黑龙江省大庆市让胡路区大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期6月期中数学试题

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2025-06-08
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高一
章节 -
类型 试卷
知识点 -
使用场景 同步教学-期中
学年 2025-2026
地区(省份) 黑龙江省
地区(市) 大庆市
地区(区县) 让胡路区
文件格式 ZIP
文件大小 2.91 MB
发布时间 2025-06-08
更新时间 2025-06-08
作者 匿名
品牌系列 -
审核时间 2025-06-08
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来源 学科网

内容正文:

答案第 1页,共 11页 《大庆中学 2024-20225 学年度下学期期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A A D A D BC AC 题号 11 答案 AB 1.C 【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合 A,然后利用交集运算求解即可. 【详解】对于集合�,因为 � − 2 ≤ 3,所以−1 ≤ � ≤ 5, 又� ∈ �,则� = 0,1,2,3,4,5 ,则� ∩ � = 0,1 , 故选:C. 2.C 【分析】根据全称命题的否定,将原命题的任意改为存在,并否定原结论,即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题,原命题的否定是∃� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2. 故选:C 3.A 【分析】根据给定条件,结合正棱台的结构特征,求出侧棱长,进而求出高及斜高即可求解. 【详解】在正三棱台��� − �1�1�1中,令 BC和�1�1的中点分别为�, �,上、下底面的中心 分别为�1, �, 则�1�1 = 2 3 × 3 2 �1�1 = 3 3 , �� = 2 3 3 ,由侧棱��1与底面���所成角的余弦值为 3 3 , 得��1 = ��−�1�1 3 3 = 1,则�1� = ��12 − (�� − �1�1)2 = 6 3 , 而�� = 1 2 �� = 3 3 , �1� = 1 2 �1�1 = 3 6 ,则�� = ��12 + (�� − �1�)2 = 3 2 , �△��� = 3 4 ��2 = 3,�△�1�1� 1 = 3 4 �1�12 = 3 4 ,����1�1 = 1 2 (�� + �1�1) ⋅ �� = 3 3 4 , 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形,于是侧面积为 9 3 4 , 答案第 2页,共 11页 所以此棱台的表面积是� = 9 3 4 + 3 4 + 3 = 7 3 2 . 故选:A 4.A 【分析】根据题中条件求出母线,再运用圆锥侧面积公式求出侧面积,即为屋顶的面积. 【详解】由题知,圆锥底面圆半径� = �� = 3cm,高ℎ = �� = 4cm, 则母线� = �� = 5cm, 因此圆锥的侧面积为� = π�� = π × 3 × 5 = 15πcm2. 即屋顶的面积为 15πcm2. 故选:A. 5.A 【分析】根据题中条件,先求出� ⋅ � =− 1 2 ,再由向量模的计算公式,即可的出结果. 【详解】因为单位向量� ,� 满足 � + 2� =− 2 3� ⋅ � , 所以 � 2 + 4 � 2 + 4� ⋅ � = 12 � ⋅ � 2 � ⋅ � < 0 ,即 12 � ⋅ � 2 − 4� ⋅ � − 5 = 0 � ⋅ � < 0 , 解得� ⋅ � =− 1 2 , 因此 � + � = � 2 + � 2 + 2� ⋅ � = 2 + 2� ⋅ � = 1. 故选:A. 【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量模的计算公式即可,属于常考题型. 6.D 【分析】由� 与� 的夹角是 45°结合题意可得�,然后由投影向量计算公式可得答案. 【详解】因� 与� 的夹角是 45°,则 � ⋅� � ⋅ � = 2−� 4+�2⋅ 2 = 2 2 ⇒ 2 −� = 4 + �2, 则 2 − � ≥ 2 2 − � 2 = 4 + �2 ⇒ � = 0,则� = 2,0 ,则� 在�方向上的投影向量是: � ⋅� � 2 ⋅ � = 2 5 � = 2 5 , 4 5 . 答案第 3页,共 11页 故选:D 7.A 【分析】利用三角形面积公式,结合等面积法列式求解. 【详解】在△ ���中,∠��� = 2π 3 ,∠���的平分线交��于点�, 则∠��� = ∠��� = π 3 ,由�△��� = �△��� + �△���, 得 1 2 ��sin 2π 3 = 1 2 � × 2 × sin π 3 + 1 2 � × 2 × sin π 3 ,即�� = 2� + 2�, 所以 1 � + 1 � = 1 2 . 故选:A 8.D 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得� = π 3 ,由正弦定理对 �� sin� + �� sin� ⋅ �� = 0 化简可得 �� �� + �� �� ⋅ �� = 0,结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得 � = �,从而可得△ ���是等边三角形. 【详解】�△��� = 3 4 �2 + �2 − �2 = 1 2 ��sin�,又�2 + �2 − �2 = 2��cos�, 所以 3 4 × 2��cos� = 1 2 ��sin�,解得 tan� = 3,因为� ∈ 0, π ,所以� = π 3 . 又 �� sin� + �� sin� ⋅ �� = 0,由 � sin� = � sin� = 2�,可得 sin� = � 2� = �� 2� ,sin� = � 2� = �� 2� , 则 �� sin� + �� sin� ⋅ �� = �� �� + �� �� ⋅ �� = 0, 如图所示,在边��、��上分别取点�、�,使�� = �� �� ,�� = �� �� , 以��,��为邻边作平行四边形����,则四边形����为菱形, 连接��,��,�� ⊥ ��,且�� = �� �� + �� �� , ∵ �� �� + �� �� ⋅ �� = 0,∴ �� ⋅ �� = 0,∴ �� ⊥ ��,又�� ⊥ ��, ∴ ��//��,且�� = ��,∴ �� = ��,即� = �, 又� = π 3 ,∴△ ���是等边三角形. 故选:D. 答案第 4页,共 11页 9.BC 【分析】对于 A,通过特例可判断;对于 B,利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系 即可判断出正误;对于 C,利用直线与平面平行的定义和直线与平面的位置关系即可判断出 正误;对于 D,利用平面内两直线的位置关系即可判断出正误. 【详解】选项 A,例如长方体对面的两条对角线就是共面的,不合题意; 选项 B,设� ∩ � = �, � ∩ � = �, � ∩ � = �,�, �, �不重合,易知�, �可确定唯一平面�, 又� ∈ �, � ∈ �,所以� ∈ �, � ∈ �,又� ∈ �, � ∈ �,所以� ⊂ �,符合题意; 选项 C,设� ∩ � = �,�//�,所以� ∉ �,故直线�不在平面�内,符合题意; 选项 D,因为直线�1 ⊂ �,直线�2//�,则�1//�2或�1与�2异面,不符合题意. 故选:BC. 10.AC 【分析】由已知两边平方可求得 sin�cos� =− 3 10 ,可判断AB;进而判断可得 sin� > 0,cos� < 0, 根据 sin� − cos� = sin� − cos� 2计算可判断 CD. 【详解】因为 sin� + cos� =− 10 5 ,所以 sin� + cos� 2 = − 10 5 2 , 即 1 + 2sin�cos� = 2 5 ,所以 sin�cos� =− 3 10 ,故 A正确,B错误; 又� ∈ 0,π ,所以 sin� > 0,cos� < 0, 所以 sin� − cos� = sin� − cos� 2 = 1 − 2sin�cos� = 2 10 5 ,故 C正确,D错误. 故选:AC. 答案第 5页,共 11页 11.AB 【分析】先把函数� � 化成�cos �� + � 的形式,再对其图象和性质进行分析,逐项判断即 可. 【详解】因为� � = cos2� − 2 3sin�cos� = cos2� − 3sin2� = 2cos 2� + π 3 . 所以函数的周期:� = 2π � = 2π 2 = π,故 A正确; 函数的最大值为:2(当 2� + π 3 = 2�π即� = �π − π 6 ,� ∈ Z时取“=”),故 B正确; 当� ∈ − π 6 , π 3 时,2� + π 3 ∈ 0,π ,又函数� = cos�在 0,π 上单调递减,所以函数� � 在 − π 6 , π 3 上单调递减,故 C错误; 将函数�(�)的图象向右平移7π 12 个单位可得� = 2cos 2 � − 7π 12 + π 3 = 2cos 2� − 5π 6 = 2sin 2� − π 3 的图象,故 D错误. 