精品解析：2024-2025学年上海市长宁区七年级下学期期末数学模拟练习试题

2024-2025学年上海市长宁区七年级（下）期末数学模拟练习试题 考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形全等、等腰三角形 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（    ） A. B. C. D. 4. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的本棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 9. 如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________． 10. 如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为_______________． 11. 如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为__________． 12. 如图，在中，，，，点在上，若．则_______． 13. 如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为_______． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，则 _______°． 15. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 16. 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_____ 17. 和是邻补角，且比大，则_______度，_______度． 18. 已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为____秒． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 19. 解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 20. 解不等式或不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （1） （2） 四、解答题：本题共5小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是 BC 上的一点，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为点 E，F 为 AD 的中点，连接 CF、EF． （1）猜想CF与EF的关系，并说明理由； （2）如图2，连接BF，若∠AEF＝30°，求∠BFE 的度数． 22. 如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． （1）过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； （2）线段 的长度是点A到直线的距离； （3）线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） （4）点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 23. 如图，已知，． （1）尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． （2）在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 24. 已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． （1）如图1，当点在线段上时，若，求的度数． （2）点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 25. 已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图，若，平分，求的度数； （2）在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； （3）如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市长宁区七年级（下）期末数学模拟练习试题 考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形全等、等腰三角形 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可求，再由互余关系求解，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，是边上的高， 由折叠的性质可得，，， ， ， 故选：C． 2. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．要判定，已知，得出，再根据所给选项结合判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，可得，根据能判定，故A选项不符合题意； B．添加，利用能判定，故B选项不符合题意； C．添加，利用能判定，故C选项不符合题意； D．添加，只有两个条件，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 4. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 5. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的本棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项判断即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，能构成三角形，故本选项符合题意； C．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 9. 如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________． 【答案】100 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴∠A=180°-40°-60°=80°， ∵， ∴180°-80°=100°． 故答案是100． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 10. 如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据垂直的条件和对顶角相等求出，再根据平角的定义得出，然后根据题意画出图形，分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ①当与在的同侧时，如图， ， ， ， ②当与在的异侧时，如图， ， ， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是角度的和差计算，考查平角和周角的定义，垂直的定义，对顶角相等，运用了分类讨论的思想，掌握角的相关知识是解题的关键． 11. 如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 12. 如图，在中，，，，点在上，若．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及全等的性质、三角形内角和定理等知识，先由两个三角形全等得到，在中，由三角形内角和定理可得，最后数形结合表示出求解即可得到答案．熟记全等的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的关系，连接，如图所示，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，设，则，得到，进而由、得到相应三角形的面积之比，最后由；；建立一元一次方程求解即可得到答案，数形结合，根据等高三角形的面积比等于底边的比，找准相关三角形的面积比是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ， 设，则， ， 为边上的中点， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则，且， 的面积为2， ， ， ， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则， ；； 则， 解得， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，则 _______°． 【答案】59 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理计算出，再根据基本作图和角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了基本作图和三角形的角平分线． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分∠BAC， ∴， ∴． 故答案为：59． 15. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 16. 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_____ 【答案】等腰三角形的底角是直角或钝角 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 【详解】证明：根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 故答案是：等腰三角形的两底是直角或钝角． 17. 和是邻补角，且比大，则_______度，_______度． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质：邻补角互补，即和为．也考查了一元一次方程的解法，根据邻补角性质列出方程是解题的关键．设，，根据和是邻补角列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，， 根据题意得， 解得． ． ，． 故答案为：；． 18. 已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为____秒． 【答案】2或8或10 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形讨论：①当时．②当时．③当时，分别求出即可解决问题． 【详解】解：，，， ． ①当时，如图1中， ， ， ， ， ， 旋转时间． ②如图2中，当时， ， ， 旋转时间． ③当时，如图3中， ， ， ， 旋转时间． 综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行． 故答案为：2或8或10． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 19. 解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 【答案】数轴上表示见解析，不等式的整数解为，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，用数轴表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示，如图所示： ． 则该不等式的整数解为，0，1，2． 20. 解不等式或不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1），数轴见详解 （2），数轴见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），以及用数轴表示解集． （1）根据不等式的解法进行运算即可，并在数轴上表示出来； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【小问1详解】 解： 不等式解集在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式的解集为： 不等式解集在数轴上表示如下： 四、解答题：本题共5小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是 BC 上的一点，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为点 E，F 为 AD 的中点，连接 CF、EF． （1）猜想CF与EF的关系，并说明理由； （2）如图2，连接BF，若∠AEF＝30°，求∠BFE 的度数． 【答案】(1)CF=EF，CF⊥EF，理由见解析；(2)∠BFE=15°. 【解析】 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠EBD=45°，在Rt△ACD中，由直角三角形斜边中线的性质可得CF=AF，从而有∠FAC=∠FCA，同理在Rt△AED中，可得EF=AF，∠FAE=∠FEA，继而可得CF=EF，再由三角形外角的性质以及角的和差可得∠CFD+∠EFD=90°，即可得CF⊥EF； (2)由∠EBD=45°，∠BED=90°可得BE=ED，再由∠AEF=30°，可得∠BEF=150°，∠FED=60°，继而可得△FED是等边三角形，从而有EF=ED，继而可得BE=EF，再利用等边对等角即可求得答案. 【详解】(1)CF=EF，CF⊥EF，理由如下： ∵Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB=∠B=45°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=∠AED=90°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，F为AD中点， ∴CF=AF， ∴∠FAC=∠FCA， 在Rt△AED中，∠AED=90°，F为AD中点， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， ∴CF=EF， ∵∠CFD=∠FAC+∠FCA，∠EFD=∠FAE+∠FEA，∠FAC+∠FAE=∠CAB=45°， ∴∠CFD+∠EFD=90°， 即∠EFC=90°， ∴CF⊥EF； (2)∵∠EBD=45°，∠BED=90°， ∴∠EDB=90°-∠EBD=45°=∠EBD， ∴BE=ED， ∵∠AEF=30°， ∴∠BEF=180°-∠AEF=150°，∠FED=∠AED-∠AEF=90°-30°=60°，∠FAE=∠AEF=30°， ∴∠ADE=60°， ∴∠FDE=∠FED=60°， ∴△FED是等边三角形， ∴EF=ED， ∴BE=EF， ∴∠BFE=(180°-150°)÷2=15°. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 22. 如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． （1）过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； （2）线段 的长度是点A到直线的距离； （3）线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） （4）点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【答案】（1）图见详解； （2） （3）＜ （4）5 【解析】 【分析】本题考查作平行线、垂线，点到直线距离的理解应用： （1）先根据格点画出，再根据三角形全等及直角三角形两锐角互余，在位置找与全等的三角形即可得到答案； （2）根据点到直线的距离是垂线段距离直接判断即可得到答案； （3）根据图形判断即可得到答案； （4）根据的面积与的面积相等，即可得到点到的高与点G到的高相等，作平行线即可得到答案； 【小问1详解】 解：如图所示，， ∴， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图像可得， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵的面积与的面积相等， ∴点到的高与点G到的高相等即可，如图所示， ， ， ∴的面积与的面积相等的点P，有5个． 23. 如图，已知，． （1）尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． （2）在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 【答案】（1）作图见解析 （2）①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 24. 已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． （1）如图1，当点在线段上时，若，求的度数． （2）点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①，证明见解析；②或 【解析】 【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解． 【小问1详解】 解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． 25. 已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图，若，平分，求的度数； （2）在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； （3）如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的性质等知识， （1）由，，可得，由旋转的性质可得，由角平线的定义得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得； 设，同的方法可得； （3）由全等三角形的性质得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【小问1详解】 解：，， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； 【小问2详解】 解：设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； 【小问3详解】 解：∵， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $