清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读+提升训练） 清单01 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 清单02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单04 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单05 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 清单06 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 清单07 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 计算单项式乘单项式】（） 1．等于（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．计算： ． 4．若与的积是，则 ． 5．计算： (1)； (2)． 【考点题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（） 6．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知单项式与的积为，则 ． 9．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 10．若 ，则求的值． 【考点题型三 计算单项式乘多项式及求值】（） 11．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ． 14．已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 15．计算： (1)； (2)． 【考点题型四 单项式乘多项式的应用】（） 16．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 17．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 18．若长方形一边长为a，另一边长为，则该长方形的面积可表示为 ． 19．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 20．一天，小明想计算一个型的花坛的面积，在动手测量前，小明依花坛形状画了如图示意图，并用字母表示了将要测量的边长．小明在列式进行计算时，发现还要再测量一条边的长度，你认为他还应再测量出哪条边的长度？并请你在图中用字母标出来，然后再求出花坛的面积． 【考点题型五 计算多项式乘多项式】（） 21．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 22．已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 23．已知，则 ． 24．已知，则的值是 ． 25．计算： (1) (2) 【考点题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（） 26．若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 27．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 28．若，则 ． 29．若，则 ． 30．若，则 ． 【考点题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（） 31．若的结果中不含的一次项，则 ． 32．如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为 ． 33．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 34．若的结果中不含和项，求的值： 35．若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，求a与b的数量关系． 【考点题型八 多项式乘多项式的化简求值】（） 36．先化简，再求值，其中． 37．先化简，再求值：，其中． 38．先化简，再求值：，其中． 39．先化简，再求值：，其中，． 40．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【考点题型九 多项式乘多项式与图形面积】（） 41．如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 42．如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张．已知操场长宽分别为和．则需要用到C地垫的张数为 ． 43．某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当，，时，求两个游泳池的总面积． 44．如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 45．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【考点题型十 多项式乘法中的规律性问题】（） 46．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 47．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 48．如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律． … 请你猜想的展开式从左往右第三项的系数是 ． 49．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 50．填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 【考点题型十一 整式乘法混合运算】（） 51．计算 (1) (2) 52．已知：，求的值． 53．计算： (1) (2) 54．已知，求代数式的值． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十二 运用平方差公式进行运算】（） 56．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 57．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 58．计算： ． 59．利用平方差公式计算： ． 60．计算： 【考点题型十三 平方差公式与几何图形】（） 61．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 62．若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 ． 63．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 64．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 65．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【考点题型十四 运用完全平方公式进行运算】（） 66．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 67．若，则的值为 ． 68．将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 69．先化简，再求值：，其中． 70．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 【考点题型十五 通过对完全平方公式变形求值】（） 71．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 72．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 73．若 ， ，则 ． 74．已知有理数满足，，则 ． 75．已知， (1)求的值 (2)求的值 【考点题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用】（） 76．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 77．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 78．如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、，连接．已知图中阴影部分的面积之和为，△面积为，则的长度为 ． 79．已知点在线段上，现如图摆放以为边的两张正方形卡片，若，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）；若，且两个正方形的面积之和为，则阴影部分的面积是 ． 80．现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）． (1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为． 将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则 ， ；（用含a、b的代数式表示）； (2)若，求的值； (3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系： ． 【考点题型十七 求完全平方式中的字母系数】（） 81．若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 82．若是完全平方式，则（    ） A．6 B． C．12 D． 83．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 84．若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ． 85．已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【考点题型十八 整式乘法中的新定义计算】（） 86．定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 87．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 ，所以多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： 小明发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； A．判断多项式，，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． B．若多项式，，，是常数是一组平衡多项式，求的值． 88．材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 89．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 90．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 3．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（   ） A．0 B．6 C．7 D．8 4．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 7．已知，计算的值为 ． 8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1      …… 1    1      …… 1   2    1   ……1   3    3    1  …… 当代数式的值为16时，则的值为 ． 9．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 10．观察等式：；；；若，则用含m的式子表示的结果是 ． 11．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 12．先化简，再求值：， 其中． 13．简便计算： (1)； (2)． 14．观察下列等式： ， ， ， ．．． (1)根据上述各式反映出的规律填空： ． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，请用一个含的代数式表示其结果 ． (3)推广应用：请写出的简便计算过程及结果． (4)试说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 15．在苏教版七下第八章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个梯形的面积，能得到等式： ．(结果为最简) (3)根据上面两个结论，解决下面问题：若图中，直角三角形三边、、，．已知，，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读+提升训练） 清单01 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 清单02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单04 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单05 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 清单06 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 清单07 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 计算单项式乘单项式】（） 1．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 2．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的得出，，解出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 3．计算： ． 【答案】 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可． 本题考查单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．若与的积是，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出、，熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解方程组得：， ∴， 故答案为：8． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及单项式乘多项式的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据幂的乘方法则计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算； （2）先根据单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（） 6．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 8．已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 9．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 10．若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型三 计算单项式乘多项式及求值】（） 11．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的运算法则．根据单项式乘多项式，进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，将单项式乘多项式的每一项，再相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型四 单项式乘多项式的应用】（） 16．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 17．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 18．若长方形一边长为a，另一边长为，则该长方形的面积可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，长方形面积等于其乘乘以其宽，据此列式求解即可． 【详解】解：∵长方形一边长为a，另一边长为， ∴该长方形的面积可表示为， 故答案为：． 19．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【答案】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．根据道路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【详解】解：道路的面积 （平方米）． 故答案为：． 20．一天，小明想计算一个型的花坛的面积，在动手测量前，小明依花坛形状画了如图示意图，并用字母表示了将要测量的边长．小明在列式进行计算时，发现还要再测量一条边的长度，你认为他还应再测量出哪条边的长度？并请你在图中用字母标出来，然后再求出花坛的面积． 【答案】见解析 【分析】根据题意，延长交于点，将型的花坛分成两个长方形进行计算即可求解． 【详解】解：还需要测的长度． 如图所示，延长交于点． 若，则，这个花坛的面积为 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，数形结合是解题的关键． 【考点题型五 计算多项式乘多项式】（） 21．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 故选：B． 22．已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式与多项式相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据多项式乘多项式的法则先求出，得出，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 23．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入思想，解题的关键是将展开后，把作为一个整体代入计算． 先根据多项式乘法法则将展开，然后对展开式进行变形，再把已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：， 已知，即，将其代入上式可得： ， 故． 故答案为：4． 24．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进行求出的值，进一步计算即可．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， ， ， 【考点题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（） 26．若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式．将等式左边展开，再合并同类项，根据系数相等可得p的值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 27．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故不能为5， 故选：A． 28．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入． 先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案为：． 29．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先根据多项式乘多项式法则得到，然后比较求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 30．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【考点题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（） 31．若的结果中不含的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查合并同类项的知识，由合并同类型的最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即. 原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项即可确定出a的值. 【详解】解： 由结果中不含x的一次项，得到，即 , 故答案为： 32．如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，熟练运用整式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则，即可解答． 【详解】解： ， ∵关于x的代数式的展开式中不含x的一次项， ∴ ， 解得： ， 故答案为：． 33．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确多项式乘多项式的计算方法．根据多项式乘多项式可以写出题目中两个多项式的乘积，然后根据与的乘积中不含x的一次项，从而可以求得m的值． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ， 解得，， 故答案为：4． 34．若的结果中不含和项，求的值： 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解：原式 结果中不含和项， ， 解得：， ． 35．若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，求a与b的数量关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项列式，即可求解． 【详解】解： ． ∵乘积展开式中没有二次项， ∴，即． 【考点题型八 多项式乘多项式的化简求值】（） 36．先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 38．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并，得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 39．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 40．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 【考点题型九 多项式乘多项式与图形面积】（） 41．如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，拼成的大长方形的面积是，即需要2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形和7张C类卡片，即可求解． 【详解】解：∵， ∴需要C类卡片7张， 故选：A． 42．如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张．已知操场长宽分别为和．则需要用到C地垫的张数为 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式与多项式的乘法是解题的关键；由题意可先得出操场的面积为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴需要用到C地垫的张数为23张； 故答案为23． 43．某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当，，时，求两个游泳池的总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积； （2）结合（1）的结论，将、、带入到整式并计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得一个游泳池的面积． （2）解：将、、带入到整式得， 两个游泳池的总面积， 答：两个游泳池的总面积为． 44．如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 【答案】(1) (2)1500平方米 【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点， （1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简； （2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。 【详解】（1）长方形区域的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的总面积为： ． （2）当，时， （平方米）． 当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米． 45．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)45 (3)4 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积及一元一次方程的应用，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得 ，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有， 故答案为：； （2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即， 故答案为：45； （3）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意： ， ， ， ， ， 即2号卡片的边长为4． 【考点题型十 多项式乘法中的规律性问题】（） 46．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 47．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 48．如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律． … 请你猜想的展开式从左往右第三项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，通过观察可得除每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和，进而得出的展开式从左往右第三项的系数． 【详解】解：当时， 从左往右第三项的系数为 从左往右第三项的系数为 从左往右第三项的系数为 …… 从左往右第三项的系数为 故答案为：． 49．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了数字的变化规律.根据题意先得出的第三项的系数，观察这些系数的特点，由此进一步归纳总结出的第三项系数为，据此进一步得出答案即可. 【详解】解：由题意得： 的第三项的系数为：, 的第三项的系数为：, 的第三项的系数为：， ∴的第三项的系数为：， ∴的第三项系数为：， 故答案为：45． 50．填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用， 根据多项式乘多项式法则计算填空； 对于（1），根据上述规律得出关系式解答即可； 对于（2），根据（1）中的规律解答即可． 【详解】解：①； ②； ③； 故答案为：． （1）根据上述过程，得 ； （2） ． 【考点题型十一 整式乘法混合运算】（） 51．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 52．已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式， 的值为． 53．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 54．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算，先求出，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算加减，即可求解； （2）根据单项式的乘除法法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【考点题型十二 运用平方差公式进行运算】（） 56．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的特点逐一判断即可，掌握本题主要考查了平方差公式是解题的关键． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故选项符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； 故选：B． 57．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式化简，即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 58．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 59．利用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．添加构造成平方差公式的形式，再根据平方差公式即可求解； 【详解】解：原式 故答案为：． 60．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数的运算．利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【考点题型十三 平方差公式与几何图形】（） 61．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 62．若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查用方程解应用题，涉及平方差公式、解一元一次方程，设该正方形的边长是，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设该正方形的边长是，则 ，解得， 设该正方形的边长是， 故答案为：3． 63．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B． （2）解：，且， ， 解得：； （3）解： ． 64．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，根据图形找到面积关系是解答的关键． （1）根据第一个图形两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式； （2）变形原式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第二个长方形面积为， 第一个图形中大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故答案为：A． （2）解： ． 65．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 【考点题型十四 运用完全平方公式进行运算】（） 66．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了积的乘方计算，完全平方公式和多项式乘以多项式的计算，根据完全平方公式，多项式乘多项式和积的乘方的法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 67．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键．由得，而，代入即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 68．将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 69．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 70．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 【答案】(1)9 (2)；证明见解析 (3)2500 【分析】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此求解； （2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第个式子； （3）由，，，..，将算式逐一变形，再寻找抵消规律求解． 【详解】（1）解：观察下列等式：①；②；③；…… 可得第个式子：． 故答案为：． （2）解：由①；②；③；…… 可得第个式子：得 第个式子为：． 证明：左边：， 左边=右边， 等式成立． 故答案为：． （3）解：由（2）中发现的规律可得 ． 【考点题型十五 通过对完全平方公式变形求值】（） 71．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式，先求出即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B ． 72．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 73．若 ， ，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：． 74．已知有理数满足，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，根据，，得到，进而得到，推出，非负性得到，代入中求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 75．已知， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用完全平平方公式变形计算即可； （2）利用完全平平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：， 把代入上式得： ； （2） 把代入上式得： ， ． 【考点题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用】（） 76．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 77．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 78．如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、，连接．已知图中阴影部分的面积之和为，△面积为，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了正方形的性质，完全平方公式，三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设，则，进而得，根据图中阴影部分的面积之和为10.5，得，整理得，再根据面积为6得，整理得，，则，再根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：设， ， ， ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ，， ∵图中阴影部分的面积之和为10.5， ， 整理得：， 又∵面积为6， ， 整理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 79．