内容正文:
答案第 1页,共 11页
《大庆中学 2024-20225 学年度下学期期中考试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A D A D BC AC
题号 11
答案 AB
1.C
【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合 A,然后利用交集运算求解即可.
【详解】对于集合�,因为 � − 2 ≤ 3,所以−1 ≤ � ≤ 5,
又� ∈ �,则� = 0,1,2,3,4,5 ,则� ∩ � = 0,1 ,
故选:C.
2.C
【分析】根据全称命题的否定,将原命题的任意改为存在,并否定原结论,即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题,原命题的否定是∃� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2.
故选:C
3.A
【分析】根据给定条件,结合正棱台的结构特征,求出侧棱长,进而求出高及斜高即可求解.
【详解】在正三棱台��� − �1�1�1中,令 BC和�1�1的中点分别为�, �,上、下底面的中心
分别为�1, �,
则�1�1 =
2
3
× 3
2
�1�1 =
3
3
, �� = 2 3
3
,由侧棱��1与底面���所成角的余弦值为
3
3
,
得��1 =
��−�1�1
3
3
= 1,则�1� = ��12 − (�� − �1�1)2 =
6
3
,
而�� = 1
2
�� = 3
3
, �1� =
1
2
�1�1 =
3
6
,则�� = ��12 + (�� − �1�)2 =
3
2
,
�△��� =
3
4
��2 = 3,�△�1�1� 1 =
3
4
�1�12 =
3
4
,����1�1 =
1
2
(�� + �1�1) ⋅ �� =
3 3
4
,
正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形,于是侧面积为
9 3
4
,
答案第 2页,共 11页
所以此棱台的表面积是� = 9 3
4
+ 3
4
+ 3 = 7 3
2
.
故选:A
4.A
【分析】根据题中条件求出母线,再运用圆锥侧面积公式求出侧面积,即为屋顶的面积.
【详解】由题知,圆锥底面圆半径� = �� = 3cm,高ℎ = �� = 4cm,
则母线� = �� = 5cm,
因此圆锥的侧面积为� = π�� = π × 3 × 5 = 15πcm2.
即屋顶的面积为 15πcm2.
故选:A.
5.A
【分析】根据题中条件,先求出� ⋅ � =− 1
2
,再由向量模的计算公式,即可的出结果.
【详解】因为单位向量� ,� 满足 � + 2� =− 2 3� ⋅ � ,
所以
� 2 + 4 �
2
+ 4� ⋅ � = 12 � ⋅ �
2
� ⋅ � < 0
,即 12 � ⋅ �
2 − 4� ⋅ � − 5 = 0
� ⋅ � < 0
,
解得� ⋅ � =− 1
2
,
因此 � + � = � 2 + �
2
+ 2� ⋅ � = 2 + 2� ⋅ � = 1.
故选:A.
【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量模的计算公式即可,属于常考题型.
6.D
【分析】由� 与� 的夹角是 45°结合题意可得�,然后由投影向量计算公式可得答案.
【详解】因� 与� 的夹角是 45°,则 � ⋅�
� ⋅ �
= 2−�
4+�2⋅ 2
= 2
2
⇒ 2 −� = 4 + �2,
则
2 − � ≥ 2
2 − � 2 = 4 + �2 ⇒ � = 0,则� = 2,0 ,则� 在� 方向上的投影向量是:
� ⋅�
� 2
⋅ � = 2
5
� = 2
5
, 4
5
.
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故选:D
7.A
【分析】利用三角形面积公式,结合等面积法列式求解.
【详解】在△ ���中,∠��� = 2π
3
,∠���的平分线交��于点�,
则∠��� = ∠��� = π
3
,由�△��� = �△��� + �△���,
得
1
2
��sin 2π
3
= 1
2
� × 2 × sin π
3
+ 1
2
� × 2 × sin π
3
,即�� = 2� + 2�,
所以
1
�
+ 1
�
= 1
2
.
故选:A
8.D
【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得� = π
3
,由正弦定理对
��
sin�
+ ��
sin�
⋅ �� = 0
化简可得
��
��
+
��
��
⋅ ��
= 0,结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得
� = �,从而可得△ ���是等边三角形.
【详解】�△��� =
3
4
�2 + �2 − �2 = 1
2
��sin�,又�2 + �2 − �2 = 2��cos�,
所以
3
4
× 2��cos� = 1
2
��sin�,解得 tan� = 3,因为� ∈ 0, π ,所以� = π
3
.
又
��
sin�
+ ��
sin�
⋅ �� = 0,由 �
sin�
= �
sin�
= 2�,可得 sin� = �
2�
= ��
2�
,sin� = �
2�
= ��
2�
,
则
��
sin�
+ ��
sin�
⋅ �� = ��
��
+ ��
��
⋅ �� = 0,
如图所示,在边��、��上分别取点�、�,使�� = ��
��
,�� = ��
��
,
以��,��为邻边作平行四边形����,则四边形����为菱形,
连接��,��,�� ⊥ ��,且�� = ��
��
+ ��
��
,
∵ ��
��
+ ��
��
⋅ �� = 0,∴ �� ⋅ �� = 0,∴ �� ⊥ ��,又�� ⊥ ��,
∴ ��//��,且�� = ��,∴ �� = ��,即� = �,
又� = π
3
,∴△ ���是等边三角形.
故选:D.
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9.BC
【分析】对于 A,通过特例可判断;对于 B,利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系
即可判断出正误;对于 C,利用直线与平面平行的定义和直线与平面的位置关系即可判断出
正误;对于 D,利用平面内两直线的位置关系即可判断出正误.
【详解】选项 A,例如长方体对面的两条对角线就是共面的,不合题意;
选项 B,设� ∩ � = �, � ∩ � = �, � ∩ � = �,�, �, �不重合,易知�, �可确定唯一平面�,
又� ∈ �, � ∈ �,所以� ∈ �, � ∈ �,又� ∈ �, � ∈ �,所以� ⊂ �,符合题意;
选项 C,设� ∩ � = �,�//�,所以� ∉ �,故直线�不在平面�内,符合题意;
选项 D,因为直线�1 ⊂ �,直线�2//�,则�1//�2或�1与�2异面,不符合题意.
故选:BC.
10.AC
【分析】由已知两边平方可求得 sin�cos� =− 3
10
,可判断AB;进而判断可得 sin� > 0,cos� <
0,
根据 sin� − cos� = sin� − cos� 2计算可判断 CD.
【详解】因为 sin� + cos� =− 10
5
,所以 sin� + cos� 2 = − 10
5
2
,
即 1 + 2sin�cos� = 2
5
,所以 sin�cos� =− 3
10
,故 A正确,B错误;
又� ∈ 0,π ,所以 sin� > 0,cos� < 0,
所以 sin� − cos� = sin� − cos� 2 = 1 − 2sin�cos� = 2 10
5
,故 C正确,D错误.
故选:AC.
答案第 5页,共 11页
11.AB
【分析】先把函数� � 化成�cos �� + � 的形式,再对其图象和性质进行分析,逐项判断即
可.
【详解】因为� � = cos2� − 2 3sin�cos� = cos2� − 3sin2� = 2cos 2� + π
3
.
所以函数的周期:� = 2π
�
= 2π
2
= π,故 A正确;
函数的最大值为:2(当 2� + π
3
= 2�π即� = �π − π
6
,� ∈ Z时取“=”),故 B正确;
当� ∈ − π
6
, π
3
时,2� + π
3
∈ 0,π ,又函数� = cos�在 0,π 上单调递减,所以函数� � 在 − π
6
, π
3
上单调递减,故 C错误;
将函数�(�)的图象向右平移7π
12
个单位可得� = 2cos 2 � − 7π
12
+ π
3
= 2cos 2� − 5π
6
= 2sin 2� − π
3
的图象,故 D错误.
