专题04 平面向量全章综合9种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 平面向量全章综合9种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本概念 题型02平面向量线性运算 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量数量积 题型05向量垂直 题型06向量的模 题型07向量的夹角 题型08投影向量 题型09三角形四心问题 ( 题型01 ) 平面向量基本概念 1．（2023秋•昌黎县校级期末）下列物理量中，不能称为向量的是　　 A．质量 B．速度 C．位移 D．力 （多选）2．（2022春•元氏县校级期末）下列关于平面向量的说法中正确的是　　 A．，，若与平行，则 B．单位向量，，则 C．若点为的重心，则 D．若，，则 ( 题型02 ) 平面向量线性运算 3．（2023春•承德期末）设为平行四边形的对角线的交点，则　　 A． B． C． D． 4．（2017秋•沧州期末）为四边形所在平面内任意一点，若，则四边形为　　 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定 5．（2024春•河北期末）等于　　 A． B． C． D． 6．（2024春•石家庄期末）若为的边的中点，则　　 A． B． C． D． 7．（2024春•涉县校级期末）在平行四边形中，为的中点，为上一点，则　　 A． B． C． D． 8．（2023春•元氏县校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． ( 题型03 ) 平面向量共线定理 （多选）9．（2024秋•邯郸期末）与向量共线的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•昌黎县校级期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为　　 A． B．6 C． D． 11．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． ( 题型04 ) 平面向量平行，垂直的坐标表示 13．（2024秋•邢台期末）已知△中，，，，为△所在平面内一点，且满足，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 14．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 15．（2024秋•秦皇岛期末）如图，在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，其中，，则的最小值是 　　． 16．（2024秋•唐县校级期末）在锐角△中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则　　． 17．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． ( 题型0 5 ) 平面向量数量积 18．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 19．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 20．（2024春•河北期末）若向量，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． 22．（2024春•涉县校级期末）已知向量，，若，则　　． 23．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 ( 题型0 6 ) 向量的模 24．（2024秋•廊坊期末）已知和都是单位向量，若在上的投影向量为，则　　 A． B． C． D．3 25．（2024秋•沧州期末）已知向量满足，且，则　　 A． B．2 C． D． 26．（2024秋•邢台期末）已知单位向量和的夹角为，且，则　　 A．1 B． C．2 D． ( 题型0 7 ) 向量的夹角 27．（2023秋•定州市校级期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 28．（2024春•承德期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 30．（2023春•河北期末）已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 31．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 32．（2023春•河北期末）已知，，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C．0 D．1 ( 题型0 8 ) 投影向量 33．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 34．（2024春•邯郸期末）在中，，，平面内一点满足，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 35．（2024春•河北期末）已知，是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•石家庄期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 37．（2024春•高碑店市校级期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 　　． 38．（2024春•莲池区校级期末）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 （多选）39．（2023秋•沧州期末）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是　　 A． B． C．在上的投影向量为 D． 40．（2024秋•邢台期末）在中，为重心，，，则　　． （多选）41．（2022春•石家庄期末）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 42．（2016秋•张家口期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，为△的外心，为边上的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 43．（2024春•承德期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 　　． 44．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． 1．（2024秋•唐县校级期末）在中，是边的中点，是线段的中点．设，记，则　　；若，的面积为，则当　　时，取得最小值． 2．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2023秋•石家庄期末）若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于，两点，则　　． （多选）4．（2024春•河北期末）如图，在中，，，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为， 5．（2024春•邢台期末）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值． 6．（2024春•张家口期末）在中，，，，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 2 / 13 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10．（2023秋•昌黎县校级期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为　　 A． B．6 C． D． 【解析】是两个不共线的向量， ，与是共线向量， 由向量，可得， 可得，解得． 故选：． 11．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】充分性：由与共线，则，解得或0，是的不充分条件； 必要性：当，时，由，则与共线，是的必要条件． 故选：． 12．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． 【解析】向量，，若与共线， 则，解得． 故答案为：1． ( 题型04 ) 平面向量平行，垂直的坐标表示 13．（2024秋•邢台期末）已知△中，，，，为△所在平面内一点，且满足，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【解析】△中，，，，为△所在平面内一点，且满足， 设的中点为，的中点为，则， ， 为线段的靠近的三等分点， ， 故选：． 14．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 【解析】设向量、的夹角为， 根据，，可得， 化简得，可得， 所以， 当时，即、的夹角为0时，取得最大值10． 故选：． 15．（2024秋•秦皇岛期末）如图，在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，其中，，则的最小值是 　　． 【解析】因为，，， 所以，，故， 所以 ， 因为当，时，在，上单调递减， 所以当时，取得最小值2． 故答案为：2． 16．（2024秋•唐县校级期末）在锐角△中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则　　． 【解析】因△的面积为10，且， 则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得此时，同理可得， 如图所示，因， 由可得：， 由可得：， 由锐角三角形可知是锐角，故是钝角， 于是， 于是． 故答案为：． 17．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． 【解析】已知等边三角形的边长为2，点为边的中点，可得，且， 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标， 则，，， 设点，则，，， 可得， 所以， 又因为，所以， 设，， 则，当，时取等号． 所以的最大值为． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 平面向量数量积 18．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 【解析】向量，，， 则， 故． 故选：． 19．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 【解析】，， 则， ，解得． 故选：． 20．（2024春•河北期末）若向量，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为，， 所以， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 21．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． 【解析】根据题意，向量，，则， 若，则， 解可得：． 故答案为：． 22．（2024春•涉县校级期末）已知向量，，若，则　　． 【解析】向量，，， 则，解得或， 则， 所以． 故答案为：． 23．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 【解析】向量， ， 与垂直， ， ，即， ， 故选：． ( 题型0 6 ) 向量的模 24．（2024秋•廊坊期末）已知和都是单位向量，若在上的投影向量为，则　　 A． B． C． D．3 【解析】根据题意可知，在上的投影向量为， 所以， 因为和都是单位向量，所以， 即． 故选：． 25．（2024秋•沧州期末）已知向量满足，且，则　　 A． B．2 C． D． 【解析】由题意，， 因为， 所以， 所以， ， 所以． 故选：． 26．（2024秋•邢台期末）已知单位向量和的夹角为，且，则　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】因为单位向量和的夹角为，且， 所以， 所以． 故选：． ( 题型0 7 ) 向量的夹角 27．（2023秋•定州市校级期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】设向量与的夹角为， 因为，所以， ， 因为， 所以． 因为，即与的方向相反， 所以与的夹角为． 故选：． 28．（2024春•承德期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，因为，且， 所以，即，解得， 所以，又，所以． 故选：． 29．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得，解得， 由，， 因此，而， 所以． 故选：． 30．（2023春•河北期末）已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ，且， ． 故选：． 31．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 【解析】因为与的夹角为锐角，所以且、不共线， 因为，，， 所以且，解得或且， 即实数的取值范围是，，，． 故答案为：，，，． 32．（2023春•河北期末）已知，，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C．0 D．1 【解析】， ， ， ． 故选：． ( 题型0 8 ) 投影向量 33．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 【解析】若在方向上的投影向量为， 则， 平面向量， 则， 故， 平面向量，， 则，解得． 故选：． 34．（2024春•邯郸期末）在中，，，平面内一点满足，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，，， 则， ，即为直角三角形， 又，故是的外心且是斜边的中点， 为正三角形， 向量在向量上的投影向量即为向量． 故选：． 35．（2024春•河北期末）已知，是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】，是夹角为的单位向量， 则在方向上的投影向量为：． 故选：． 36．（2023秋•石家庄期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 37．（2024春•高碑店市校级期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 　　． 【解析】由向量，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故答案为：． 38．（2024春•莲池区校级期末）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． 【解析】因为， 所以，， 则向量在方向上的投影向量为． 故答案为：． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 （多选）39．（2023秋•沧州期末）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是　　 A． B． C．在上的投影向量为 D． 【解析】如图，取的中点，连接，， ，，，平面，平面， 平面，结合平面，可得，故，项正确； 取的中点，连接，，则，，且， 结合、互相垂直，可知，即， 结合，可得是以为直角顶点的等腰直角三角形，，， ，故项正确； 由的分析，可知在上的投影向量为，故项不正确； 因为，所以项不正确． 故选：． 40．（2024秋•邢台期末）在中，为重心，，，则　　． 【解析】设的中点为，则， ， ，① ，，② ①②，可得， ， 故答案为：6． （多选）41．（2022春•石家庄期末）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，由于垂心为，则，于是，选项正确； 对于，由于，则，选项错误； 对于，结合垂径定理和向量投影可得，，， 于是，选项正确； 对于，依题意，，则，又为重心，则， 即，则，选项正确． 故选：． 42．（2016秋•张家口期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，为△的外心，为边上的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，为△的外心，为边上的中点，可得：， ， 可得：， ，， ，即； ， ， 又， ， ． 由余弦定理可得： 故选：． 43．（2024春•承德期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 　　． 【解析】取，的中点，，连接，，如图： 因为是的外心，所以，， 设中，，对应边分别为，，， 则 ， 同理可得， 因为， 所以， 根据余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， 因为函数在为减函数，且， 所以内角的最大值是． 故答案为：． 44．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． 【解析】（1）由题意，设中点为， 则， 解得； （2）由，， 可得 ． 1．（2024秋•唐县校级期末）在中，是边的中点，是线段的中点．设，记，则　　；若，的面积为，则当　　时，取得最小值． 【解析】由题意得：， 所以，，所以； 由三角形面积公式得：， 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故． 故答案为：，2． 2．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为， 所以为的外心，且为外接圆上一动点， 又，， 所以外接圆的半径． 如图， 作，垂足为，则． 所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6， 在处取最小值． 故选：． 3．（2023秋•石家庄期末）若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于，两点，则　　． 【解析】因为， 所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点， 可得，则． 故答案为：4． （多选）4．（2024春•河北期末）如图，在中，，，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为， 【解析】由题易知，，， 所以，， 则，，，，， ，且， 对于，因为为线段的中点，且为线段的中点，所以两式相加得：，故正确； 对于，由题意可知，，则，解得，所以，所以由可知：，故错误； 对于，设为线段的中点，则， 则，故正确； 对于， ， 又，所以，故正确． 故选：． 5．（2024春•邢台期末）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值． 【解析】（1），，且与夹角为， ，解得； （2）因为， 所以，又， 所以， ， 所以与的夹角为． （3）因为向量与平行， 所以， 因为向量与不共线， 所以，解得． 6．（2024春•张家口期末）在中，，，，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 【解析】（1）在中，， 则，， 由是边的中点，得， 由是边上靠近点的三等分点， 得， 因此 ； （2）由（1）知，，， 所以的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$