精品解析：广西壮族自治区贺州市昭平县昭平中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

昭平中学2025年春季学期高一年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 3. 菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（ ） A. 由两个圆台组成 B. 由一个圆锥和一个圆台组成 C. 由两个圆锥组成 D. 由两个棱台组成 4. 已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z的模为5 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线 B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面平面β，则 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______. 13. 已知向量，若三点共线，则______. 14. 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值. 16. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 17. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 18. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭平中学2025年春季学期高一年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算直接求解. 【详解】 故选：B 2. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中点线面的位置关系直接判断即可.. 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确． 故选:D． 3. 菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（ ） A. 由两个圆台组成 B. 由一个圆锥和一个圆台组成 C. 由两个圆锥组成 D. 由两个棱台组成 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 【详解】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 4. 已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可直接求得结果. 【详解】在中，由正弦定理得：. 故选：B. 5. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D. 6. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图的，再由斜二测画法规则求出顶点到的距离即可. 【详解】在中，，，， 于是得，且原图中即为顶点到的距离， 由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到的距离是. 故选：D 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由MN//平面可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解. 【详解】如图， 取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME， 由，， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面 所以平面平面，又平面， 故点N的轨迹为线段DE，又由，可得． 故选：B． 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为三角形中，， 所以是边长为2的等边三角形，则 以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图， 则，设，则， 故， 显然当时，取得最小值， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z的模为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的定义及性质可判断A、C项，根据共轭复数的定义可判断B项，根据复数模的计算公式可判断D项. 【详解】解：复数的实部为3，虚部为4，故A项正确，C项错误； 复数的共轭复数为，故B项正确； 复数的模为，故D项正确. 故选：ABD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线 B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面平面β，则 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系对各选项进行判断即可. 【详解】A.直线a，b不共面，即不平行，不相交，则a，b为异面直线，故正确； B. 直线平面，则a与内的直线平行或异面，故错误； C. 直线平面，平面平面β，则或，故错误； D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误； 故选：BCD 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 已知向量，若三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法坐标运算求得，再由向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】由，又三点共线， 所以与共线，得，解得. 故答案为： 14. 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图， ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数加法运算结合复数模的运算法则计算即可； （2）利用复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义列式计算即可. 【小问1详解】 因为，，，所以， 又，所以，解得或； 【小问2详解】 因为， 所以满足关系式，则，解得. 16. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 17. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】（1）体积为； （2）预计花费6123元． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得. 【小问1详解】 圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 18. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2） 假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积和面积公式运算求解即可； （2）根据面积可得，中，利用余弦定理可得，再求边即可. 【小问1详解】 因为，则，整理可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，可得， 又因为为的中点， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得， 解得或（舍去）， 结合，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $