精品解析：2025年陕西省榆林市中考三模数学试题

2025年陕西省中考信息押题卷（一） 数学 试题卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号、 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义， 根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为2025． 故选：B． 2. 已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A. 球 B. 圆柱 C. 圆台 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 【详解】解：将一个直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 故选：D． 3. 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角线段得到的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去括号，得； 移项、合并同类项，得； 系数化为1，得． 故选A 5. 下列运算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的意义，积的乘方，平方差公式等知识，根据合并同类项法则，平方差公式，负整数指数幂的意义，同底数幂相乘法则，积的乘法法则等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A项错误，不符合题意； B．，故B项错误，不符合题意； C．，故C项正确，符合题意； D．，故D项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 一次函数的图象经过点，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求出的值，进而求出的解析式，令，进行求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 解得， 一次函数的解析式为． 在中，当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是． 故选A． 7. 如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．利用等高的两个三角形的面积比等于底的比求得，证明，求得，再利用平行四边形的性质证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A. B. 函数图象开口向下 C. 当时，随的增大而减小 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 将数字填入三阶幻方中，使每行、每列及两条对角线上的三个数字之和都相等，则正中间一格填的数字为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算，先求出这9个数字之和，进而求出每一列，每一行及两条对角线上的三个数字之和，再由最中间一行、最中间一列及两条对角线上的12个数字之和为60进行求解即可． 【详解】解：∵9个数字之和为，每行、每列及两条对角线上的三个数字之和都相等， 三个数字之和为15． ∴最中间一行、最中间一列及两条对角线上的12个数字之和为60， ∵其中正中间一格的数字被计算了4次，其余八个格的数字被计算了1次， 正中间一格的数字为， 故答案为：5． 11. 如图，是的内接三角形．若，则_________°． 【答案】120 【解析】 【分析】连接．利用等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 12. 点都在反比例函数的图象上，若，则___________0．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得反比例函数的解析式是． 由反比例函数的性质，得点也在反比例函数的图象上． 当时，随的增大而减小． 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：>． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 三、解答题：本大题共13小题，共81分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根，零整数指数幂，负整数指数幂求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 对于实数，定义一种运算“”：．解不等式组，并求其所有整数解的和． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，求不等式组整数解，根据新定义可得，求出不等式组的解集，进而确定其整数解即可得到答案． 【详解】解：根据定义的新运算得，原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为0，1， ∴原不等式组所有整数解的和为 17. 如图，四边形是平行四边形．请用尺规作图法，在边上作，作的平分线交边于点，作线段．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段和角平分线的尺规作图，根据线段和角平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 以A为圆心，以的长为半径画弧交于E，分别以B、E为圆心，以大于的长为半径画弧，二者交于一点，以A为顶点，作过点A和该点的射线交于F，连接． 18. 如图，点在同一条直线上，，点和点在直线上方，连接，其中相交于点．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边对等角，先根据得到，再根据证明全等即可． 【详解】证明： ． 在和中， ． 19. 如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 【答案】不公平，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，列表可知共有个等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，指针两次都落在白色区域的情况有种，再通过概率公式求出概率，最后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：不公平，理由如下，列表如下： 第二次转第一次转 由表可知，共有种等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，分别为，，，，， ∴小王胜的概率为， ∵指针两次都落在白色区域的情况有种，分别为，，，， ∴小吴胜的概率为， ∵， ∴这个规则不公平． 20. 今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 【答案】该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，准确理解题意是解题的关键． 设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场． 由题意得，． 解得． 经检验为原方程的解，且符合题意． 答：该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》． 21. 某地公园里有一座纪念碑，将其抽象为如图所示五边形．已知，，求纪念碑的高度．（结果精确到小数点后一位．参考数据： 【答案】纪念碑的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了考查平行线的判定和性质，矩形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点C作，然后利用平行线的判定和性质证明，过点A作的延长线于点L，过点E作的延长线于点P，过点E作于点O，得出四边形为矩形，再由各角之间的关系确定，，然后利用解三角形求解即可． 【详解】解：如图1，过点作． ． ． ， ． 如图2，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，则四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，； 在Rt中，． ，即纪念碑的高度约为 22. 三月中下旬，某地山桃花进入了最佳观赏期，吸引了大批游客共赴这一场盛大的花海盛宴．为满足登山游客对户外用品的需求，甲、乙两家户外用品商店分别推出各自的促销优惠方案，分别是：甲商店，一次性购买的户外用品不超过180元不打折，超过180元的部分打八折；乙商店，一次性购买的户外用品不超过300元不打折，超过300元的部分打六折．设商品原价为元，则物时应付金额为元． （1）求在甲商店购物时，与之间的函数解析式； （2）当一次性购买的户外用品超过300元时，若在甲商店和乙商店的付款金额相等，求所购买的户外用品的原价； （3）若一次性购买的户外用品原价为元，根据购买户外用品的原价，请直接写出选择哪家商店购物更优惠． 【答案】（1） （2）当一次性购买的户外用品超过300元时，购买的户外用品的原价为420元，在甲商店和乙商店的付款金额相等 （3）当或时，在甲、乙两家商店购物花费一样；当时，在甲商店购物更优惠；当时，在乙商店购物更优惠 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）分两种情况建立函数关系式即可； （2）当时，，结合题意可得，，再解方程即可； （3）分，，，，，再讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意，知当时，； 当时，． 在甲商店购物时，与之间的函数解析式为 【小问2详解】 解：根据题意知，在乙商店购物时， 当时，． 由题意，， 解得． 答：当一次性购买的户外用品超过300元时，购买的户外用品的原价为420元，在甲商店和乙商店的付款金额相等． 【小问3详解】 解：由题意可得：，而， 当时，， 此时在甲、乙两家商店购物花费一样； 当时， 当时， 解得：， ∴当时，在甲商店购物更优惠， 当时， 解得：，舍去， 当时， 当时， 解得：， ∴当时，在甲商店购物更优惠， 当时， 解得：，舍去， 结合（2）可得：当时，在甲、乙两家商店购物花费一样； 当时， 当， 解得：，舍去， 当， 解得：， 此时当时，在乙商店购物更优惠 综上：当时或时，在甲、乙两家商店购物花费一样，当时，在甲商店购物更优惠；当时，在乙商店购物更优惠 23. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人宣布，将正式实施为期三年的“体重管理年”行动，普及健康生活方式，帮助居民科学管理体重．为推进“体重管理年”，某中学举行了“健康体重，一起行动”科普教育，并组织1500名学生参加了知识答卷，为了解科普效果，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．信息如下： 成绩频数分布表： 组别 C 成绩（分） 频数 4 12 10 6 成绩在组（）的数据（单位：分）： （1）请补全频数分布直方图； （2）这次测试成绩的中位数是___________，扇形的圆心角的度数是___________； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为科普教育知识成绩优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）图见解析 （2）； （3）该校成绩达到优秀的学生约有600人 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图，频数（率分布表和扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力． （1）根据频数分布直方图可得到的值，然后补全频数分布直方图； （2）将样本中成绩从低到高排列，排在中间的两个数是76，77，可得中位数，用乘以组的百分比即可得到扇形的圆心角的度数； （3）用学生总人数乘以成绩在80分以上（不含80分）的百分比，计算即可得解． 【小问1详解】 解： 被抽取的学生人数为， ， 补全频数分布直方图，如图所示． ； 【小问2详解】 解：将样本中成绩从低到高排列，排在中间的两个数是76，77，故中位数是， 扇形的圆心角的度数是． ∴估计这次测试成绩中位数是，扇形的圆心角的度数是. 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校成绩达到优秀的学生约有600人. 24. 如图，是的直径，点在上，于点，的平分线交于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1）详见解析 （2）和的长分别为和 【解析】 【分析】（1）利用的平分线交于点得到，再利用等角的余角相等结合可以证明，从而利用等角对等边得证； （2）连接，利用，，等量代换得到可知，从而利用勾股定理求出，运用的三角函数值求出和，从而求出，再用勾股定理求出，根据得到，从而求出． 【小问1详解】 证明：的平分线交于点，交于点， ． 是的直径， ． ， ． 于点 ． ， ． ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接． ，且， ． ． 且， ． ， ． ， ． ， ， ． 综上，和的长分别为和． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定与性质等知识，本题也可以用相似三角形和射影定理来解，灵活运用所学知识是解题的关键． 25. 已知二次函数(为常数，且)． （1）当时，求函数值的最小值； （2）若点在该二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数解析式，再化为顶点式，即可得解； （2）将原二次函数解析式化为顶点式，从而可知点A即为抛物线顶点，且，根据得到或，再分①若和②若两种情况讨论，结合或，根据对称轴是直线和抛物线的增减性得到函数值的大小关系，从而求出a的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， 得 即． 函数图象的开口向上，函数值存在最小值， 且当时，取得最小值4， 当时，函数值的最小值为4． 【小问2详解】 ， 抛物线的对称轴为，顶点坐标为． ， 点为抛物线的顶点． ， 或， 或， 或． ①若，即，则抛物线开口向上． 对称轴为， 当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大． 若，则两点都位于抛物线对称轴的右侧，此时函数值随的增大而增大， ，解得 的取值范围为； 若，则两点都位于抛物线对称轴的左侧，此时函数值随的增大而减小， ，解得 的取值范围为． ②若，即，则抛物线开口向下． 对称轴为， 当时，函数值随的增大而增大； 当时，函数值随的增大而减小． 若，则两点都位于抛物线对称轴的右侧，此时函数值随的增大而减小， ，此时无解， 这种情况不存在； 若，则点两点都位于抛物线对称轴的左侧，此时函数值随的增大而增大， ，此时无解， 这种情况不存在． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，化顶点式，二次函数的图象与性质等知识，运用分析出对称轴是直线，并结合增减性判断函数值的大小关系是解题的关键． 26. 综合与实践 【特例感知】 （1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，由全等三角形的判定和性质得到，即，即可得到； （2）由矩形的性质得到，证明，得到，再由即可证明； （3）求出，分两种情况讨论即可. 【详解】解：（1）四边形为正方形， ． ， ． 又 ， ， ． 故答案为：，； （2）． 证明：四边形为矩形， ． 在中，， ， 即． 又 ． ． ． ， ． ； （3）或． ．分两种情况讨论： ①如图1，当四边形为矩形时，四边形为轴对称图形． 由（2）得 在矩形中，． 在中， ， 解得 ． ②如图2，当四边形关于所在的直线对称时，． 在中，． ． 由（2）得． 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.熟练掌握各知识点是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省中考信息押题卷（一） 数学 试题卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号、 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的． 1. 的倒数是（ ） A B. 2025 C. D. 2. 已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A. 球 B. 圆柱 C. 圆台 D. 圆锥 3 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（　　） A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. 6. 一次函数的图象经过点，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A. B. 函数图象开口向下 C. 当时，随的增大而减小 D. 的最小值是 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：___________． 10. 将数字填入三阶幻方中，使每行、每列及两条对角线上的三个数字之和都相等，则正中间一格填的数字为___________． 11. 如图，是的内接三角形．若，则_________°． 12. 点都在反比例函数的图象上，若，则___________0．（填“>”“<”或“=”） 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 三、解答题：本大题共13小题，共81分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 对于实数，定义一种运算“”：．解不等式组，并求其所有整数解和． 17. 如图，四边形是平行四边形．请用尺规作图法，在边上作，作的平分线交边于点，作线段．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点在同一条直线上，，点和点在直线上方，连接，其中相交于点．求证：． 19. 如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 20. 今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 21. 某地公园里有一座纪念碑，将其抽象为如图所示五边形．已知，，求纪念碑的高度．（结果精确到小数点后一位．参考数据： 22. 三月中下旬，某地山桃花进入了最佳观赏期，吸引了大批游客共赴这一场盛大的花海盛宴．为满足登山游客对户外用品的需求，甲、乙两家户外用品商店分别推出各自的促销优惠方案，分别是：甲商店，一次性购买的户外用品不超过180元不打折，超过180元的部分打八折；乙商店，一次性购买的户外用品不超过300元不打折，超过300元的部分打六折．设商品原价为元，则物时应付金额为元． （1）求在甲商店购物时，与之间的函数解析式； （2）当一次性购买的户外用品超过300元时，若在甲商店和乙商店的付款金额相等，求所购买的户外用品的原价； （3）若一次性购买的户外用品原价为元，根据购买户外用品的原价，请直接写出选择哪家商店购物更优惠． 23. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人宣布，将正式实施为期三年的“体重管理年”行动，普及健康生活方式，帮助居民科学管理体重．为推进“体重管理年”，某中学举行了“健康体重，一起行动”科普教育，并组织1500名学生参加了知识答卷，为了解科普效果，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．信息如下： 成绩频数分布表： 组别 C 成绩（分） 频数 4 12 10 6 成绩在组（）的数据（单位：分）： （1）请补全频数分布直方图； （2）这次测试成绩的中位数是___________，扇形的圆心角的度数是___________； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为科普教育知识成绩优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 24. 如图，是的直径，点在上，于点，的平分线交于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求和的长． 25. 已知二次函数(为常数，且)． （1）当时，求函数值的最小值； （2）若点在该二次函数的图象上，且，求的取值范围． 26. 综合与实践 【特例感知】 （1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$