故选:AB 12.4 5 /0.8 【分析】运用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】因为 � = 5, � = 4,� 与� 的夹角为120∘, 所以� ⋅ � = � � cos120∘ = 5 × 4 × − 1 2 =− 10. 因为 �� − 2� ⊥ � + � , 所以 �� − 2� ⋅ � + � = �� 2 − 2� 2 + � − 2 � ⋅ � = 25� − 2 × 16 − 10 � − 2 = 15� − 12 = 0, 解得� = 4 5 . 故答案为: 4 5 . 13.35 5 【分析】根据已知的边和角,在△���中,由正弦定理解得��,在△ ���中,由余弦定理 得��. 【详解】因为∠��� = 135∘,∠��� = ∠��� = 15∘,所以∠��� = 150∘,∠��� = ∠��� = 15∘, 所以�� = �� = 35, 又因为∠��� = 120∘,所以∠��� = 135∘,∠��� = 30∘, 答案第 6页,共 11页 在△ ���中,由正弦定理得 �� sin∠��� = �� sin∠��� ,即 �� 2 2 = 351 2 ,解得�� = 35 2, 在△ ���中,由余弦定理得��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ �� ⋅ cos∠���, 所以��2 = 352 + 35 2 2 − 2 × 35 × 35 2 × − 2 2 ,解得�� = 35 5 m. 故答案为:35 5 . 14.27 4 /6.75 【分析】根据题意分析可得 E就是球 O的球心,�� ⊥平面 BCD,球的半径� = 3,结合锥 体的体积公式分析运算. 【详解】连接��, 因为�� ⊥ ��,∠��� = 60°, 所以�� = �� = 1 2 ��,E为 AC的中点,且�� = ��, 即�� = �� = �� = 1 2 ��,则 E就是球 O的球心, 因为∠��� = 90°,�� ⊥ ��,�� ∩ �� = �, 所以�� ⊥平面 ABD, �� ⊂平面 ABD,所以�� ⊥ ��, 又因为�� ⊥ ��,�� ∩ �� = �,�� ⊥平面 BCD, 设球 O的半径为�, 因为球 O的体积为 36π,则4 3 π�3 = 36π,解得� = 3, 则�� = 6,�� = 3,�� = 3 3,�� = �� = 3 6 2 所以三棱锥� − ���的体积��−��� = 1 3 × 1 2 × 3 6 2 × 3 6 2 × 3 = 27 4 . 故答案为: 27 4 . 答案第 7页,共 11页 【点睛】方法定睛:多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或 线作截面,把空间问题转化为平面问题求解. 2.若球面上四点 P、A、B、C构成的三条线段 PA、PB、PC两两垂直,且 PA=a,PB=b, PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据 4R2=a2+b2+c2求解. 正方体的内切球的直径为正方体的棱长. 3.球和正方体的棱相切时,球的直径为正方体的面对角线长. 4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确 定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解. 15.(1)π 3 (2)3 3 2 【分析】(1)根据题意,由正弦定理边化角,代入计算,即可得到结果; (2)根据题意,由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算,即可得到结果. 【详解】(1)因为�sin�cos� + �sin�cos� = 3�cos�, 所以根据正弦定理得 sin�sin�cos� + sin�sin�cos� = 3sin�cos�, 因为 sin� ≠ 0, 所以 sin�cos� + sin�cos� = 3cos�, 即 sin � + � = 3cos�, 即 sin� = 3cos�. 因为 cos� ≠ 0,所以 tan� = 3. 因为 0 < � < π,所以� = π 3 . (2)�� ⋅ �� = ��cos� = 1. 因为�2 = �2 + �2 − 2��cos�,所以�2 + �2 = 9 + 2��cos� = 11①. 因为�2 = �2 + �2 − 2��cos�, 答案第 8页,共 11页 所以�2 − �2 = 2��cos� − �2 = 2 × 3 × � × cos π 3 − 32 = 3� − 9②. 