专题01 幂的运算（考题猜想，易错压轴必刷72题18种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题01 幂的运算（易错压轴必刷42题14种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂乘法 · 题型二 同底数幂乘法的逆用 · 题型三 科学记数法 · 题型四 幂的乘方运算 · 题型五 幂的乘法运算逆用 · 题型六 积的乘方运算 · 题型七 积的乘方运算逆用 · 题型八 同底数幂的除法运算 · 题型九 同底数幂除法的逆用 · 题型十 幂的混合运算 · 题型十一 零指数幂 · 题型十二 负整数指数幂 · 题型十三 幂的运算等于1 · 题型十四 幂的运算中字母指数的关系（压轴） · 题型十五 幂的有规律计算问题（压轴） · 题型十六 幂的混合运算（压轴） · 题型十七 幂的新定义运算（压轴） · 题型十八 幂的劳格数运算（压轴） 题型一 同底数幂乘法 1．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法进行排除选项 【详解】解：； 故选：C ． 2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 3．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．如果 那么我们规定．例如：因为所以 (1)（理解）根据上述规定， 填空∶ ， ； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若，则 【答案】(1)3， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：3， （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型二 同底数幂乘法的逆用 5．将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用，根据同底数幂的乘法的运算法则即可求解，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵将（，n为正整数）的指数增加， ∴， 故选：． 6．已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法法则．由，得，两边都乘以6得，进而可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 7．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运用．根据可得，逆运用同底数幂的乘法公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．已知，，试用含，的式子表示． 【答案】 【分析】由公式：，进行逆用即可求解． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，理解公式是解题的关键． 题型三 科学记数法 9．计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：， 故选：C． 10．2022年中国空间站完成在轨建造，中国空间站绕地球飞行的速度约为，则中国空间站绕地球飞行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程=速度×时间计算，把结果写成科学记数法的形式． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，以及科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．“白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．先用乘法求出造成污染的最大面积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：万， ∴． 故答案为：7． 12．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，1兆用科学记数法表示为，则n等于 ， 【答案】16 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．根据题干中的计算方法，利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：1兆万万亿， 故答案为：． 题型四 幂的乘方运算 13．某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算的应用，理解题意，掌握幂的乘方法则是关键；由题意知，经5个小时，1个细菌分裂成5个个细菌，即可得解． 【详解】解：由题意得：（个）； 故选：C． 14．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂的乘法，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 因为， 所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则计算即可； （3）先确定符号，再计算幂的乘方即可； （4）先确定符号，再计算幂的乘方即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 16．若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将化为，再化为，然后根据同底数幂的乘法得到，即可求解； （2）将化为，再化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 题型五 幂的乘法运算逆用 17．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 18．已知，则的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 逆用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为4． 19．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 20．某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详解】解：因为，， 而， 所以． 题型六 积的乘方运算 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 22．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，首先根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则可得：原式，再利用合并同类项的法则进行计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：D． 23．常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方，④同底数幂的除法．在“的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 （按运算顺序填序号）． 【答案】③②① 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是掌握以上知识点． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则求解即可． 【详解】在“的运算过程中， 运用了上述幂的运算中的③积的乘方，②幂的乘方，①同底数幂的乘法． 故答案为：③②①． 24．判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】能被9整除，理由见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算和同底数幂乘法的逆运算，把先变形为，进一步变形得到，则可最后变形为，据此可得结论． 【详解】解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 题型七 积的乘方运算逆用 25．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方及同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 利用积的乘方的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 26．已知，则 ． 【答案】 【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得、b的值，然后将转化为的形式可求得．本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出、b的值． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：． 27．（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将问题转化为比较之间的大小即可； （2）将利用积的逆运算整理得到即可比较大小． 【详解】解：（1）， 因为， 所以， （2） 所以． 28．（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 【答案】． 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方．逆用积的乘方得到，再逆用幂的乘方得到，代入数据求解即可． 【详解】解：． 将代入，得． 题型八 同底数幂的除法运算 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘除法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算同底数幂的除法和零指数幂即可； （2）分别计算同底数幂的乘除法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： (1)； (2)（n是正整数，）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂除法和积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 31．若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把32写成，再根据同底数幂相乘法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可； （2）先把各个底数化成2，再根据幂的乘方和同底数幂乘除法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方和同底数幂乘除法则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 32． 已知， （m， n是整数）， 求： (1)的值： (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，熟练掌握和灵活运用相关法则是解题的关键； （1）把化为，再代入计算即可； （2）把化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：； 题型九 同底数幂除法的逆用 33．已知，， (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方解答即可； （2）根据同底数幂的除法法则解答即可； （3），结合已知可得，再利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， 即， ∴． 34．一般地，数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．如（是正整数）的逆向运用表现为（是正整数）． (1)已知（是正整数），则__________；__________； (2)用乘方的意义说明（是正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)8， (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查幂的运算的逆用，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的乘法和除法进行计算即可； （2）根据幂的定义进行证明即可； （3）逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）． 35．当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)；；5；3； (2)见解析 【分析】本题考查幂的运算及逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）小明的做法利用幂的乘法的逆运算即可求解，小丽的做法利用同底数幂的除法的逆用求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【详解】（1）小明做如下尝试： ∵，， ∴， 小丽做如下尝试： ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：；；5；3；； （2）证明：小明： 两式的左边与左边相乘，右边与右边相乘，得 ∴ ∴． 小丽： ∴， ∴， ∴， ∴． 36．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算： (1)若，，，求： ①求的值； ②求的值； (2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②10； (2)，见解析． 【分析】本题考查幂的运算法则的逆运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和积的乘方法则并能灵活逆用． （1）①利用同底数幂的除法法则逆运算求解；②利用积的乘方法则逆运算求解； （2）利用积的乘方法则逆运算探索数量关系． 【详解】（1）①解：； ②解：； （2）解：关系： 因为，所以 题型十 幂的混合运算 37．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键． 先计算积的乘方乘方，然后计算同底数幂的乘法，最后算加法． 【详解】解： ． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． 题型十一 零指数幂 41．计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等．由此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 42．若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 43．