精品解析：江西省抚州市六校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2025年八年级六校联盟质量检测数学试卷 一、单选题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列判断错误的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由 ，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的性质等知识点，灵活运用不等式的相关性质成为解题的关键． 根据解不等式、不等式的性质逐项判断即可解答． 详解】解：A. 由，移项得：，即该选项正确，不符合题意； B. 由，由不等式的性质可得，即该选项正确，不符合题意； C. 由 ，当时，，即该选项错误，符合题意； D. 由，得，即A该选项正确，不符合题意． 故选C． 3. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 4. 有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ） A. ①是整式乘法 B. ②是因式分解 C. ①、②均是因式分解 D. ①、②均不是因式分解 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义和整式乘法的定义进行逐一判断即可：把一个多项式变形为几个整式积的形式叫做因式分解． 【详解】解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法， 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键． 5. 春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方逆时针，旋转角度，求坐标． 【详解】解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为． 6. 足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ） A. 15 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，根据轴对称的性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，根据轴对称的性质可得出，根据等边对等角和平行线的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，然后根据三线合一求出即可． 【详解】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F， ∴，， ∴，， ∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于， 依题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即两次传球中皮球飞过的最短路径为， 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案：． 8. 若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的定义求参数的值，解一元一次不等式，先根据不等式的定义，得到，进而求出的值，在根据移项，合并，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴不等式化为：， ∴， ∴； 故答案为：． 9. 中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形房脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑，米，米，为的中点，于点，则的长度为_____． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理；根据三线合一的性质可得，米，进而勾股定理求得，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵米，为的中点，米， ∴，米； 在中，（米）； ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：米． 10. 如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移的性质，三角形外角和性质的综合，理解图示，掌握平移的性质，平行线的性质，三角形外角和的性质等知识是解题的关键． 根据图形的平移，可知是的外角，可得，分类讨论，当时；当时；根据角的和差倍分关系即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵三角形平移得到三角形， ∴， ∴， ∵是的外角， ， 当时，， 解得，； 当时，则， ∴，解得，； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 11. 如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 过点作于，连接，先证明得，，，再证明得，由此可得出线段之间的等量关系． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∵， 在和中,， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有______（填写序号即可）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数与方程与不等式的关系，理解题意是解本题的关键；由一次函数的图象交y轴正半轴于点A，可得，且，即可判断①；当时，，可判断②，再结合方程与不等式的性质可判定③④； 【详解】解：∵一次函数的图象交y轴正半轴于点A， ∴，且， 解得：且；故①符合题意； 当时，， ∴一次函数经过点；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， 整理得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴且，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 14. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 15. 如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出关于点O对称的； （2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，利用图形旋转的性质作图，熟练掌握相关作图知识是解题的关键． （1）作出点A关于点O的对称点D，连结，，即得答案； （2）图形旋转的性质，分别作，的中垂线，两线的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，就是所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，点P就是所求作的点． 16. 定义关于@的一种运算：，如． （1）若，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式； （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【小问1详解】 解：由得：， 解得， ∵x为正整数， ∴； 【小问2详解】 解不等式得：， 由得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 17. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作，，求出，，证明出，得到，，，然后求出直线表达式为，当时，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设直线l的解析式为，把点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作轴，过点A作， ∵直线交轴于点，交轴于点 ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∵直线过点且平行于直线， ∴设直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴直线表达式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． （1）若，求的度数； （2）当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】（1） （2）他们是会被垂直滴下的雨水淋到 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴他们是会被垂直滴下的雨水淋到． 19. 如图，在长方形中，E是边上一点（不与点A，D重合），将长方形沿折叠后点A落在点F处，的平分线交直线于点M，交的延长线于点G，的平分线交直线于点N，交于点O． （1）求的度数． （2）是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，角平分线性质，等腰三角形的性质等知识，注意分类讨论． （1）由折叠的性质得，由平分，得到，从而有；同理得；再由三角形内角和即可求解； （2）分三种情况考虑：当时；当时；当时．利用等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠得， 平分， ∴， ∵， 同理，， ； 【小问2详解】 解：存在．理由如下： 当时，， 所以在中，， 所以． 当时，，不合题意； 当时，，不合题意． 综上，当时，是等腰三角形． 20. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； 【详解】（1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）如图2，点G在延长线上，连接，F是上一点，过点F作的垂线交y轴于点D，D点坐标，垂足为E，当时，求F点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三点的坐标及勾股定理求得的长，即可证明； （2）由（1）所求，再求出的长，利用勾股定理的逆定理即可证明； （3）过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，先由证明，结合可得，从而得，再利用证明，则，从而得，最后求得点F的坐标． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问3详解】 解：过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识，证明三角形全等是解题的关键． 22. 定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【答案】（1） （2）2025 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，方程的“变更方程”方程为， ∴联立方程组， 解得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； 【小问3详解】 解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵m是整数， ∴， 当时，，，符合题意， ∴． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形． 性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形． 【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年八年级六校联盟质量检测数学试卷 一、单选题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断错误的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由 ，得 D. 由，得 3. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ） A. ①是整式乘法 B. ②是因式分解 C. ①、②均因式分解 D. ①、②均不是因式分解 5. 春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ） A. 15 B. C. 20 D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 8. 若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 9. 中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形房脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑，米，米，为的中点，于点，则的长度为_____． 10. 如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为___________． 11. 如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是______． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有______（填写序号即可）． 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组并写出它的正整数解． 14. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 15. 如图，在方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出关于点O对称的； （2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 16. 定义关于@的一种运算：，如． （1）若，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 17. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． （1）若，求的度数； （2）当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 19. 如图，在长方形中，E是边上一点（不与点A，D重合），将长方形沿折叠后点A落在点F处，的平分线交直线于点M，交的延长线于点G，的平分线交直线于点N，交于点O． （1）求的度数． （2）是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 20. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）如图2，点G在延长线上，连接，F是上一点，过点F作的垂线交y轴于点D，D点坐标，垂足为E，当时，求F点坐标． 22. 定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形． 【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$