精品解析：湖北省省直辖县级行政单位13校5月联考2024-2025学年八年级下学期月考数学试题

2024-2025学年度下学期八年级五月联考 数学试卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，开方运算，根据二次根式的性质，立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选A． 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】， ， ， ， ， 为直角三角形，故A选项不符合题意； ，，， 为不是直角三角形，故B选项符合题意； ， 设，， ，， ， 为直角三角形，故C选项不符合题意； ∴， 为直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意． 故选：D． 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， 的面积为， 故选：A． 6. 菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选A． 7. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 先判断，，，化简计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∴ ． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理即可求出的值，继而再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 将沿翻折，点D落在边上处， ，， ， ， 设，则， 在中， ，即， 解得，即， ， 故选D． 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的对角相等可得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案：． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 13. 如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是根据勾股定理求出长，再确定点D表示的数即可；先利用勾股定理求出，再根据点在数轴上的位置写出点D表示的数即可． 【详解】解：的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度， 所以， 以斜边长为半径画弧交数轴于点D， 所以 点A表示的数为，点D在点A右侧， 所以点D表示的数为， 故答案为：． 14. 已知，，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识．连接，作于，利用证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ∵菱形的周长为，则， ∵，则 ∴ ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差和完全平方公式展开，进行二次根式的乘法计算，最后进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： 小问2详解】 解： 17. 设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） （1）在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） （2）在图2中画出格点，使，，； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行四边形的应用，三角形的面积计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据构造直角三角形即可得出线段，再按照网格线为参考画出平行四边形，对角线的交点，即为的中点． （2）根据，，，分别构造直角三角形，即可得到． （3）根据，得出的面积，再根据，得出点到的距离． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得线段的长度为， 故可画两条长度均为的线段，让其夹角为，再连接两条线段的末端即可得出线段，如图（画法不唯一）： 再分别以为对角线，沿着格点画出个平行四边形，从而连接另外两个端点，形成另一条的对角线，与的相交于点，根据平行四边形两条对角线相互平分，即可得出点即为的中点，如图： 【小问2详解】 解：∵，，， ∴可分别构造直角三角形，画出，，这三边，即可得到，如图： 【小问3详解】 在（2）的条件下，对格点进行标注，如图所示： 可得四边形为矩形，，，均为直角三角形， ∴，，，， ∴， 如图，过点作线段的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， 代入数值可得， ∴点到的距离为， 故答案为，． 18. 如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，是上的点，且，交于，，． （1）求的长； （2）求的面积 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）利用证明即可得出结论； （2）利用角所对的直角边等于斜边的一半得出的长度，再利用勾股定理得出的长度，进而求出长度即可得出面积． 【小问1详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 20. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求线段的长． 【答案】（1）菱形，见解析 （2）5 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质，可知，进而可得，根据折叠的性质可知，则，进而可得，又，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 四边形是矩形， ， ， ∵折叠， ∴，， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴． 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）2.5千米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 22. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）8 （2）2028 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 23. 如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质和角平分线的定义得到，由此即可推出； （2）先由矩形的性质得到，再由（1）得到，，进而得到，再证明，证明，得到，进一步证明，即； （3）如图所示，连接，由（2）知，，，则，由勾股定理得，在中，由勾股定理可求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由（2）知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； （2）问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【小问1详解】 证明：∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期八年级五月联考 数学试卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A B. C. D. 6. 菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A. B. 4 C. D. 8 7. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，的度数是______． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则________． 13. 如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 14. 已知，，则代数式的值为________． 15. 如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为__． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） （1）在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） （2）在图2中画出格点，使，，； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 18. 如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，是上的点，且，交于，，． （1）求的长； （2）求的面积 20. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． （1）判断四边形形状，并说明理由； （2）求线段长． 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 22. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式的值． 23. 如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求长． 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； （2）问题解决：如图2，以锐角两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$