若，则x的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 44．若有理数m、n满足，则的值为 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则． 故答案为：． 题型十二 负整数指数幂 45．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方以及负整数指数幂，根据题意得出，然后根据负整指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 46．已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 47．若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了乘方和负整数指数幂的意义，先根据，求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：1． 48．已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂除法逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型十三 幂的运算等于1 49．已知，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时，解得： 当时，解得：， 当且为偶数时，解得：， ∴的值为或或． 故答案为：或或． 50．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，根据任何非零底数的零次幂的结果为1，求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 51．已知a，b是有理数，且，求a，b的值． 【答案】或为任意有理数，或为偶数 【分析】本题主要考查了零指数幂运算法则，乘方运算，根据（），，，得出答案即可． 【详解】解：∵（），，， ∴当时，； 当为任意有理数时，； 当为偶数时，． 52．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了乘方的性质、0指数的性质，解题关键是根据底数和指数进行分类讨论，注意：0指数底数不为0．分底数为或，指数为几种情况，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：当，解得：， 此时， 当，解得：， 此时，不符合题意舍去， 当，解得：，此时， 综上所述：的值为：或． 故答案为：或． 题型十四 幂的运算中字母指数的关系（压轴） 53．已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 54．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【分析】本题考查幂的运算： （1）逆用同底数幂的乘法，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 55．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 56．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、由B可得，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 题型十五 幂的有规律计算问题（压轴） 57．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查积的乘方运算规律的应用，解题的关键是观察所给示例，总结出这一规律并灵活运用。 （1）利用总结的规律计算，并归纳的结果。 （2）通过对原式变形，使其符合积的乘方规律进行简便计算。 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 58．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 59．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 60．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 题型十六 幂的混合运算（压轴） 61．计算： ． 【答案】 【分析】根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键. 62．已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 63．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 64．计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的除法运算，实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握相关的幂的运算法则， 根据有理数指数幂的运算法则进行计算或化简即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型十七 幂的新定义运算（压轴） 65．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【答案】(1)96； (2)22； (3)3 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 66．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 67．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 68．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 题型十八 幂的劳格数运算（压轴） 69．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 70．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 71．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 72．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． $$ 专题01 幂的运算（易错压轴必刷42题14种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂乘法 · 题型二 同底数幂乘法的逆用 · 题型三 科学记数法 · 题型四 幂的乘方运算 · 题型五 幂的乘法运算逆用 · 题型六 积的乘方运算 · 题型七 积的乘方运算逆用 · 题型八 同底数幂的除法运算 · 题型九 同底数幂除法的逆用 · 题型十 幂的混合运算 · 题型十一 零指数幂 · 题型十二 负整数指数幂 · 题型十三 幂的运算等于1 · 题型十四 幂的运算中字母指数的关系（压轴） · 题型十五 幂的有规律计算问题（压轴） · 题型十六 幂的混合运算（压轴） · 题型十七 幂的新定义运算（压轴） · 题型十八 幂的劳格数运算（压轴） 题型一 同底数幂乘法 1．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为 ． 4．如果 那么我们规定．例如：因为所以 (1)（理解）根据上述规定， 填空∶ ， ； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若，则 题型二 同底数幂乘法的逆用 5．将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 7．若，则 ． 8．已知，，试用含，的式子表示． 题型三 科学记数法 9．计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 10．2022年中国空间站完成在轨建造，中国空间站绕地球飞行的速度约为，则中国空间站绕地球飞行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 11．“白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为 ． 12．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，1兆用科学记数法表示为，则n等于 ， 题型四 幂的乘方运算 13．某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 14．已知，则的值是 ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 题型五 幂的乘法运算逆用 17．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的值为 . 19．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 20．某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 题型六 积的乘方运算 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 22．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 23．常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方，④同底数幂的除法．在“的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 （按运算顺序填序号）． 24．判断能否被9整除，并说明理由． 题型七 积的乘方运算逆用 25．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 26．已知，则 ． 27．（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 28．（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 题型八 同底数幂的除法运算 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)（n是正整数，）； (3)； (4)． 31．若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 32． 已知， （m， n是整数）， 求： (1)的值： (2)的值． 题型九 同底数幂除法的逆用 33．已知，， (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______． 34．一般地，数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．如（是正整数）的逆向运用表现为（是正整数）． (1)已知（是正整数），则__________；__________； (2)用乘方的意义说明（是正整数）； (3)计算：． 35．当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 36．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算： (1)若，，，求： ①求的值； ②求的值； (2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由． 题型十 幂的混合运算 37．计算：． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．计算：． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 题型十一 零指数幂 41．计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 42．若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．若，则x的值为 ． 44．若有理数m、n满足，则的值为 题型十二 负整数指数幂 45．若，则 ． 46．已知，则 ． 47．若，，则 ． 48．已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 题型十三 幂的运算等于1 49．已知，则 ． 50．若，则 ． 51．已知a，b是有理数，且，求a，b的值． 52．若，则 ． 题型十四 幂的运算中字母指数的关系（压轴） 53．已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 54．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 55．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 56．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 题型十五 幂的有规律计算问题（压轴） 57．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 58．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 59．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 60．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 题型十六 幂的混合运算（压轴） 61．计算： ． 62．已知，，则 ． 63．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 64．计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十七 幂的新定义运算（压轴） 65．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 66．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 67．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 68．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 题型十八 幂的劳格数运算（压轴） 69．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 70．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 71．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 72．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$