精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校等四校2024-2025学年八年级下学期4月联考数学试题

绝密★启用前 2024-2025学年度第二学期0426四校联考测试卷 八年级数学 （命题人： 审题人： ） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( ) A. 5，6，7 B. 5，12，13 C. 1，4，9 D. 5，11，12 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的周长是（ ） A. 20 B. 25 C. 28 D. 32 8. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 9. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，已知菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 12. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 化简_______． 14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 15. 如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____． 16. 如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 __________________． 三、解答题（共98分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 先化简，再求值：，其中： 19. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． （1）求，间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长． 23. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 25. 如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； （3）若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024-2025学年度第二学期0426四校联考测试卷 八年级数学 （命题人： 审题人： ） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式的加减法法则，二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误； 故选：B． 3. 以下是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：1. 被开方数不含能开方的因数或因式；2. 被开方数不含分母，逐一分析选项即可确定答案． 【详解】解：选项A：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项B：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项C：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项D：，被开方数无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件，本选项符合题意； 故选：D． 4. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( ) A. 5，6，7 B. 5，12，13 C. 1，4，9 D. 5，11，12 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵52+62≠72，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、∵12+42≠92，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、∵52+122=132，能围成直角三角形，此选项正确； D、∵52+112≠122，故不能围成直角三角形，此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股数是解决本题的关键. 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 6. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 7. 如图，在中，，则的周长是（ ） A. 20 B. 25 C. 28 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，求出的长，再根据周长公式，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的周长是； 故选A． 8. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形和菱形的性质，根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结果． 【详解】解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选B． 9. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，找出不符合条件的选项即可． 【详解】解：A．，，两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故A不符合题意； B．，，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形，故B不符合题意； C．，，仅一组对边平行且另一组对边相等，无法保证四边形是平行四边形，例如，等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故C符合题意； D．，，一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 10. 如图，已知菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，菱形的性质，求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴； 故选B． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点D的坐标，可得，根据折叠的性质可得，先用勾股定理求出的长度，再用勾股定理列出方程，求出的长度即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵由折叠得到， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关内容． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的性质． 14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用即可． 【详解】解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为， 因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即， 地毯的面积为， 总费用为元， 故答案为：． 15. 如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____． 【答案】1.5 【解析】 【分析】由折叠可得，．再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF的长，从而求出CF的长．设，则，在中，利用勾股定理列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】解：由折叠可知，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴在中，， ∴． 设，则， ∴在中，，即， 解得：． 故EC的长为1.5． 故答案为1.5． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 16. 如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图：取线段的中点E，连接， ∵，矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大． ∴点D到点O的最大距离， 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数次幂等知识，解题的关键是： （1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算进行求解即可． （2）先根据负整数次幂、完全平方公式化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中： 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 19. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． （1）求，间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可． 【小问1详解】 解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． 【小问2详解】 解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， 所以这辆小汽车没有超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，再结合，可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，BDAE， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∴CD＝AE． ∴四边形ADCE是平行四边形． 又∵AB＝AC，D为边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°， ∴矩形ADCE是正方形， ∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°， ∴ACAE＝2， 即矩形ADCE对角线的长为2． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，进而得到，等量代换得到，证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）斜边上的中线求出的长，根据菱形的性质和面积公式，求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 25. 如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； （3）若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②； （3）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①过点E作于，于，如图， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $