精品解析：辽宁省抚顺市新宾满族自治县木奇镇中学2025年中考数学模拟卷（四）　

新宾县木奇镇中学中考数学模拟卷（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫（燕尾榫）构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行．会议上指出了进一步全面深化改革的总目标，突出“七个聚焦”，其中之一就是聚焦提高人民生活品质．乐观预期，到2035年中国人均GDP有望达到13200美元，将13200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2019年9月27日，习近平总书记在全国民族团结进步表彰大会上指出：“各族人民亲如一家，坚持共同团结奋斗、共同繁荣发展，促进各民族像石榴籽一样紧紧拥抱在一起、推动中华民族走向包容性更强、凝聚力更大的命运共同体．”下列四幅民族特色图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 初中常用部分元素常见化合价如下表所示： 元素 氧O 镁Mg 氯Cl 铝Al 钾K 化合价 其中化合价最小的元素是（ ） A. 氧O B. 镁Mg C. 氯Cl D. 铝Al 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 图象经过一、二、三象限 D. 关于的方程的解是 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五乘．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗=10升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 9. 如图，把长方形沿折叠后，点、分别落在点，的位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，是的边的中点，连接，以，为边作．反比例函数经过点两点，若的面积为6．则的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 8 D. －8 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题．每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 13. 某校数学社团同时开展“数独”“数学接龙”和“几何拼图”三项智力游戏活动，开开和心心各随机参加一项，两人恰好选择同一项活动概率为_____． 14. 如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为_____． 15. 如图，二次函数是二次函数关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移1个单位长度得到二次函数是函数上的任意一点，且点A的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行．矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点时的取值范围是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． （1）求每个收纳夹和每个试卷袋价格； （2）全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 18. 开展丰富多样的教育活动是教育强国的一项重要措施，为了增强学生的社会责任感和公民意识，某市组织全市初中部分学生参加“环保小卫士”知识竞赛活动．随机抽取部分学生的测试成绩进行整理和分析（测试满分为100分，成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：学生竞赛成绩在C组的数据（单位：分）如下： 80，82，83，83，84，85，86，87，87，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该市共有3000名初中学生，请估计该市初中学生成绩在A组的人数． 19. 某校组织数学社团学生进行跨学科实践活动，利用物理知识进行手工品“隔音房间”制作并进行售卖，将所得全部利润用于开展社团活动．已知该手工品每个成本为6元，售价不低于8元/个，且不高于15元/个，经前期试销售发现：日销售量（个）与每个售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）在销售过程中，当该手工品每个售价为多少元时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润多少？ 20. 综合与实践： 【提出问题】 辽宁省沈阳市地处中国东北地区，地势平坦，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季和秋季温度适中．沈阳某小区一居民楼落地窗户朝南，窗户的高度为2米，此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大为．某居民想为自己家的落地窗户设计一个直角形遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．请帮该居民完成设计方案． 【设计方案】 根据商家提供的如图1所示的直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图2所示的示意图．代表窗户的高，三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线． 【解决方案】 请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽．（结果精确到0.1米） 【改进方案】 为防止雨水聚积遮阳棚，综合实践小组又把直角形遮阳棚进行升级改造成能够收缩圆弧形遮阳棚，如图3．经改造设计成以点为圆心，图2中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图4．在圆弧形遮阳棚点处牵引绳子（其中点是的中点），绳子由图4中和两部分组成，．该居民购买2.5米长的绳子，问绳子是否够用？请说明理由． （参考数据：，，，） 21. 如图，是以为直径的上的任意一点，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，是上任意一点，连接，过点作于点．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，已知边长为6的正方形纸，点，分别在边，上，正方形沿折叠，折痕为，点，的对应点分别为，，当为的三等分点时，请直接写出的长为_____． （3）如图3，在中，，是的中点，连接，过点作交于点、垂足为．若，求的长． 【拓展应用】 （4）如图4、是一个旧广场示意图，其中于点米，25米，现计划对旧广场进行扩建改造成一个平行四边形的休闲广场供市民使用．请用尺规作图画出扩建后所有可能的平行四边形，要求以为边，点 在平行四边形的边上，且或所在的直线与平行四边形的边的交点正好是该边的中点．（保留作图痕迹，不写画法及证明，在图中标明字母即可） （5）在（4）中扩建后的休闲广场的面积是否存在最大值？如果存在，请直接写出该平行四边形的最大面积；如果不存在，请说明理由． 23. 若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为函数和函数的“关联函数”，这两个点称为函数和函数的一对“关联点”．例如：如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，点关于轴对称，此时函数为函数和函数的“关联函数”，点和点是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数与函数的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数与函数的“关联函数”的顶点在轴上，求的值． 【灵活应用】 （3）当函数与函数的自变量满足时，其“关联函数”的最大值为，最小值为，若，求的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线与“关联函数”的交点从左到右依次为，则以点与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新宾县木奇镇中学中考数学模拟卷（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫（燕尾榫）构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得到答案． 【详解】解：A．是正视图，并非俯视图，故该选项不符合题意； B．是左视图，并非俯视图，故该选项不符合题意； C．未体现出上方凸起部分下方的遮挡虚线，与实际俯视效果不符，故该选项不符合题意； D．呈现了从上方观察到的轮廓，且用虚线表示了下方不可见的轮廓，符合俯视图要求，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行．会议上指出了进一步全面深化改革的总目标，突出“七个聚焦”，其中之一就是聚焦提高人民生活品质．乐观预期，到2035年中国人均GDP有望达到13200美元，将13200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将13200用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 2019年9月27日，习近平总书记在全国民族团结进步表彰大会上指出：“各族人民亲如一家，坚持共同团结奋斗、共同繁荣发展，促进各民族像石榴籽一样紧紧拥抱在一起、推动中华民族走向包容性更强、凝聚力更大的命运共同体．”下列四幅民族特色图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 初中常用部分元素常见化合价如下表所示： 元素 氧O 镁Mg 氯Cl 铝Al 钾K 化合价 其中化合价最小的元素是（ ） A. 氧O B. 镁Mg C. 氯Cl D. 铝Al 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小；根据这一比较法则，只要比较两个负数的大小即可． 【详解】解：，且， 故； 故选：A． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则计算即可作出判断． 【详解】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式=-5a2，不符合题意； C、原式=-a2b，符合题意； D、原式=-2x+8，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 图象经过一、二、三象限 D. 关于的方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且y随x的增大而增大，故A、B选项不符合题意； 图象经过一、三、四象限，故C选项不符合题意； 由图象知，图象与x轴的交点是，则关于的方程的解是，故D选项符合题意， 故选：D． 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五乘．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗=10升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，找出等量关系是解题的关键． 根据5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子，可得方程，根据7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子，可得到方程，然后列出相应的方程组即可． 【详解】解：设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，根据题意得； 故选：C． 8. 如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 当顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解； 当逆时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】 解：①当线段顺时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 点的坐标为， ， 由旋转可得：， ， ， 轴 在和中 点的坐标为 ②当线段逆时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接 点的坐标为， ， 由旋转可得： ，， 轴 在和中， 的坐标为 故选：B． 9. 如图，把长方形沿折叠后，点、分别落在点，的位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠得结合平行线的性质得，，代入数值计算，得，即可作答． 【详解】解：∵ 折叠， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵四边形长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是的边的中点，连接，以，为边作．反比例函数经过点两点，若的面积为6．则的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 8 D. －8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，反比例函数的性质．根据平行四边形的性质和三角形中线的性质，求得，，证明，求得，设，则，求得，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又函数经过点， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题．每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的顺序求解即可． 【详解】解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化1得，， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 某校数学社团同时开展“数独”“数学接龙”和“几何拼图”三项智力游戏活动，开开和心心各随机参加一项，两人恰好选择同一项活动的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及两人恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把“数独”“数学接龙”和“几何拼图”分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两人恰好选择同一项活动的有3种情况， ∴两人恰好选择同一项活动的概率为：． 故答案为：． 14. 如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 15. 如图，二次函数是二次函数关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移1个单位长度得到二次函数是函数上的任意一点，且点A的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行．矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点时的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点、二次函数图象的平移、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设函数与轴的交点为，其中．利用二次函数的性质易得，易得点，，进而得到矩形的中心点在直线，然后根据m的取值情况分11种情况分别画出图形运用矩形的性质分别分析判断即可． 【详解】由题意，得函数的表达式为． ∴函数的对称轴为直线． 令，则．解得， ∴点，． ∵点的横坐标为，点，以为对角线的矩形的中心点是的中点， 矩形的中心点在直线上． ①当时，如图1：矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点． ②当时，矩形不存在． ③当时，如图2和图3，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． ④当时，如图4，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑤当时，如图5，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑥当时，矩形不存在． ⑦当时，如图6，矩形的边（包括顶点）与函数有1个交点． ⑧当时，矩形不存在． ⑨当时，如图7，矩形边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑩当时（即点与点重合）．如图8，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． ⑪当时，如图9，矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点． 综上所述，当或时，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． 故答案为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简． （1）先计算平方，负整数指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可； （2）先计算括号里的，再计算分式的除法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． （1）求每个收纳夹和每个试卷袋的价格； （2）全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 【答案】（1）每个收纳夹5元，每个试卷袋15元 （2）该班最多可以购进12个试卷袋 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设每个收纳夹元，则每个试卷袋元，再列出分式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）理解题意，设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹，再列出不等式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：设每个收纳夹元，则每个试卷袋元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个收纳夹5元，每个试卷袋15元． 【小问2详解】 解：设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 的最大值为12， 答：该班最多可以购进12个试卷袋． 18. 开展丰富多样的教育活动是教育强国的一项重要措施，为了增强学生的社会责任感和公民意识，某市组织全市初中部分学生参加“环保小卫士”知识竞赛活动．随机抽取部分学生的测试成绩进行整理和分析（测试满分为100分，成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：学生竞赛成绩在C组的数据（单位：分）如下： 80，82，83，83，84，85，86，87，87，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该市共有3000名初中学生，请估计该市初中学生成绩在A组的人数． 【答案】（1）本次抽取的学生人数为50人，见解析 （2）中位数为分 （3）估计该市初中学生成绩在A组的人数约为300人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出B组的人数即可补全统计图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用3000乘以样本中A组的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）． ∴本次抽取的学生人数为50人． ∴B组的人数为（人）． 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：共抽取了50人， 所抽取的学生成绩的中位数是第25，26个数的平均值（把50人成绩按照从低到高排列）． 成绩在组的有5人，组的有15人，组的有10人， 中位数在组． 中位数为（分）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该市初中学生成绩在A组的人数约为300人． 19. 某校组织数学社团学生进行跨学科实践活动，利用物理知识进行手工品“隔音房间”的制作并进行售卖，将所得全部利润用于开展社团活动．已知该手工品每个成本为6元，售价不低于8元/个，且不高于15元/个，经前期试销售发现：日销售量（个）与每个售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）在销售过程中，当该手工品每个售价为多少元时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）当该手工品每个售价为11元时，日销售利润最大，最大日销售利润是75元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的应用. （1）设与之间的函数关系式为，根据题意求解析式即可； （2）设销售该手工品日销售利润为元，根据题意得到，再由二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为． 根据题意，得解得 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设销售该手工品日销售利润元． 根据题意，得． 抛物线的开口向下． ， 当时，取最大值，最大值为75． 答：当该手工品每个售价为11元时，日销售利润最大，最大日销售利润是75元． 20. 综合与实践： 【提出问题】 辽宁省沈阳市地处中国东北地区，地势平坦，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季和秋季温度适中．沈阳某小区一居民楼落地窗户朝南，窗户的高度为2米，此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大为．某居民想为自己家的落地窗户设计一个直角形遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．请帮该居民完成设计方案． 【设计方案】 根据商家提供的如图1所示的直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图2所示的示意图．代表窗户的高，三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线． 【解决方案】 请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽．（结果精确到0.1米） 【改进方案】 为防止雨水聚积遮阳棚，综合实践小组又把直角形遮阳棚进行升级改造成能够收缩的圆弧形遮阳棚，如图3．经改造设计成以点为圆心，图2中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图4．在圆弧形遮阳棚点处牵引绳子（其中点是的中点），绳子由图4中和两部分组成，．该居民购买2.5米长的绳子，问绳子是否够用？请说明理由． （参考数据：，，，） 【答案】解决方案：遮阳棚的宽约为0.7米；改进方案：绳子不够用，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在，可设米，则米，可得，再在中，，由此可证； （2）在中可得，由为的中点，可得，最后在，，，可得，由此可证绳子不够. 【详解】解：【解决方案】由题意，知米，． ． 在中，， ． 设米，则米． 米． 在中，， ，即． 解得． 答：遮阳棚的宽约为0.7米． 【改进方案】绳子不够用．理由如下： 由【解决方案】，得在中，， （米）． 如图，连接． 米． 由题意，得． 为的中点． ． ． ， ， 在中，，， （米） （米）． 米． （米）． 绳子不够用． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数值的应用，圆弧的相关知识点，掌握锐角三角函数和圆相关知识是解题的关键． 21. 如图，是以为直径的上的任意一点，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）角平分线的性质得出，而，可得从而； （2）如图，过点作于点，连接；可得，设的半径为，在中，由勾股定理可得，由可得，即，从而可得四边形是矩形，则，由此可求出. 【小问1详解】 解：证明：平分， ． ． ． 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接． ． ， ． ， ． 设的半径为． ． 在中，， 由勾股定理，得，即． ． ，即． ， 四边形是矩形． ． 在中，， 由勾股定理．得． ． 的长为． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点的关联和运用. 22. 【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，是上任意一点，连接，过点作于点．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，已知边长为6的正方形纸，点，分别在边，上，正方形沿折叠，折痕为，点，的对应点分别为，，当为的三等分点时，请直接写出的长为_____． （3）如图3，在中，，是的中点，连接，过点作交于点、垂足为．若，求的长． 【拓展应用】 （4）如图4、是一个旧广场示意图，其中于点米，25米，现计划对旧广场进行扩建改造成一个平行四边形的休闲广场供市民使用．请用尺规作图画出扩建后所有可能的平行四边形，要求以为边，点 在平行四边形的边上，且或所在的直线与平行四边形的边的交点正好是该边的中点．（保留作图痕迹，不写画法及证明，在图中标明字母即可） （5）在（4）中扩建后的休闲广场的面积是否存在最大值？如果存在，请直接写出该平行四边形的最大面积；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3）； （4）见解析； （5）存在，504米 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得，，再证，最后可得结论； （2）利用折叠性质，对情况进行分类讨论，①当时，②当，再用勾股定理可证线段长度； （3）利用直角三星形中线得，再由面积关系可得，由此可求出，由，可证，则，最后得出结果； （4）利用平行四边形的性质作图即可； （5）由于对比平行，可得，可得，最后可得面积. 【小问1详解】 解：在正方形中，，； ∵ ∴ ，即 ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵为的三等分点， ∴①当时，连接，过E作； 由折叠可知，由（1）可证 ∴， ∵正方形边长为6，；则； ∴在，； ∴. ②当，连接，过E作； 由折叠可知，由（1）可证 ∴， ∵正方形边长为6，；则； ∴在，； ∴. 【小问3详解】 解：在中，，；由勾股定理可得：； ∵是的中点 ∴ ∴ ∵过点作交于点、垂足为， ∴ ∴ ∵， 可证： ∴ ∴ 【小问4详解】 如图： 【小问5详解】 存在，504米 ∵在平行四边形中，如图，，，，根据勾股定理得， ∴ ， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质及判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性，相似三角形的性质及判定，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 23. 若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为函数和函数的“关联函数”，这两个点称为函数和函数的一对“关联点”．例如：如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，点关于轴对称，此时函数为函数和函数的“关联函数”，点和点是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数与函数的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数与函数的“关联函数”的顶点在轴上，求的值． 【灵活应用】 （3）当函数与函数的自变量满足时，其“关联函数”的最大值为，最小值为，若，求的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线与“关联函数”的交点从左到右依次为，则以点与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（）“关联函数”为 ，“关联点”的坐标为和或和； （）； （）的值为或－1； （）能，的值为或 【解析】 【分析】根据“关联函数”的定义可得“关联函数”的解析式是，设函数的一个点的坐标为，则关于轴的对称点的坐标为，根据“关联点”之间的关系得到方程，解方程求出“关联点”即可； 根据“关联函数”的定义可得“关联函数”的解析式是，“关联函数”的顶点在轴上，可得：，解方程求出值即可； 根据题意可得：“关联函数”的解析式为，根据解析式可以求出顶点坐标为，当时，，当时，，根据与“关联函数”的对称轴的关系分四种情况求解； 分别写出当的值为或时“关联函数”的解析式，根据平行四边形的性质表示出“关联点”的坐标，根据“关联点”的定义得到关于的方程，从而求出点 的坐标，再根据直线与“关联函数”的图象交于点，确定的值即可． 【详解】解：函数中，， 函数中， “关联函数”为； 设函数的一个点的坐标为，则关于轴的对称点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 解得：，， 点的坐标为或， 点的坐标为或， “关联点”的坐标为和或和； 解：根据题意，得“关联函数”为， “关联函数”的顶点在轴上， ， 解得：，， ， ； 解：根据题意，得“关联函数”为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 抛物线的开口向下， ，即时， 可得：，， ， 解得：； 直线关于直线的对称直线为， 当时， 解得：时， 可得：，， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当， 解得：时， 可得：，， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时， ， ， 此时，， ， 解得：． 综上所述，的值为或； 解：能，的值为或． 当时，一次函数表达式为， 反比例函数的表达式为， “关联函数”的表达式为． 设一次函数的一个点的坐标为， 则点关于轴对称的点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 点，， 轴， ， 点在“关联函数”的图象上， 点的坐标为， ， 当时，以为顶点的四边形是平行四边形， 点． 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， ； 当时，一次函数的表达式为， 反比例函数的表达式为， “关联函数”的表达式为， 设一次函数的一个点的坐标为， 则点关于轴对称的点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 整理得：， 解得：，， 点的横坐标为或， 点的横坐标为或， 点，关于轴对称， 轴， 的长为或． 点在“关联函数”的图象上， 设点的坐标为， ， 有以下两种情况： 当时， 以为顶点的四边形是平行四边形， 点， 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， ， 当时，以为顶点的四边形是平行四边形， 点， 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， （不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了新定义、反比例函数与一次函数交点问题、轴对称的性质、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据二次函数的性质确定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$