析】根据题意，彩色小旗按三红两黄两绿的规律连接起来，每（3＋2＋2）个彩旗一循环，用2024除以（3＋2＋2），商是几，就有几个完整的循环，余数是几，则第2024个彩旗是循环里面第几个。 【详解】2024÷（3＋2＋2） ＝2024÷7 ＝289（组）……1（个） 循环中第1个彩旗是红色，所以第2024个彩旗是红色的。 故答案为：A 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 6．幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（    ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，称为幻和。 可以通过设一些空格为字母，将连通的一横行、一竖列或对角线上的三个数相加后相等，通过等式的关系求解。 根据幻方的特征可知，第一行数相加等于第一列数相加，即可求出第一列第3个数A的值；通过观察表①，可以发现中心的数始终等于两边的数的平均值，可以通过这个规律求出表②中心的数，然后求出幻和，再进一步解答即可。 【详解】如下图，设22下方的数字为A，22右边的数字为B。 m 6 20 22 B A ①m＋22＋A＝m＋6＋20 解：m＋22＋A－m＝m＋6＋20－m 22＋A＝26 22＋A－22＝26－22 A＝4 ②B＝（4＋20）÷2 ＝24÷2 ＝12 ③4＋20＋12＝m＋6＋20 解：36＝m＋26 m＋26－26＝36－26 m＝10 则m的值是10。 故答案为：B 7．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 8．一组数3、5、7、9、…中，第n个数是（    ）。 A．n B．2n C．2n＋1 【分析】观察这组数可知：第1个数是3，3＝1×2＋1；第2个数是5，5＝2×2＋1；第3个数是7，7＝3×2＋1；第4个数是9，9＝4×2＋1；由此可知：第n个数就是n×2＋1，即2n＋1。 【详解】根据分析可得： 一组数3、5、7、9、…中，第n个数是2n＋1。 故答案为：C 9．如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（    ）。 A．2 B．1 C．3 D．4 【分析】观察这组数的特点，每6个数为一轮，1、2、3、4、3、2，再用2019除以6，看余数，即可确定答案。 【详解】根据观察，每6个数为一轮。 2019÷6＝336……3 则第2019名学生所报的数是3 故答案为：C 10．将自然数1，2，3，如表排列，各列分别用，，，，表示，则2023所在的行、列为（    ）。 A．第504行列 B．第505行列 C．第506行列 D．第507行列 【分析】先看行，每行4个数，用2023除以4，若没有余数，商就是行数，若有余数，商加上1就是行数；再看列，每8个数按照、、、、、、、排列，用2023除以8，余数是几，就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。据此解答。 【详解】行：每4个数一行，则（行（个 （行 列：周期为、、、、、、、，两行8个数看作1组有规律的排列，则 （组（个 余数是7则是第列。 即2023所在的行、列为第506行列。 故答案为：C 11．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【详解】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 12．观察下图，寻找规律，问号处应填入（    ）。 A． B． C． D． 【分析】观察图形，看前面两列，每一列的点都在同一个圆圈里，按顺时针转动。 【详解】所以第三列的最后一个图跟第三列第一、第二个图一样，点在圆外按顺时针转动。 故答案为：A 13．如果3月恰好有四个星期日，那么3月1号不可能是（    ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期三 D．星期二 【分析】1个星期是7天，所以一个月以7天为一组进行循环，所以3月有31天，用31÷7即可求出3月份有4个星期，还多3天。如果3月恰好有四个星期日，那么多出的3天不可能是星期日，也就是前3天不可能包含星期日，也就是3月1号只能从星期一、二、三、四开始。 【详解】1周有7天， 31÷7＝4（周）……3（天） 前3天不可能包含星期日，也就是3月1号只能从星期一、二、三、四开始，所以不可能是星期五、星期六、星期日。 故答案为：A 14．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2021cm时，它停在（    ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 【分析】用爬行距离÷每段距离＝爬行段数，根据周期问题的解题方法，爬行段数÷总段数，根据余数确定在哪条线段即可。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】2021÷3≈674（段） 周期AB、BC、CD、DE、EA 674÷5＝134（圈）……4（段） 当小蚂蚁爬了2021cm时，它停在线段DE上。 故答案为：D 15．有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 【分析】30分钟里有6个5分钟。第一个5分钟，传染给2个人，这样就有3个病毒感染者。第二个5分钟，3个病人传染给6个人，这样一共就有9个病毒感染者。依此类推，从而计算出第6个5分钟会有多少人感染。 【详解】30÷5＝6（个） 第一个五分钟：1＋1×2＝3（人） 第二个五分钟：3＋3×2＝9（人） 第三个五分钟：9＋9×2＝27（人） 第四个五分钟：27＋27×2＝81（人） 第五个五分钟：81＋81×2＝243（人） 第六个五分钟：243＋243×2＝729（人） 故答案为：A 16．下面分数是有规律排列的，、、、……根据这个规律，第20个分数是（    ）。 A． B． C． D． 【分析】分子的排列9、16、25、36……，从3²开始，依次是4²、5²、6²……，第20个分数数的分子是（20＋3－1）的平方；分母的排列5、12、21、32……，是按＋7、＋9、＋11，后边的数和前边相邻的数的差每次多2，到第20个数是5＋7＋9＋…＋（19×2＋5），据此分别求出分子和分母，写出第20个分数即可。 【详解】根据分析： （20＋3－1）²＝22²＝22×22＝484 5＋7＋9＋…＋（19×2＋5）＝5＋7＋9＋…＋43＝（5＋43）×20÷2＝48×10＝480 第20个分数是。 故答案为：D 17．如图所示，图①中的多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，……，以此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为（                ）。 A． B． C． D． 【分析】由题意可知：等边三角形“扩展”而来的多边形的边数为12＝3×（3＋1），正方形“扩展”而来的多边形的边数为20＝4×（4＋1），正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30＝5×（5＋1），正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42＝6×（6＋1），…所以正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n＋1），据此解答即可。 【详解】根据分析可知，正n边形“扩展”而来的多边形的边数为：n（n＋1）。 故正确答案为：B 18．观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝( ) … ( )×( )＝999999999 【分析】观察给出的前三个算式可知，第一个乘数都是12345679，第二个乘数都是9的倍数，第二个乘数是9的几倍，算式的乘积就是9个几；据此解答。 【详解】36＝4×9，12345679×36＝444444444 9×9＝81，12345679×81＝999999999 19．观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【详解】 20．用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【分析】通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需（4n＋1）根小棒；据此解答即可。 【详解】第4个图形需要： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（根） 搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要17根小棒，搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 21．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 22．如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 【分析】观察可知规律，图一黑色正方形有1个，白色正方形有个；图二黑色正方形有2个，白色正方形有个；图三黑色正方形有3个，白色正方形有个；图四黑色正方形有4个，白色正方形有个即第n幅图黑色正方形有n个，白色正方形有个。 【详解】图四白色正方形的个数： （个） 黑色正方形个数 1 2 3 4 n 白色正方形个数 8 13 18 23 23．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 【分析】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3； 第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3； 第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3； 第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3 规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。 【详解】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。 24．奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是( )。 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 【分析】根据题意可知，输入第几个数据时，输出的分子就是输入数字×2，分母是输入数字×2＋1，据此求出当输入数据8时，输出的数据。 【详解】分子：8×2＝16 分母：8×2＋1＝16＋1＝17 当输入数据8时，输出的数据是。 奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是。 25．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( )。 【分析】由题可知，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可。 【详解】200÷2×6－1 ＝100×6－1 ＝600－1 ＝599 因此当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599。 26．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝ ，b＝ 。 【分析】从表格已有数据分析可得：每一列上下两个数字的差相等，第1列上下两个数字相差1，第2列上下两个数字相差2，第3列上下两个数字相差3。每一行左右两个数字的差相等，第1行左右两个数字相差1，第2行左右两个数字相差2，第3行左右两个数字相差3。右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，根据规律，即可求解。 【详解】根据分析，解答如下： 15－12＝3，15＋3＝18 从表1中可以发现：表二截取的是其中的一列：上下两个数字相差3，所以15增加3是18，a是18。 25－20＋1＝6，24＋6＝30 从表1中可以发现：表三截取的是两行两列的相邻的四个数字，左边一列数字的差是5，右边一列数字的差是5＋1＝6，所以b是30。 表中a＝18，b＝30。 27．杨辉三角（如图）是我国古代数学瑰宝之一，仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是( )，代表的数字是( )。 【分析】观察发现，每行中的数字除两边都是1以外，其它数都是上一行与之相邻的两数的和，如：第三行的3是第二行1和相邻数2的和，第四行的6是第三行两个相邻数3与3的和，据此可分析A处于最后一行的两端为1，B为上一行两个相邻数6和4的和，据此解答即可。 【详解】 仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是1，代表的数字是10。 28．例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝ 。 【分析】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，每10个数组成一个周期，周期内数的个位分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每个周期内10个数的个位之和是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45。用2013除以10，所得的商表示有几个周期，余数是几，就数出周期中的前几个数字。用45乘周期的数量，再加上余数表示的几个数字，即可求出式子的和。 【详解】12＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100 1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45 2013÷10＝201……3 45×201＋1＋4＋9 ＝9045＋1＋4＋9 ＝9059 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝9059。 29．小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个……正方形（如图）。 (1)把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 ( ) … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 ( ) … 所有正方形的总面积 144 72 48 ( ) … (2)正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是( )分米，每个小正方形的面积是( )平方分米。 (3)正方形的个数与边长( )；正方形的边长与总面积( )。（填“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”） (4)若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系：( )。 【分析】（1）观察表格数据可知规律：正方形的边长×正方形的个数＝12；正方形的顶点总数每次增加3个；正方形的总面积×正方形的个数＝144；，据此可得答案； （2）利用（1）中所得规律，解答即可； （3）利用（1）中所得规律，乘积一定是反比例，比值一定是正比例； （4）由所有正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和可得答案。 【详解】（1）填表如下： 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 3 … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 13 … 所有正方形的总面积 144 72 48 36 … （2）12÷6＝2（分米） 2×2＝4（平方分米） 所以，正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是2分米，每个小正方形的面积是4平方分米。 （3）因为正方形的个数与边长的乘积为12，乘积一定，所以它们成反比例； 因为正方形的边长与总面积的商为，商一定，所以它们成正比例。 （4）因为4＝1＋3，7＝1＋2×3，10＝1＋3×3。 所以正方形的个数是n，顶点总数是m，则m＝1＋3n。 30．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【分析】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1＝4088483 31．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 32．仔细观察如图，任意框出四个数，请将表格中其余三个数用含有字母的式子表示出来。 如果框出的四个数的和是84，那么这四个数分别是多少？ 【分析】此题考查了简单图形覆盖现象中的规律，明确：横着相邻的两个数，从左向右依次增加1；竖着相邻2个数，从上向下依次增加7，是解答此题的关键． 【详解】（1）根据表中数据可知：横着相邻的两个数，从左向右依次增加1；竖着相邻2个数，从上向下依次增加7；因为17＋18＋24＋25＝84，所以这四个数分别是17、18、24、25； 因为17＋18＋24＋25＝84，所以这四个数分别是17、18、24、25。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$