精品解析：湖南省怀化市九县十校2024-2025学年八年级下学期“新课标 新中考“联合调研考试数学试题

2025年上学期九县十校“新课标·新中考”联合调研考试 八年级数学 （满分：120分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一声发令枪响，健儿们像离弦箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的讨论：声音传播的速度和什么有关系呢?好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度 声速 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时， 声音可以传播 D. 当温度每升高， 声速增加 3. 镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 6. 如图，点A，B，C，D顺次在直线m上，，，以为边向上作等边，以为底边向下作等腰，若的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 7. 阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（  ） A. B. C. D. 8. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当直线经过第一、二、四象限时，k的取值范围是______． 12. 等腰三角形的周长是20，底边长与腰长的函数关系式是_____（同时写出的取值范围） 13. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是________． 14. 在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与 的大小关系为：_______（填“”，“”或“”）． 15. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 16. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_______． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是___________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，点A、B、C、D一条直线上，且，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 20. 年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． （1）试判断与位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 21. 新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． （1）若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． （2）已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点P的对应点为． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形； （3）求三角形的面积． 23. 我国汉代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．八年级小明同学在图①的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图②．已知在中，，，，． （1）请利用图②，验证勾股定理； （2）若图②中大正方形的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求的面积； （3）若，，求正方形的周长． 24. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 25. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； （3）如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期九县十校“新课标·新中考”联合调研考试 八年级数学 （满分：120分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系内点的坐标， 根据点可知，再结合旋转的性质得，然后根据点C在第一象限得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， 由旋转的性质得， ∴点． 故选：D. 2. 第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一声发令枪响，健儿们像离弦的箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的讨论：声音传播的速度和什么有关系呢?好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度 声速 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时， 声音可以传播 D. 当温度每升高， 声速增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，表格表示自变量与因变量．根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快， ∴选项B说法正确，不符合题意； 由列表可知，当空气温度为时，声速为， 声音可以传播 ∴选项C说法不正确，符合题意； ∵，，，， ， ∴当温度每升高，声速增加， ∴选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 3. 镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：过点作，垂足为点， 是的中点，， ， ，，射线是的平分线， ， 故选：． 5. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数式中含有分式和二次根式，分式要有意义分母不为零，二次根式要有意义被开方数不为负数，由此问题可求解． 【详解】解：， 解得且． 故选：B． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，解题的关键是分式的分母不等于0，二次根式的被开方数非负． 6. 如图，点A，B，C，D顺次在直线m上，，，以为边向上作等边，以为底边向下作等腰，若的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质及三角形的面积计算，勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．过点F作于点H．过点E作于G，分别求出和，然后设，表示出与的面积差，因为的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，所以x的系数为0，则可得到a与b的关系式即可． 【详解】解：过点F作于点H，过点E作于G ，如图所示： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则，， ∴ ， ∵若的长度变化时，与的面积差S始终保持不变， ∴， 解得； 故选：D． 7. 阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先将整理提取参数，使得经过定点，即与无关，则，即可求解． 【详解】解：， ∵一次函数的图象是“点旋转直线”， ∴， ∴， ∴， ∴经过定点， 故选：D． 8. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 9. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到求得根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】连接, ∵四边形是矩形, ∴,, ∵ , ， ， ， ， 故选: C. 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，掌握等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，找出点坐标的规律是关键． 根据题意得到（正整数），由此即可求解． 【详解】解：点，…都在轴上，点，…在直线上，， ∴，点的横坐标为， ∴的纵坐标为，即，即 ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，，则，即， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，则，即， ∴， 同理，，， ∴（正整数）， ∴点的坐标是， 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当直线经过第一、二、四象限时，k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数，，时图象经过第一、二、四象限，可得，，即可求解． 【详解】解：∵经过第一、二、四象限， ． 解得． 故答案是：． 12. 等腰三角形的周长是20，底边长与腰长的函数关系式是_____（同时写出的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；三角形三边关系；等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底边长周长腰长，可以得出关系式，三角形三边关系可得自变量的取值． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为20， ， ， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中根据点的坐标求点的位置，和根据点的位置求点的坐标，确定原点的位置是解决本题的关键． 先根据已知点的坐标确定原点的位置，再得出教学楼的位置． 【详解】解：∵综合楼和食堂的坐标分别是和， ∴确定原点为点的位置． ∴教学楼的坐标是， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与 的大小关系为：_______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故答案为：． 15. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 【答案】4.2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面高度为4.2尺， 故答案为：4.2． 16. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， ∵D、E分别是，的中点， ∴， ∴， 故答案为3． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握以上知识是关键． 如图所示，过点作轴于点，结合题意得到，，可证，得到，，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过点E作EM⊥DC于点M，EH⊥BC于点H，利用正方形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，推理论证即可． 【详解】如图，过点E作EM⊥DC于点M，EH⊥BC于点H， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠BCD=90°，∠ECM=∠ECH=∠CEM=45°， ∴四边形EHCM是矩形，MC=ME，EM∥CF， ∴四边形EHCM是正方形，∠EFH=∠FEM， ∴EM=EH， ∵ 四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90°， ∴∠EDM=90°-∠DEM，∠FEM=90°-∠DEM， ∴∠EDM=∠FEM， ∴∠EDM=∠EFH， ∴△EDM≌△EFH， ∴ED=EF， 故结论①正确； ∴四边形DEFG是正方形， ∴DE=DG， ∵∠CDG=90°-∠EDM，∠ADE=90°-∠EDM， ∴∠CDG=∠ADE， ∴△ADE≌△CDG， 故结论②正确； ∴∠DCG=∠DAE=45°， ∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°， ∴AC⊥CG； 故结论③正确； 若CE=CF，则 ∴ ∴ ∴ 与题干不符， ∴无法判定CE=CF，故结论④错误； 正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ， ， 【小问2详解】 证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 20. 年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】（1），见解析； （2）小亮跑的路线更短． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解； 【小问1详解】 解：． 理由如下： 由题意可知，，点在点的正东方处， 即． ， 是直角三角形，． ； 【小问2详解】 解：由题意可知，． 在中，由勾股定理，得 ． ． 而． ， ． 小亮跑的路线更短． 21. 新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． （1）若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． （2）已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义是解题的关键； （1）由新定义及正比例函数知，，即可求得b的值； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式，即可求得“关联数”． 【小问1详解】 解：∵“关联数”的一次函数为正比例函数， ∴， 解得； 小问2详解】 解：将，代入中， 得，， 解得； 即图像过A、B两点的一次函数的关联数为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知是三角形边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点P的对应点为． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形； （3）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）7 【解析】 【分析】本题考查利用平移写出点坐标，平面直角坐标系画出图形，网格求三角形面积． （1）根据题意可知三角形向左边平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得到三角形，继而可分别写出D，E，F三点的坐标； （2）依次连接D，E，F三点即可得到三角形； （3）先补全成一个长方形，再减去周边三角形面积即可． 【小问1详解】 解：∵是三角形的边上的一点，，点P的对应点为， ∴三角形向左边平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得到三角形， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：，依次连接如下图： 【小问3详解】 解：． 23. 我国汉代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．八年级小明同学在图①的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图②．已知在中，，，，． （1）请利用图②，验证勾股定理； （2）若图②中大正方形的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求的面积； （3）若，，求正方形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，利用面积之间的关系建立等式求解； （1）根据大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积，即可证明； （2）由三角形的面积等于（大正方形的面积小正方形的面积）即可得出结果； （3）利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为：，中间小正方形面积为：； 四个直角三角形面积和为：； 由图形关系可知：大正方形面积小正方形面积四直角三角形面积， 即有：； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：，， ， ． 24. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形是菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 25. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 【答案】（1）生产商每天生产类手办600个，类手办400个 （2）当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元 （3）110元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式，函数解析式是解题的关键． （1）设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，根据时间相同列出方程求解即可； （2）设购进个种手办，则购进个种手办，根据不超过17000元的资金列出不等式求解，设这200个手办全部售完获得的总利润为元，列出一次函数并分析一次函数自变量的取值即可得出结果； （3）根据表格信息列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，并符合题意， 所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个； 【小问2详解】 解：设购进个种手办，则购进个种手办， 根据题意得：， 解得：． 设这200个手办全部售完获得的总利润为元， 则，即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时（个）． 所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元； 【小问3详解】 解：由表中数据得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴利润至少为10元 ∴单价至少为元． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； （3）如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，求出点、点的坐标，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）根据解析式求得点，点，点的坐标得，，，可得，设点的坐标为，且，根据，且，列出方程求出点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称可知，则，当点在上时取等号，即的最小值为，结合勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，根据对角线互相平分，结合中点坐标公式，列方程即可求解． 【小问1详解】 解：对于直线，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 对于直线，当时，，当时，， 即点的坐标为，即点的坐标为， ∴，，则， 对于直线，当时，，即点的坐标为，则， 设点的坐标为，且， ∵，且 ∴，解得：， ∴点的坐标为， 作点关于轴的对称点，连接，， 由轴对称可知， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为； 【小问3详解】 设点的坐标为，点的坐标为， 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，坐标与图形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$