联立①②可得 2�2 − 3� − 2 = 0,解得� = 2(负根舍去), 故△ ���的面积为1 2 ��sin� = 1 2 × 3 × 2 × 3 2 = 3 3 2 . 16.(1)60° (2)证明见解析 【分析】(1)连接�1�,�1�1,即可得到��1//�1�,则∠�1��1或其补角为异面直线��1与��1 所成的角,结合正方体的性质求出∠�1��1; (2)取��1的中点�,连接��,��,即可证明平面���//平面����,从而得证. 【详解】(1)连接�1�,�1�1, 因为�1�1 = ��且�1�1//��,所以四边形�1�1��为平行四边形, 所以��1//�1�,则∠�1��1或其补角为异面直线��1与��1所成的角, 在正方体中,可得�1�1 = �1� = ��1,即△ �1�1�为等边三角形, 所以∠�1��1 = 60°,所以异面直线��1与��1所成角为 60°; (2)取��1的中点�,连接��,��, 因为�,�分别是��1,��1的中点, 所以��//��,��//�1�1, 而�1�1//��,所以��//��, 又因为�� ⊂平面����,�� ⊂平面����,�� ⊄平面����, �� ⊄平面����, 所以��//平面����,��//平面����, 又�� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���, 所以平面���//平面����, 因为�� ⊂平面���, 所以��//平面����. 答案第 9页,共 11页 17.(1)2π 3 (2) 3 【分析】(1)结合三角恒等变换化简可得 cos� + 1 = 2cos2�,解方程即可求解; (2)由余弦定理可得� = 4,再根据�� = 1 2 �� + �� ,两边完全平方即可求解. 【详解】(1)因为 2sin2 �+� 2 = 2sin2 π−� 2 = 2cos2 � 2 = cos� + 1, 1 + cos2� = 1 + 2cos2� − 1 = 2cos2�, 所以 cos� + 1 = 2cos2�,解得 cos� = 1 或 cos� =− 1 2 , 因为� ∈ 0,π ,所以� = 2π 3 ; (2)由余弦定理�2 = �2 + �2 − 2��cos�得 28 = 4 + �2 − 2 × 2� × − 1 2 , 解得� =− 6或� = 4,因为� > 0,所以� = 4, 由�� = 1 2 �� + �� 得 �� 2 = 1 4 �� 2 + �� 2 + 2 �� ⋅ �� ⋅ cos� , 所以 �� 2 = 1 4 �2 + �2 + 2��cos 2π 3 = 1 4 16 + 4 + 2 × 4 × 2 × − 1 2 = 3, 所以�� = 3. 18.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)取�1�1的中点�1,连接��1,�1�1,结合四棱柱的几何性质,由线线平行证 明即可; (2)由线线平行证��//平面�1��1,结合�1�//平面�1��1即可证平面�1��//平面�1��1; (3)由线面平行证线线平行即可. 【详解】(1)取�1�1的中点�1,连接��1,�1�1, ∵ ���� − �1�1�1�1是四棱柱,∴ �1�1平行且等于��, ∴四边形�1���1为平行四边形,∴ �1�//�1�, 又�1� ⊂平面�1��1,�1� ⊄平面�1��1, ∴ �1�//平面�1��1; (2)∵ ��1平行且等于��1,��1平行且等于��1, ∴ ��1平行且等于��1, 答案第 10页,共 11页 ∴四边形��1�1�是平行四边形,∴ ��//�1�1, ∵ �� ⊄平面�1��1,�1�1 ⊂平面�1��1, ∴ ��//平面�1��1, 由(1)得�1�//平面�1��1且�� ∩ �1� = �,��、�1� ⊂平面�1��, ∴平面�1��//平面�1��1; (3)由(2)得��//平面�1��1, 又�� ⊂平面����,平面�1��1 ∩平面���� = �, ∴ ��//�. 19.(1)� = π,( − π 12 + �π 2 , 1)(� ∈ Z); (2)2 3− 5 6 ; (3)( 3 2 , 3]. 【分析】(1)利用数量积的坐标表示列式,再利用二倍角、辅助角公式化简,进而利用正弦 函数性质求解. (2)由(1)的信息,利用同角公式及差角的余弦求解. (3)由(1)的信息求出�,利用利用和差角的正弦,结合余弦函数性质求出范围. 