精品解析：山东省日照市经济开发区中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷

2024—2025学年度下学期 八年级数学学科学情检测（三） 一、单选题 1. 下列曲线或直线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的向上平移5个单位长度得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 点，都在一次函数的图象上，则m与n的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 无法确定 5. 甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（ ） A. 乙比甲提前12分钟到达 B. 甲的平均速度为15千米/小时 C. 乙走了后遇到甲 D. 乙出发6分钟后追上甲 6. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 8 7. 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B. 当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C. 老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D. 老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1m 8. 已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则； ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知正方形中，O为的中点，点P在线段上，E为直线上一点，且．下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 10. 方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为______． 11. 若一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是____________． 12. 如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为______. 13. 如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为_______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，且与正比例函数的图象交于点. （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）求方程组的解； （3）观察图象，不等式组的解集是 . 18. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积． 19. 如图是甲、乙两家运输公司规定每位旅客携带行李的费用与所带行李质量之间的关系图． (1)由图可知，行李质量只要不超过______kg，甲公司就可免费携带，如果超过了规定的质量，则每超过1 kg要付运费_______元； (2)解释图中点M所表示的实际意义； (3)若设旅客携带的行李质量为x(kg)，所付的行李费是y（元），请分别写出y甲与y乙（元）随x(kg)之间变化的关系式； (4)若你准备携带45 kg的行李出行，在甲、乙两家公司中你会选择哪一家？应付行李费多少元？ 20. 石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元. （1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出. ①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ ②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠a（，且）元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示） 21. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为　 　km/h，快车的速度为　 　km/h； （2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标； （3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km． 22. 如图，函数的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线经过点和点，直线，相交于点M． （1）求点M的坐标； （2）求的面积 （3）点N在直线上，使得，求N点的坐标； 23. 如图，四边形是正方形，，点G是射线上的动点（不与点B，C重合），于点E，于点F． （1）当点G在线段上时，求证：； （2）若，求的长； （3）点G在射线上运动过程中，连接，判断线段与的数量关系及直线与的位置关系，并说明理由． 24. 【探索发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：__________，__________； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？若是定值，请求出的面积，若不是定值，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，，将直线向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期 八年级数学学科学情检测（三） 一、单选题 1. 下列曲线或直线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可得，A、B、D中的线都可以表示y是x的函数， C中曲线不能表示y是x的函数， 故选：C． 2. 直线的向上平移5个单位长度得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：直线的向上平移5个单位长度得到的解析式为， 故选：C． 3. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 4. 点，都在一次函数的图象上，则m与n的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，结合，即可得了． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选∶A． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是要牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”． 5. 甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（ ） A. 乙比甲提前12分钟到达 B. 甲的平均速度为15千米/小时 C. 乙走了后遇到甲 D. 乙出发6分钟后追上甲 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查学生从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质；观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程；由图象找出甲乙两人到达培训中心所用时间；根据平均速度路程所用时间计算甲的平均速度；乙第一次遇到甲时，所走的距离为速度乘以时间，可得乙多久遇到甲． 【详解】解：乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，A选项说法正确，故此选项不符合题意； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；B选项说法正确，故此选项不符合题意； 设乙出发x分钟后追上甲，则有：，解得，D选项说法正确，故此选项符合题意； 乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，C选项说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主查了平行四边形的性质，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 因为四边形是平行四边形，所以；再根据点E是的中点，得出是的中位线，，再根据四边形的周长是16，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形的周长是16， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 故选A． 7. 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B. 当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C. 老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D. 老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 8. 已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则； ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，函数图形经过的象限的判定方法，函数图象与坐标轴交点的计算等知识是解题的关键． 把点代入一次函数可得一次函数的解析式，由此得到一次函与坐标轴的交点，结合面积的计算可判定①；根据一次函数的增减性可判定②；根据函数经过象限的判定方法可得③；根据函数图象的中函数值的大小的判定，一次函数图象平行的性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：若点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴一次函数图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故①错误，不符合题意； 若，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大， ∴图象上任意两点和， 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， 综上所述，，故②错误，不符合题意； ∵一次函数， ∴当时，，即一次函数恒过， 若一次函数的图象不经过第四象限，则， ∴，故③错误，不符合题意； 若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有， ∴一次函数（）和平行， 当时，，则， 当时，，成立， ∴的取值范围是或，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共1个， 故选：A ． 9. 已知正方形中，O为的中点，点P在线段上，E为直线上一点，且．下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】过P作于F，交于G，连接；证明，则可判定①正确；证明，得，从而；设，则，，从而可判定②正确；设，则，，由勾股定理，，由此可判定③正确；由，则易判断④正确． 【详解】解：如图，过P作于F，交于G，连接； 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ； ； ， ； ，， ， ， ， ； 故①正确； ， ， ； ， ； 设，则， ，，， ，， ， 由勾股定理得：， ； 故②正确； 设，则，， 由勾股定理，， ； 故③正确； ， ， 即； 故④正确． 综上，四个结论全正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，本题有一定的综合性，构造适当的辅助线是关键． 二、填空题 10. 方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系．熟练掌握两个一次函数的图象交点坐标为两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键． 依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为1，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数与函数的图象交点坐标为． 故答案为：． 11. 若一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图形的性质，解题关键是明确一次函数不经过第二象限，比例系数大于0，常数项小于或等于0． 【详解】解：由题意知，一次函数的图象不经过第二象限， 故， 解之得：． 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点M作于点F． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：将代入直线得，即，故， 将代入直线得，解得，即； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 当、、在同一直线上时，最小，为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类．由题意分别求出的坐标，找出或的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：过点作x轴的垂线交交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去， 与横坐标相同，与纵坐标相同， 当时，， ， ∴当时，， ， 同理得： 的横坐标为：，的横坐标为， ∵， ∴， 的横坐标为：， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，且与正比例函数的图象交于点. （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）求方程组的解； （3）观察图象，不等式组的解集是 . 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）两直线的交点的横纵坐标，即为两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象，与正比例函数的图象交于点， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：由图象可得不等式组的解集为：． 18. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定证明即可； （2）根据等边三角形的性质菱形的性质和三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：∵E为AD的中点， ∴AD＝2DE＝2AE， ∵AD＝2BC， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵∠ABD＝90°，E为AD中点， ∴在Rt△ABD中，AD＝2BE， ∴BE＝DE， ∴四边形BCDE为菱形； （2）解：过点BF⊥AD于点F，如图所示： ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°，∠BDA＝30° ∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝2 ∴在Rt△BDF中，BF＝BD＝， ∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 19. 如图是甲、乙两家运输公司规定每位旅客携带行李的费用与所带行李质量之间的关系图． (1)由图可知，行李质量只要不超过______kg，甲公司就可免费携带，如果超过了规定的质量，则每超过1 kg要付运费_______元； (2)解释图中点M所表示的实际意义； (3)若设旅客携带的行李质量为x(kg)，所付的行李费是y（元），请分别写出y甲与y乙（元）随x(kg)之间变化的关系式； (4)若你准备携带45 kg的行李出行，在甲、乙两家公司中你会选择哪一家？应付行李费多少元？ 【答案】（1）20，0.5；（2）甲、乙两运输公司收费相同，均为10元；（3），；（4）选择甲公司，应付行李费12.5元． 【解析】 【分析】（1）结合函数图象得出甲公司当在20以下时y=0，即不收费；由图象得出甲公司图象（40，10），（50，15），得出每超过1kg要付运费0.5元； （2）由纵坐标相同，得出甲、乙两运输公司收费相同； （3）由图象得出甲公司图象（40，10），（50，15），与乙公司图象（30，0），（40，10），分别代入y=kx+b，求出即可； （4）由（3）式将两式联立，分析两式大小关系即可． 【详解】解：（1）甲公司当在20以下时y=0， 当x=40时，y=10，当x=50时，x=15， 得出每超过1kg要付运费0.5元， 故答案为20，0.5； （2）当行李质量为40千克时，纵坐标相等得出：甲、乙两运输公司收费相同，均为10元； （3）当x20时，y甲=0， 当x＞20时，将（40，10），（50，15），代入y=kx+b得： ， 解得：； ∴， ∴； 当x30时，y乙=0， 当x＞30时将（30，0），（40，10），代入y=kx+b， ， 解得：k=1，b=-30， ∴， ∴； （4）结合图象或者直接将两函数式进行比较大小，得出： 当x≤20时或x=40时，两公司收费相同； 当20＜x＜40时，乙公司付费较少； 当x＞40时，甲公司付费较少，则准备携带45kg的行李出行，在甲公司中费用较少， ∴． 答：选择甲公司，应付行李费12.5元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，主要有利用图象分析获取信息与由点的坐标求函数解析式，以及分析函数式的大小关系． 20. 石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元. （1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出. ①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ ②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠a（，且）元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示） 【答案】（1）甲类拼图的每盒进价是15元，乙类拼图的每盒进价是10元 （2）①当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元；②当，购进甲类拼图为40盒时，最大利润是元；当，购进甲类拼图为20盒时时，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出一元一次方程、不等式、一次函数解析式是解题的关键． （1）设乙类拼图的每盒进价是x元，则甲类拼图的每盒进价是元，根据购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元列方程求解即可； （2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图盒，根据总费用不超过2200元，列不等式为，求得，再设全部售出所获得总利润为W，则，根据一次函数性质求解即可； （3）设购进甲类拼图n盒，则购进乙类拼图盒，由（2）得，设全部售出所获得总利润为y，则，然后根据一次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙类拼图的每盒进价是x元，则甲类拼图的每盒进价是元， 根据题意得， 解得：， ， 答：甲类拼图的每盒进价是15元，乙类拼图的每盒进价是10元； 【小问2详解】 解：①设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图盒， 由题意得， 解得， ， 设全部售出所获得总利润为W元，则 ， ， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值， ∴当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元； ②设购进甲类拼图n盒，则购进乙类拼图盒， 由（2）得， 设全部售出所获得总利润为y元，则 ， 当，即时，y随n增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值； 当，即时，y随n增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值； 综上，当，购进甲类拼图为40盒时，最大利润是元；当，购进甲类拼图为20盒时时，最大利润是元． 21. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为　 　km/h，快车的速度为　 　km/h； （2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标； （3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km． 【答案】 ①. 80 ②. 120 【解析】 【分析】（1）由图象可知，两车同时出发．等量关系有两个：3.6×（慢车的速度+快车的速度）=720，（9-3.6）×慢车的速度=3.6×快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，依此列出方程组，求解即可； （2）点C表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解； （3）分相遇前相距500km和相遇后相遇500km两种情况求解即可． 【详解】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h， 根据题意，得 ，解得 ， 故答案为80，120； （2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地； ∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h）， ∴点C的横坐标为6， 纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480， 即点C（6，480）； （3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km． 即相遇前：（80+120）x=720﹣500， 解得x=1.1， 相遇后：∵点C（6，480）， ∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km， ∵慢车行驶20km需要的时间是=0.25（h）， ∴x=6+0.25=6.25（h）， 故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km． 【点睛】考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方． 22. 如图，函数的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线经过点和点，直线，相交于点M． （1）求点M的坐标； （2）求的面积 （3）点N在直线上，使得，求N点的坐标； 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可． （2）连接，先求出点C的坐标，然后根据求出结果即可； （3）根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式：， 将点和点代入中得：， 解得：， ∴直线的表达式， 联立， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为， 综上可知：或． 23. 如图，四边形是正方形，，点G是射线上的动点（不与点B，C重合），于点E，于点F． （1）当点G在线段上时，求证：； （2）若，求的长； （3）点G在射线上运动过程中，连接，判断线段与的数量关系及直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）32 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）只需要利用证明，即可证明； （2）先利用勾股定理求出的长，进而利用等面积法求出，由（1）的结论求出，进而求出，再利用勾股定理求出的长进而求出的长，由此即可得到答案； （3）分图3-1和图3-2两种情况，通过证明，得到，进而推出即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G在上， ∴由（1）的结论可知， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图3-1所示，当点G在上， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点G在延长线上时，延长交于H， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理等等，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键． 24. 【探索发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：__________，__________； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？若是定值，请求出的面积，若不是定值，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，，将直线向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②点E的坐标为；（2）变化时，的面积是定值，且定值为8；（3）或 【解析】 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解；②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，平移后的解析式为，①当点在轴的下方时，过点P作轴于H， 由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；当点在轴上方时，同理过点P作轴于H，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，， 令时，， ∴， 即，． ②过点作于点D， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M， 同理： ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）∵将直线向下平移10个单位， ， ∴平移后的解析式为， ①当点在轴的下方时，过点P作轴于H， 设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴点， ②当点在轴上方时，同理过点P作轴于H， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $