专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10三角形高线问题 题型11多三角形问题 题型12三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•保定期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则为　　 A． B． C． D．5 【解析】在中，且，所以，可得， 因为，，所以． 由正弦定理，得，即，可得． 故选：． 2．（2023春•辛集市期末）在中，已知，，，则　　． 【解析】在中，已知，，， 利用余弦定理：， 整理得，即， 解得：或4． 故． 故答案为：4． 3．（2023春•辛集市期末）在中，，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长度． 【解析】（1）在中，，，． 由余弦定理可得：， 由正弦定理：，可得：； （2）为的中点， 可得：， 又， 在中，由余弦定理可得：． 4．（2024春•河北期末）在△中，角，，的对应边分别为，，．若，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以由正弦定理，可得， 解得． 故选：． 5．（2024春•承德期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　 A．或 B．或 C． D． 【解析】，，， 由正弦定理可得， 即， 可得， 因为，， 所以或． 故选：． 6．（2023春•承德期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由正弦定理，得． 故选：． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 7．（2024春•邢台期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【解析】中，内角，，的对边分别为，，， 因为， 所以，该三角形的形状是直角三角形． 故选：． 8．（2024春•廊坊期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解析】因为，又， 即，由正弦定理可得， 即，所以△为直角三角形且为直角． 故选：． 9．（2024春•沧州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形是　　 A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由及正弦定理可得：， 化简可得：，即， 由正弦定理可得：，即， 所以，或． 即，或， 所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形． 故选：． （多选）10．（2022春•大名县校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 【解析】由得， 由正弦定理得， 故， 正确； 若，则或， 所以或，错误； 若，则，即为钝角，为钝角三角形，正确； 若，则， 所以， 所以， 则为直角三角形，正确． 故选：． ( 题型03 ) 边角互化的应用 11．（2016秋•张家口期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，为△的外心，为边上的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，为△的外心，为边上的中点，可得：， ， 可得：， ，， ，即； ， ， 又， ， ． 由余弦定理可得： 故选：． 12．（2016春•唐山校级期末）的三内角，，所对边长分别是，，，若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，由正弦定理，可得：，，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， ， ． 故选：． 13．（2022春•定州市期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，，则　　． 【解析】因为， 所以， 所以由余弦定理可得． 故答案为：． 14．（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 又， 所以，即， 可得， 所以． 故选：． ( 题型04 ) 判断三角形的个数 15．（2024春•张家口期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 【解析】，，若有两解， 则，即． 故选：． 16．（2023春•河北期末）在△中，，设边长为，若满足条件的△有且只有一个，则的取值范围是　　 ． 【解析】在△中，由正弦定理，， 得， 当时，△只有一个解，则，即，解得， 当时，△只有一个解，； 所以的取值范围是或． 故答案为：或． 17．（2021秋•行唐县期末）的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求． （2）____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上． 【解析】（1）由，可得，则； ， 在中，， 则， ， ， ， ． （2）选择条件①，在中，，可得， ，， ， 根据辅助角公式，可得， ， ，即， 故． 选择条件② 由，得， ，，因此， 整理得，即，则； 在中，， ． 故． 选择条件③ 由， 得， 即， 整理得， 由于，，则方程无解，故不存在这样的三角形． ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 18．（2024秋•保定期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，求△的周长． 【解析】（1）在△中，由正弦定理得， 又，， ，即， ，， ，． （2）在△中，由正弦定理， 得，， ，， 由余弦定理得，即， ，， ，△的周长为． 19．（2024春•唐县校级期末）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理可得， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 化简得，即， 又由，可得， 故， 所以； （2）由已知可得， 可得，化简得，即， 又由余弦定理可得，化简得， 联立解得，， 因为， 所以的周长为． 20．（2023春•唐山期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理得：， 即，即． 因为，所以．因为，所以； （2）已知，， 在中，由余弦定理得：①， 由为的中线，得， 两边平方得②， 联立①②得， 所以的周长为． 21．（2023秋•唐县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，，的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． （2）因为的面积为， 所以，得． 因为， 所以， 所以， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以的周长． 22．（2023秋•河北期末）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）设是边上的高，且，，求的周长． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，， 即． 因为，， 所以， 在中，可得， 解得． （2）因为，，因为， 所以． 又由，可得， 所以． 由余弦定理，可得， 即， 即， 所以． 所以的周长为． 23．（2022秋•保定期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得：， 即， 在三角形中，， 所以可得，而， 可得； （2）由（1）及余弦定理可得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 解得，在三角形在，即，， 所以三角形的周长，． 24．（2022春•邯郸期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积． （1）求； （2）求周长的取值范围． 【解析】（1）， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以，而 可得，而， 可得； （2）由（1）和余弦定理可得， 所以，可得，当且仅当时取等号， 且， 所以三角形的周长的范围为，． 25．（2021春•张家口期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ． （1）求角的大小； （2）若，求周长的范围． 【解析】（1）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ． 利用正弦定理：， 整理得：， 所以：， 由于，所以， 由于， 所以． （2）由正弦定理：， 故，， 故， 由于， 所以， 故， 所以三角形的周长为，． ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 26．（2024秋•保定期末）△内角，，所对的边分别为，，，若，，，则△的面积为 　　． 【解析】由，结合正弦定理得， 因为△中，， 所以，可得，结合，解得． 根据余弦定理，可得，解得， 所以△的面积． 故答案为：． 27．（2024秋•邯郸期末）已知在△中，，，的对边分别为，，，满足． （1）若，求△的面积； （2）已知向量，且，求的值． 【解析】（1），， ， 由正弦定理得， ， 即， ，， ， 又，， ，， △的面积． （2），且， ，即， 又，， ，， 由（1）知， ， ． 28．（2024秋•河北期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求△的面积； （2）设在边上，平分，若，求． 【解析】（1）由，结合余弦定理得， 而，所以， 由，结合正弦定理得，可得， 所以△的面积； （2）设，则， 在△中，由正弦定理得，则， 即，整理得， 所以，可得． 29．（2024秋•邢台期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若为上一点，，，求△的面积． 【解析】（1）根据题意，可得， 所以，结合正弦定理得． 由余弦定理，可得，结合，可得． （2）因为，所以． 由，即，可得． 由（1）可知，结合，解得． 所以△的面积． 30．（2024春•张家口期末）在中，，是上一点，是的平分线，且，，则的面积为 　　． 【解析】如图，过点作，， 则四边形为正方形，设其边长为， 则，故， 因为， 所以， 所以，， 所以，， 故． 故答案为：3． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 31．（2024春•邢台期末）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离　　 A． B． C． D． 【解析】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：． 32．（2024春•唐县校级期末）如图，已知两座山的海拔高度米，米，在同一水平面上选一点，测得点的仰角为，点的仰角为，以及，则，间的距离为 　249　米．（结果保留整数，参考数据 【解析】因为米，，米 在中，米， 在中，米， 在中，由余弦定理得： 米， 即，的距离为249米． 故答案为：249． 33．（2024春•深州市校级期末）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 　　米．（参考数据：， 【解析】在中，，所以米， 在中，米， 在中， ，则米． 故答案为：． 34．（2024春•定州市期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）．某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米．在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为　　 A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【解析】设苏州双塔的高度为米，依题意可得米，米， 因为， 所以由余弦定理得， 解得米． 故选：． 35．（2024春•河北期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【解析】（1）由题意知，，海里，海里， 在中，由余弦定理得，， 所以海里． （2）在中，由余弦定理得，， 所以， 所以， 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 36．（2023秋•唐山期末）如图，已知直线，，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为1，2，．设． （1）用表示边，的长度； （2）若为等腰三角形，求的面积； （3）设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为直线，，，到，的距离分别为1，2， 即，， 又因为， 所以， 所以，； （2）由（1）可得，则， 可得，， 所以， 即的面积为； （3）由（1）可得， 当且仅当，时取等号， 则， 此时，所以不存在满足条件． ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 37．（2024春•唐山期末）在中，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求中线的长． 【解析】（1）由题意可知，，，， 则，化简整理可得，，解得， 故的面积为； （2）为中点， 则， 故，解得． 38．（2023秋•唐山期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）设边的中线，且，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， 可得， 因为，可得， 即，， 可得或， 可得； （2）在中，由余弦定理可得，而，， 整理可得，① 在中，为的中点，，由余弦定理可得， 整理可得，即，② 由①②可得，即，可得， 所以． 39．（2023秋•张家口期末）在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求的面积； （2）已知为边的中线，且，求的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 在三角形中，，， 可得，， 所以； 又因为，，由余弦定理可得， 即，即， 整理可得：，（舍， 所以； （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 设，可知， 将代入整理可得：， △，解得，解得， 即的最大值为． 40．（2023春•石家庄期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求． 【解析】（1），，且， ，即， 由正弦定理得：， ，，又为锐角，则； （2）在中，， ， ，，整理得， 解得（舍去）或． 此时，，，为锐角三角形，符合题意， 故． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 41．（2024秋•昌黎县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若，记的角平分线与交于点，求． 【解析】（1），由正弦定理可得，又， ，， 又，． （2）若，由余弦定理可得， 又，则，解得或（舍去），， ， 即， 即， 又， ． 42．（2024春•涉县校级期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，，，角的平分线交于点，且，则边上的高　　． 【解析】因为， 则， 可得， 解得，则， 且，则， 由余弦定理可得：，即， 由的面积可得，解得． 故答案为：． 43．（2024春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值． 【解析】（1）由条件知， ， 此即，故由正弦定理得， 再由余弦定理知， 且，所以． （2）由，， 结合正弦定理得， 而，故，， 由于，故， 所以，故， 而，故， 所以． 故． 44．（2023秋•保定期末）的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，，，求． 【解析】（1）由及正弦定理， 可得， 因为， 所以，又，， 所以，即， 又，所以； （2）法一：因为为的角平分线，， 设点到和的距离为， 则，即， 所以，又因为， 即， 则有，解得或（舍去）， 所以； 法二：因为为的角平分线，， 由内角平分线性质定理，可得，即， 又因为，由余弦定理， 可得， 即，故，即， 又因为，所以， 又，在中，有， 解得． 45．（2023春•邯郸期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，角的平分线与交于点，，求的面积． 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以． （2）设，因为． 又，所以，． 在中，由余弦定理得， 在 中，由余弦定理得， 将代入，解得，， 所以， 因为，所以，所以． ( 题型 10 ) 三角形高线问题 46．（2024秋•唐山期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角； （2）若△的面积为，求边上的高． 【解析】（1）由，结合正弦定理，可得， 又由，代入，得，解得， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由△的面积为，可得， 解得，又因为，代入解得，， 代入，可得， 设边上的高为，则，解得， 故边上的高为． 47．（2023秋•辛集市期末）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的值； （2）若面积为，求边上的高的最大值． 【解析】（1）， ，可得，可得， ， ， ； （2）由面积为，得：， 而， ， 边上的高为， ，则， ， ，当且仅当时，取等号，即的最小值为2，此时最大为． 48．（2023春•海港区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，， ， 则， 则， 故选：． ( 题型 11 ) 多三角形问题 49．（2023秋•石家庄期末）在中，为边上一点． （1）若，求的面积； （2）若，求． 【解析】（1）由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积为． （2）因为， 所以， 所以． 50．（2024春•石家庄期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求的面积； （Ⅲ）如图，过点作的平行线，且，在四边形中，，，动点，分别在线段，上运动，且，求的最小值． 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 所以， 又，，所以， 又，所以； （Ⅱ）因为，且，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍， 所以的面积； （Ⅲ）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，由，可得， 因为，所以设， 则，，，， 由，得， 由，得， 所以 ， 当时，取得最小值， 所以的最小值为． 51．（2023春•定州市期末）在中，，为边上一点，，且，则面积的最小值是 　　． 【解析】 在中，，且，所以， 因为， 在中，由正弦定理得，， 解得 所以， 所以． 因为，即， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为的面积， 所以． 故答案为：． 52．（2023春•张家口期末）如图，在中，为钝角，在上，且满足，，． （1）若，求； （2）若是的中点，，求的长度． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得， ， 为钝角，， ； （2）在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去）， 为中点，则， ， ，即的长度为． ( 题型 12 ) 三角形的最值问题 53．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理可得：， 由正弦定理得：， 又因为， 则有， 因为，所以，则， 因为，所以． 由余弦定理得：， 因为，所以，解得， 所以△的面积． （2）因为为钝角，所以，解得， 由正弦定理，得，且， 代入化简得：． 因为，所以，，即， 所以的取值范围是． 54．（2024春•张家口期末）在锐角△中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 　　． 【解析】根据△是锐角三角形，可得、、均为正数， 由余弦定理得，结合，整理得， 由于恒成立，所以原不等式可化简为， 不等式组中的各项都除以，整理得，解得， 结合，可得，即的取值范围是，． 由正弦定理得，可得的取值范围是，． 故答案为：，． 55．（2023秋•邢台期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以； （2）因为，所以， 因为为锐角三角形，所以得， 因为， 因为，，所以，， 所以． 即的取值范围为． （多选）56．（2022春•邯郸期末）设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【解析】因为， 所以， 则， 即， 则， 因为、、，所以，， 所以， 所以，即，故正确； 在锐角中，， 解得， 即的取值范围为，，故错误； 则，， 所以，，故错误； ，，故正确， 故选：． 1．（2023春•元氏县校级期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答． 已知：的内角，，的对边分别为，，，且______． （1）求角； （2）求的取值范围． 【解析】（1）选①：方法一：利用正弦定理，可得， ， 得， ，， ，； 选②：由正弦定理可得， ， ， ，， ，， 选③：由正弦定理，可得， ， ， ，， ，； （2）由（1）知， ， ， ， ， ， 的取值范围为． （多选）2．（2024秋•唐县校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【解析】对于，， ，根据同角三角函数基本关系式可知，故正确； 对于，由正弦定理可得：， ， 此时无解，故错误； 对于，， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故正确； 对于，， ，，，或，故正确． 故选：． （多选）3．（2025春•武强县校级期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，则　　 A． B．若，则 C．若，则△为锐角三角形 D．若，则△的形状能唯一确定 【解析】选项，因为，， 所以，故正确； 选项，由及正弦定理， 可得， 则，故正确； 选项，由及余弦定理， 可得，即为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角， 则△不一定为锐角三角形，故错误； 选项，由正弦定理得，即， 又，所以，所以或，故错误． 故选：． （多选）4．（2024秋•承德期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，为的中点，，，，则　　 A． B． C．△的面积为 D． 【解析】因为为的中点，所以，即，所以，故正确； 因为，，，所以由余弦定理得：，所以，故正确； 因为，所以，，故错误； 因为，所以， 所以，故正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10三角形高线问题 题型11多三角形问题 题型12三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•保定期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则为　　 A． B． C． D．5 2．（2023春•辛集市期末）在中，已知，，，则　　． 3．（2023春•辛集市期末）在中，，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长度． 4．（2024春•河北期末）在△中，角，，的对应边分别为，，．若，则　　 A． B． C． D． 5．（2024春•承德期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　 A．或 B．或 C． D． 6．（2023春•承德期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 7．（2024春•邢台期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 8．（2024春•廊坊期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 9．（2024春•沧州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形是　　 A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 （多选）10．（2022春•大名县校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 ( 题型03 ) 边角互化的应用 11．（2016秋•张家口期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，为△的外心，为边上的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 12．（2016春•唐山校级期末）的三内角，，所对边长分别是，，，若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 13．（2022春•定州市期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，，则　　． 14．（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 判断三角形的个数 15．（2024春•张家口期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 16．（2023春•河北期末）在△中，，设边长为，若满足条件的△有且只有一个，则的取值范围是　　 ． 17．（2021秋•行唐县期末）的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求． （2）____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上． ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 18．（2024秋•保定期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，求△的周长． 19．（2024春•唐县校级期末）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 20．（2023春•唐山期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的周长． 21．（2023秋•唐县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，，的面积为，求的周长． 22．（2023秋•河北期末）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）设是边上的高，且，，求的周长． 23．（2022秋•保定期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 24．（2022春•邯郸期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积． （1）求； （2）求周长的取值范围． 25．（2021春•张家口期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ． （1）求角的大小； （2）若，求周长的范围． ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 26．（2024秋•保定期末）△内角，，所对的边分别为，，，若，，，则△的面积为 　　． 27．（2024秋•邯郸期末）已知在△中，，，的对边分别为，，，满足． （1）若，求△的面积； （2）已知向量，且，求的值． 28．（2024秋•河北期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求△的面积； （2）设在边上，平分，若，求． 29．（2024秋•邢台期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若为上一点，，，求△的面积． 30．（2024春•张家口期末）在中，，是上一点，是的平分线，且，，则的面积为 　　． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 31．（2024春•邢台期末）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离　　 A． B． C． D． 32．（2024春•唐县校级期末）如图，已知两座山的海拔高度米，米，在同一水平面上选一点，测得点的仰角为，点的仰角为，以及，则，间的距离为 　　米．（结果保留整数，参考数据 33．（2024春•深州市校级期末）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 　　米．（参考数据：， 34．（2024春•定州市期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）．某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米．在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为　　 A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 35．（2024春•河北期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 36．（2023秋•唐山期末）如图，已知直线，，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为1，2，．设． （1）用表示边，的长度； （2）若为等腰三角形，求的面积； （3）设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 37．（2024春•唐山期末）在中，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求中线的长． 38．（2023秋•唐山期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）设边的中线，且，求的面积． 39．（2023秋•张家口期末）在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求的面积； （2）已知为边的中线，且，求的最大值． 40．（2023春•石家庄期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 41．（2024秋•昌黎县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若，记的角平分线与交于点，求． 42．（2024春•涉县校级期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，，，角的平分线交于点，且，则边上的高　　． 43．（2024春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值． 44．（2023秋•保定期末）的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，，，求． 45．（2023春•邯郸期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，角的平分线与交于点，，求的面积． ( 题型 10 ) 三角形高线问题 46．（2024秋•唐山期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角； （2）若△的面积为，求边上的高． 47．（2023秋•辛集市期末）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的值； （2）若面积为，求边上的高的最大值． 48．（2023春•海港区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则　　 A． B． C． D． ( 题型 11 ) 多三角形问题 49．（2023秋•石家庄期末）在中，为边上一点． （1）若，求的面积； （2）若，求． 50．（2024春•石家庄期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求的面积； （Ⅲ）如图，过点作的平行线，且，在四边形中，，，动点，分别在线段，上运动，且，求的最小值． 51．（2023春•定州市期末）在中，，为边上一点，，且，则面积的最小值是 　　． 52．（2023春•张家口期末）如图，在中，为钝角，在上，且满足，，． （1）若，求； （2）若是的中点，，求的长度． ( 题型 12 ) 三角形的最值问题 53．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 54．（2024春•张家口期末）在锐角△中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 　　． 55．（2023秋•邢台期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． （多选）56．（2022春•邯郸期末）设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 1．（2023春•元氏县校级期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答． 已知：的内角，，的对边分别为，，，且______． （1）求角； （2）求的取值范围． （多选）2．（2024秋•唐县校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 （多选）3．（2025春•武强县校级期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，则　　 A． B．若，则 C．若，则△为锐角三角形 D．若，则△的形状能唯一确定 （多选）4．（2024秋•承德期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，为的中点，，，，则　　 A． B． C．△的面积为 D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$