已知点在线段上，现如图摆放以为边的两张正方形卡片，若，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）；若，且两个正方形的面积之和为，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 / 24 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积的计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 如图所示，连接，由可得阴影部分的面积，根据，代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵以为边的正方形的边长为，以为边的正方形的边长为， ∴ ， 若，且两个正方形的面积之和为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：①；② ． 80．现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）． (1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为． 将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则 ， ；（用含a、b的代数式表示）； (2)若，求的值； (3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，等于长为b，宽为的长方形面积，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求得到，据此代值计算即可； （3）等于两邻边长为的长方形面积，等于两邻边长为、的长方形面积，据此求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十七 求完全平方式中的字母系数】（） 81．若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，把握公式有和差两种情形计算即可． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：C． 82．若是完全平方式，则（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：B． 83．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式． 【详解】解：∵（是常数）是个完全平方式， ∴ 故答案是：9． 84．若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值． 【详解】解：， ， 解得：． 85．已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 【考点题型十八 整式乘法中的新定义计算】（） 86．定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2)2 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2） ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 87．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 ，所以多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： 小明发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； A．判断多项式，，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． B．若多项式，，，是常数是一组平衡多项式，求的值． 【答案】任务：该组平衡多项式的平衡因子是；A、是，平衡因子是；B、的值为或或 【分析】任务：根据题中定义和例题方法求解即可； A．根据题中定义和例题方法求解即可； B．根据题中定义，分情况讨论即可求解． 【详解】解：任务： ， ， 该组平衡多项式的平衡因子是； A．多项式，，，是一组平衡多项式； ， 该组平衡多项式的平衡因子是； B．若多项式，，，是常数是一组平衡多项式，有三种情况， ， 是一组平衡多项式， ， ； ， 是一组平衡多项式， ， ； 是一组平衡多项式， ， ， 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算、解一元一次方程，理解题中定义，熟练掌握相关运算法则，分类讨论是解答本题的关键． 88．材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)①②20 (3)1 【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可； （2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可； ②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可； （3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 89．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 【答案】(1)③ (2)2 【分析】此题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解． 【详解】（1）解：①，不是常数，故不是“对消多项式”； ②，不是常数，故不是“对消多项式”； ③，是常数，故是“对消多项式”， 故答案为：③； （2）解：，， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； 90．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，幂的乘方．根据运算法则逐一计算判断即可．熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】A. ，与不是同类项，不能合并，A不正确； B. ，B正确； C. ，C不正确； D. ，D不正确． 故选：B． 2．若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 因为，所以，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（   ） A．0 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 根据每个正方形四个顶点上的四个数字的和都等于16，则三个正方形上的数字之和为48，可得，由于，进而得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为：， 则到这个数字之和为：， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 故选D． 4．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 5．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 6．已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知，计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，把整体代入化简后的结果，求出结果即可，解题的关键是熟练掌握整体代入． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1      …… 1    1      …… 1   2    1   ……1   3    3    1  …… 当代数式的值为16时，则的值为 ． 【答案】1或5/5或1 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，灵活的应用规律解题是关键． 由规律可得：，令，，可得，再根据乘方运算求解即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或， 故答案为：1或5． 9．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10．观察等式：；；；若，则用含m的式子表示的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的运算，同底数幂的乘法的逆运算，平方差公式，将要求的算式进行转化是解题的关键，由所给等式，对比两边式子的变化规律，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 12．先化简，再求值：， 其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式和积的乘方计算，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方运算，平方差公式；熟练掌握乘法公式是解题的关键； （1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．观察下列等式： ， ， ， ．．． (1)根据上述各式反映出的规律填空： ． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，请用一个含的代数式表示其结果 ． (3)推广应用：请写出的简便计算过程及结果． (4)试说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索： （1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）把1和8看做一个整体，利用（1）（2）的规律求解即可； （4）由（2）可知，任意一个个位数是5的整数平方后为，即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，当把中的1和看做一个整体时，则有； （4）由（2）可知，任意一个个位数是5的整数平方后为 ∴任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 15．在苏教版七下第八章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个梯形的面积，能得到等式： ．(结果为最简) (3)根据上面两个结论，解决下面问题：若图中，直角三角形三边、、，．已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、三角形面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积可以用两个小正方形的面积和2个长方形的面积相加，即可得出答案； （2）根据梯形的面积三个直角三角形的面积，代入面积公式整理即可得出答案； （3）由题意得，利用（1）中的结论，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 大正方形的面积为，即， 还可以表示为两个小正方形的面积和2个长方形的面积相加，即， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 由题意得：梯形的面积三个直角三角形的面积， 即， 整理得：， ； （3）解：由题意得：， 由（1）得： ， ∴ ，， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$