故选:AB
12.4
5
/0.8
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为 � = 5, � = 4,� 与� 的夹角为120∘,
所以� ⋅ � = � � cos120∘ = 5 × 4 × − 1
2
=− 10.
因为 �� − 2� ⊥ � + � ,
所以 �� − 2� ⋅ � + � = �� 2 − 2� 2 + � − 2 � ⋅ � = 25� − 2 × 16 − 10 � − 2 = 15� −
12 = 0,
解得� = 4
5
.
故答案为:
4
5
.
13.35 5
【分析】根据已知的边和角,在△���中,由正弦定理解得��,在△ ���中,由余弦定理
得��.
【详解】因为∠��� = 135∘,∠��� = ∠��� = 15∘,所以∠��� = 150∘,∠��� = ∠��� = 15∘,
所以�� = �� = 35,
又因为∠��� = 120∘,所以∠��� = 135∘,∠��� = 30∘,
答案第 6页,共 11页
在△ ���中,由正弦定理得 ��
sin∠���
= ��
sin∠���
,即
��
2
2
= 351
2
,解得�� = 35 2,
在△ ���中,由余弦定理得��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ �� ⋅ cos∠���,
所以��2 = 352 + 35 2
2
− 2 × 35 × 35 2 × − 2
2
,解得�� = 35 5 m.
故答案为:35 5 .
14.27
4
/6.75
【分析】根据题意分析可得 E就是球 O的球心,�� ⊥平面 BCD,球的半径� = 3,结合锥
体的体积公式分析运算.
【详解】连接��,
因为�� ⊥ ��,∠��� = 60°,
所以�� = �� = 1
2
��,E为 AC的中点,且�� = ��,
即�� = �� = �� = 1
2
��,则 E就是球 O的球心,
因为∠��� = 90°,�� ⊥ ��,�� ∩ �� = �,
所以�� ⊥平面 ABD,
�� ⊂平面 ABD,所以�� ⊥ ��,
又因为�� ⊥ ��,�� ∩ �� = �,�� ⊥平面 BCD,
设球 O的半径为�,
因为球 O的体积为 36π,则4
3
π�3 = 36π,解得� = 3,
则�� = 6,�� = 3,�� = 3 3,�� = �� = 3 6
2
所以三棱锥� − ���的体积��−��� =
1
3
× 1
2
× 3 6
2
× 3 6
2
× 3 = 27
4
.
故答案为:
27
4
.
答案第 7页,共 11页
【点睛】方法定睛:多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或
线作截面,把空间问题转化为平面问题求解.
2.若球面上四点 P、A、B、C构成的三条线段 PA、PB、PC两两垂直,且 PA=a,PB=b,
PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据 4R2=a2+b2+c2求解.
正方体的内切球的直径为正方体的棱长.
3.球和正方体的棱相切时,球的直径为正方体的面对角线长.
4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确
定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
15.(1)π
3
(2)3 3
2
【分析】(1)根据题意,由正弦定理边化角,代入计算,即可得到结果;
(2)根据题意,由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算,即可得到结果.
【详解】(1)因为�sin�cos� + �sin�cos� = 3�cos�,
所以根据正弦定理得 sin�sin�cos� + sin�sin�cos� = 3sin�cos�,
因为 sin� ≠ 0,
所以 sin�cos� + sin�cos� = 3cos�,
即 sin � + � = 3cos�,
即 sin� = 3cos�.
因为 cos� ≠ 0,所以 tan� = 3.
因为 0 < � < π,所以� = π
3
.
(2)�� ⋅ �� = ��cos� = 1.
因为�2 = �2 + �2 − 2��cos�,所以�2 + �2 = 9 + 2��cos� = 11①.
因为�2 = �2 + �2 − 2��cos�,
答案第 8页,共 11页
所以�2 − �2 = 2��cos� − �2 = 2 × 3 × � × cos π
3
− 32 = 3� − 9②.
联立①②可得 2�2 − 3� − 2 = 0,解得� = 2(负根舍去),
故△ ���的面积为1
2
��sin� = 1
2
× 3 × 2 × 3
2
= 3 3
2
.
16.(1)60°
(2)证明见解析
【分析】(1)连接�1�,�1�1,即可得到��1//�1�,则∠�1��1或其补角为异面直线��1与��1
所成的角,结合正方体的性质求出∠�1��1;
(2)取��1的中点�,连接��,��,即可证明平面���//平面����,从而得证.
【详解】(1)连接�1�,�1�1,
因为�1�1 = ��且�1�1//��,所以四边形�1�1��为平行四边形,
所以��1//�1�,则∠�1��1或其补角为异面直线��1与��1所成的角,
在正方体中,可得�1�1 = �1� = ��1,即△ �1�1�为等边三角形,
所以∠�1��1 = 60°,所以异面直线��1与��1所成角为 60°;
(2)取��1的中点�,连接��,��,
因为�,�分别是��1,��1的中点,
所以��//��,��//�1�1,
而�1�1//��,所以��//��,
又因为�� ⊂平面����,�� ⊂平面����,�� ⊄平面����,
�� ⊄平面����,
所以��//平面����,��//平面����,
又�� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,
所以平面���//平面����,
因为�� ⊂平面���,
所以��//平面����.
答案第 9页,共 11页
17.(1)2π
3
(2) 3
【分析】(1)结合三角恒等变换化简可得 cos� + 1 = 2cos2�,解方程即可求解;
(2)由余弦定理可得� = 4,再根据�� = 1
2
�� + �� ,两边完全平方即可求解.
【详解】(1)因为 2sin2 �+�
2
= 2sin2 π−�
2
= 2cos2 �
2
= cos� + 1,
1 + cos2� = 1 + 2cos2� − 1 = 2cos2�,
所以 cos� + 1 = 2cos2�,解得 cos� = 1 或 cos� =− 1
2
,
因为� ∈ 0,π ,所以� = 2π
3
;
(2)由余弦定理�2 = �2 + �2 − 2��cos�得 28 = 4 + �2 − 2 × 2� × − 1
2
,
解得� =− 6或� = 4,因为� > 0,所以� = 4,
由�� = 1
2
�� + �� 得 ��
2
= 1
4
��
2
+ ��
2
+ 2 �� ⋅ �� ⋅ cos� ,
所以 ��
2
= 1
4
�2 + �2 + 2��cos 2π
3
= 1
4
16 + 4 + 2 × 4 × 2 × − 1
2
= 3,
所以�� = 3.
18.(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)取�1�1的中点�1,连接��1,�1�1,结合四棱柱的几何性质,由线线平行证
明即可;
(2)由线线平行证��//平面�1��1,结合�1�//平面�1��1即可证平面�1��//平面�1��1;
(3)由线面平行证线线平行即可.
【详解】(1)取�1�1的中点�1,连接��1,�1�1,
∵ ���� − �1�1�1�1是四棱柱,∴ �1�1平行且等于��,
∴四边形�1���1为平行四边形,∴ �1�//�1�,
又�1� ⊂平面�1��1,�1� ⊄平面�1��1,
∴ �1�//平面�1��1;
(2)∵ ��1平行且等于��1,��1平行且等于��1,
∴ ��1平行且等于��1,
答案第 10页,共 11页
∴四边形��1�1�是平行四边形,∴ ��//�1�1,
∵ �� ⊄平面�1��1,�1�1 ⊂平面�1��1,
∴ ��//平面�1��1,
由(1)得�1�//平面�1��1且�� ∩ �1� = �,��、�1� ⊂平面�1��,
∴平面�1��//平面�1��1;
(3)由(2)得��//平面�1��1,
又�� ⊂平面����,平面�1��1 ∩平面���� = �,
∴ ��//�.
19.(1)� = π,( − π
12
+ �π
2
, 1)(� ∈ Z);
(2)2 3− 5
6
;
(3)( 3
2
, 3].
【分析】(1)利用数量积的坐标表示列式,再利用二倍角、辅助角公式化简,进而利用正弦
函数性质求解.
(2)由(1)的信息,利用同角公式及差角的余弦求解.
(3)由(1)的信息求出�,利用利用和差角的正弦,结合余弦函数性质求出范围.
【详解】(1)依题意,�(�) = 2cos2� + 2 3sin�cos� = 3sin2� + cos2� + 1 = 2sin(2� +
π
6
) + 1,
所以函数�(�)的最小正周期� = 2π
2
= π;
由 2� + π
6
= �π, � ∈ Z,解得� =− π
12
+ �π
2
, � ∈ Z,
所以函数�(�)的对称中心为( − π
12
+ �π
2
, 1)(� ∈ Z).
(2)由(1)得�( π
12
+ �
2
) = 2sin(� + π
3
) + 1 = 7
3
,解得 sin(� + π
3
) = 2
3
,而 0 < � < π,
答案第 11页,共 11页
当 0 < � ≤ π
3
时,
π
3
< � + π
3
≤ 2π
3
,则 0 < 2
3
< 3
2
≤ sin(� + π
3
) ≤ 1,矛盾,
所以
2π
3
< � + π
3
< π,
cos(� + π
3
) =− 1 − ( 2
3
)2 =− 5
3
,所以 cos� = cos[(� + π
3
) − π
3
] = cos(� + π
3
)cos π
3
+ sin(� +
π
3
)sin π
3
=− 5
3
× 1
2
+ 2
3
× 3
2
= 2 3− 5
6
.
(3)由(1)得�( �
2
) = 2sin(� + π
6
) + 1 = 3,解得 sin(� + π
6
) = 1,又△ ���为锐角三角形,
则� = π
3
,令� = π
3
− �, � = π
3
+ �, − π
6
< � < π
6
,则
3
2
< cos� ≤ 1,
sin� + sin� = sin( π
3
− �) + sin( π
3
+ �) = 2sin π
3
cos� = 3cos� ∈ ( 3
2
, 3],
所以 sin� + sin�的取值范围是( 3
2
, 3].
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高一数学试题答题卡
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考场/座位号:
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚,并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不
留痕迹。
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时,必须用2B铅笔,并描浓。
4.在草稿纸、试题卷上答题无效。
5.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
贴条形码区
(正面朝上,切勿贴出虚线方框)
正确填涂 缺考标记
客观题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D]
7 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
填空题
12. 13 14.
解答题
15.
16.
17.
18.
请勿在此区域作答或
者做任何标记
19.
试卷第 1页,共 2页
大庆中学 2024-2025 学年度下学期期中考试
高一年级数学试题
考试时间:120 分钟;满分:150 分 命题人:刘建华
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题)
一、单选题
1.已知集合� = � ∈ �∣ � − 2 ⩽3 , � = {�∣ − 2⩽� < 2},则� ∩ � =( )
A.∅ B. −1,2 C. 0,1 D. −1,0,1
2.命题“∀� ∈ 0, + ∞ , e� ≥ 2025�2”的否定为( )
A.∀� ∉ −∞,0 , e� ≥ 2025�2 B.∀� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2
C.∃� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2 D.∃� ∉ 0, + ∞ , e� ≥ 2025�2
3.在正三棱台��� − �1�1�1中,�� = 2,�1�1 = 1,侧棱��1与底面���所成角的余弦值为
3
3
.则
此棱台的表面积是( )
A.7 3
2
B.5 3
2
C.9 3
4
D.3 3
4
4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式,如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看
作一个圆锥,已知该圆锥的底面直径为 6m,高为 4m,则该屋顶的面积约为
( )
A.15πm2 B.30πm2
C.24πm2 D.20πm2
5.若单位向量� ,� 满足 � + 2� =− 2 3� ⋅ � ,则 � + � =( )
A.1 B. 3 C.1或 33
3
D. 3或 33
3
6.已知向量� = 2,� ,� = 1, − 1 ,且� 与� 的夹角是 45°,若� = 1,2 ,则� 在� 方向上的投影向
量的坐标是( )
A. − 2
3
, 1
3
B. 3
5
, − 2
5
C. 1
3
, 2
3
D. 2
5
, 4
5
7.记△ ���的内角�, �, �的对边分别是�, �, �, � = 2π
3
, ∠���的平分线交边��于点�,且�� = 2,则1
�
+
1
�
=( )
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
5
8.在△ ���中,�, �, �分别是内角�, �, �的对边,若�△��� =
3
4
�2 + �2 − �2 (其中�△���表示△ ���
的面积),且
��
sin�
+ ��
sin�
⋅ �� = 0,则△ ���的形状是( )
A.有一个角是 30°的等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.有一个角是 30°的直角三角形 D.等边三角形
二、多选题
9.(多选题)下列四个命题中,真命题是( )
A.若�, �是两条直线,�, �是两个平面, 且� ⊂ �, � ⊂ �, 则�, �是异面直线.