【详解】(1)依题意,�(�) = 2cos2� + 2 3sin�cos� = 3sin2� + cos2� + 1 = 2sin(2� + π 6 ) + 1, 所以函数�(�)的最小正周期� = 2π 2 = π; 由 2� + π 6 = �π, � ∈ Z,解得� =− π 12 + �π 2 , � ∈ Z, 所以函数�(�)的对称中心为( − π 12 + �π 2 , 1)(� ∈ Z). (2)由(1)得�( π 12 + � 2 ) = 2sin(� + π 3 ) + 1 = 7 3 ,解得 sin(� + π 3 ) = 2 3 ,而 0 < � < π, 答案第 11页,共 11页 当 0 < � ≤ π 3 时, π 3 < � + π 3 ≤ 2π 3 ,则 0 < 2 3 < 3 2 ≤ sin(� + π 3 ) ≤ 1,矛盾, 所以 2π 3 < � + π 3 < π, cos(� + π 3 ) =− 1 − ( 2 3 )2 =− 5 3 ,所以 cos� = cos[(� + π 3 ) − π 3 ] = cos(� + π 3 )cos π 3 + sin(� + π 3 )sin π 3 =− 5 3 × 1 2 + 2 3 × 3 2 = 2 3− 5 6 . (3)由(1)得�( � 2 ) = 2sin(� + π 6 ) + 1 = 3,解得 sin(� + π 6 ) = 1,又△ ���为锐角三角形, 则� = π 3 ,令� = π 3 − �, � = π 3 + �, − π 6 < � < π 6 ,则 3 2 < cos� ≤ 1, sin� + sin� = sin( π 3 − �) + sin( π 3 + �) = 2sin π 3 cos� = 3cos� ∈ ( 3 2 , 3], 所以 sin� + sin�的取值范围是( 3 2 , 3]. 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高一数学试题答题卡 姓名:                班级:                 考场/座位号:                 注意事项 1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚,并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时,必须用2B铅笔,并描浓。 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 (正面朝上,切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 19. 试卷第 1页,共 2页 大庆中学 2024-2025 学年度下学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间:120 分钟;满分:150 分 命题人:刘建华 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一、单选题 1.已知集合� = � ∈ �∣ � − 2 ⩽3 , � = {�∣ − 2⩽� < 2},则� ∩ � =( ) A.∅ B. −1,2 C. 0,1 D. −1,0,1 2.命题“∀� ∈ 0, + ∞ , e� ≥ 2025�2”的否定为( ) A.∀� ∉ −∞,0 , e� ≥ 2025�2 B.∀� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2 C.∃� ∈ 0, + ∞ , e� < 2025�2 D.∃� ∉ 0, + ∞ , e� ≥ 2025�2 3.在正三棱台��� − �1�1�1中,�� = 2,�1�1 = 1,侧棱��1与底面���所成角的余弦值为 3 3 .则 此棱台的表面积是( ) A.7 3 2 B.5 3 2 C.9 3 4 D.3 3 4 4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式,如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看 作一个圆锥,已知该圆锥的底面直径为 6m,高为 4m,则该屋顶的面积约为 ( ) A.15πm2 B.30πm2 C.24πm2 D.20πm2 5.若单位向量� ,� 满足 � + 2� =− 2 3� ⋅ � ,则 � + � =( ) A.1 B. 3 C.1或 33 3 D. 3或 33 3 6.已知向量� = 2,� ,� = 1, − 1 ,且� 与� 的夹角是 45°,若� = 1,2 ,则� 在�方向上的投影向 量的坐标是( ) A. − 2 3 , 1 3 B. 3 5 , − 2 5 C. 1 3 , 2 3 D. 2 5 , 4 5 7.记△ ���的内角�, �, �的对边分别是�, �, �, � = 2π 3 , ∠���的平分线交边��于点�,且�� = 2,则1 � + 1 � =( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 8.