B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C.若直线�, �相交,�是平面且�//�,则直线�不在平面�内.
D.若�是平面,直线�1 ⊂ �,直线�2//�,则�1//�2.
10.已知� ∈ 0,π ,且 sin� + cos� =− 10
5
,则下列说法正确的是( )
A.sin�cos� =− 3
10
B.sin�cos� =− 3
5
C.sin� − cos� = 2 10
5
D.sin� − cos� =± 2 10
5
11.关于函数�(�) = cos2� − 2 3sin�cos�,下列命题中正确的命题为( )
A.函数�(�)的最小正周期为π;
B.函数�(�)的最大值为 2;;
C.�(�)在区间 − π
6
, π
3
上是单调递增;
试卷第 2页,共 2页
D.将函数�(�)的图象向右平移7π
12
个单位后将与� = 2sin2�的图象重合.
第 II 卷(非选择题)
三、填空题
12.已知向量� 、� 满足 � = 5,� = 4,� 与� 的夹角为120∘,若 ��
− 2�
⊥ �
+ �
,则� = .
13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国
拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径 A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛_
上取两点 C,D,测得�� = 35m,∠��� = 135°,∠��� = ∠��� = 15°,∠��� = 120°,则 A、B
两点的距离为 m.
14.已知球 O的体积为 36π,三棱锥� − ���的顶点均在球�的表面上,�� ⊥ ��,∠��� = 60°,�� ⊥
��,�� = ��,E为 AC的中点,当�� = ��时,三棱锥� − ���的体积为 .
四、解答题
15.在△ ���中,角�, �, �的对边分别是�, �, �,且�sin�cos� + �sin�cos� = 3�cos�.
(1)求角�的大小;
(2)若� = 3,且�� ⋅ �� = 1,求△ ���的面积.
16.正方体���� − �1�1�1�1中,�,�分别是��1,��1的中点.
(1)求异面直线��1与��1所成角;
(2)求证:��//平面����
17.在△ ���中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2sin2 �+�
2
= 1 + cos2�.
(1)求 B;
(2)若� = 2,� = 2 7,D为 AC边的中点,求 BD的长.
18.由直四棱柱���� − �1�1�1�1截去三棱锥�1 − �1��1后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD
为平行四边形,O为 AC与 BD的交点.
(1)求证:�1�//平面�1��1;
(2)求证:平面�1��//平面�1��1;
(3)设平面�1��1与底面 ABCD的交线为 l,求证:�1�1//�.
19.已知向量� = (cos�, 2sin�),� = (2cos�, 3cos�),函数�(�) = � ⋅ � .
(1)求函数�(�)的最小正周期及对称中心;
(2)若�( π
12
+ �
2
) = 7
3
,且 0 < � < π,求 cos�的值;
(3)在锐角△ ���中,若�( �
2
) = 3,求 sin� + sin�的取值范围.