在△ ���中,�, �, �分别是内角�, �, �的对边,若�△��� = 3 4 �2 + �2 − �2 (其中�△���表示△ ��� 的面积),且 �� sin� + �� sin� ⋅ �� = 0,则△ ���的形状是( ) A.有一个角是 30°的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角是 30°的直角三角形 D.等边三角形 二、多选题 9.(多选题)下列四个命题中,真命题是( ) A.若�, �是两条直线,�, �是两个平面, 且� ⊂ �, � ⊂ �, 则�, �是异面直线. B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. C.若直线�, �相交,�是平面且�//�,则直线�不在平面�内. D.若�是平面,直线�1 ⊂ �,直线�2//�,则�1//�2. 10.已知� ∈ 0,π ,且 sin� + cos� =− 10 5 ,则下列说法正确的是( ) A.sin�cos� =− 3 10 B.sin�cos� =− 3 5 C.sin� − cos� = 2 10 5 D.sin� − cos� =± 2 10 5 11.关于函数�(�) = cos2� − 2 3sin�cos�,下列命题中正确的命题为( ) A.函数�(�)的最小正周期为π; B.函数�(�)的最大值为 2;; C.�(�)在区间 − π 6 , π 3 上是单调递增; 试卷第 2页,共 2页 D.将函数�(�)的图象向右平移7π 12 个单位后将与� = 2sin2�的图象重合. 第 II 卷(非选择题) 三、填空题 12.已知向量� 、� 满足 � = 5,� = 4,� 与� 的夹角为120∘,若 �� − 2� ⊥ � + � ,则� = . 13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国 拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径 A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛_ 上取两点 C,D,测得�� = 35m,∠��� = 135°,∠��� = ∠��� = 15°,∠��� = 120°,则 A、B 两点的距离为 m. 14.已知球 O的体积为 36π,三棱锥� − ���的顶点均在球�的表面上,�� ⊥ ��,∠��� = 60°,�� ⊥ ��,�� = ��,E为 AC的中点,当�� = ��时,三棱锥� − ���的体积为 . 四、解答题 15.在△ ���中,角�, �, �的对边分别是�, �, �,且�sin�cos� + �sin�cos� = 3�cos�. (1)求角�的大小; (2)若� = 3,且�� ⋅ �� = 1,求△ ���的面积. 16.正方体���� − �1�1�1�1中,�,�分别是��1,��1的中点. (1)求异面直线��1与��1所成角; (2)求证:��//平面���� 17.在△ ���中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2sin2 �+� 2 = 1 + cos2�. (1)求 B; (2)若� = 2,� = 2 7,D为 AC边的中点,求 BD的长. 18.由直四棱柱���� − �1�1�1�1截去三棱锥�1 − �1��1后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形,O为 AC与 BD的交点. (1)求证:�1�//平面�1��1; (2)求证:平面�1��//平面�1��1; (3)设平面�1��1与底面 ABCD的交线为 l,求证:�1�1//�. 19.已知向量� = (cos�, 2sin�),� = (2cos�, 3cos�),函数�(�) = � ⋅ � . (1)求函数�(�)的最小正周期及对称中心; (2)若�( π 12 + � 2 ) = 7 3 ,且 0 < � < π,求 cos�的值; (3)在锐角△ ���中,若�( � 2 ) = 3,求 sin� + sin�的取值范围.

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黑龙江省大庆市让胡路区大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期6月期中数学试题
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