专题03 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（福建专用）

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B．的图象的对称中心为 C． D．的递增区间为， 2．（2025·福建厦门·二模）已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知条件：①函数在单调递增；②函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为；③函数的一个零点为.若函数仅满足上述①②③中的两个，则可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·二模）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 5．（2025·福建宁德·二模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·福建福州·二模）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 7．（多选题）（2025·福建厦门·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 8．（多选题）（2025·福建·二模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 9．（2025·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 10．（2025·福建泉州·二模）已知，函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围为 ． 三角函数公式题型02 11．（2025·福建漳州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 12．（2025·福建三明·二模）已知函数的图象关于直线对称，则 . 13．（多选题）（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·福建·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·福建南平·二模）若，则（    ） A．0或 B．或1 C．1 D．0 16．（2025·福建莆田·二模）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 17．（2025·福建泉州·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·福建福州·二模）已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 正余弦定理题型03 20．（2025·福建龙岩·二模）在中，，为边上的点，且满足，，则 ． 21．（2025·福建·二模）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·福建福州·二模）已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·福建泉州·二模）已知分别为三个内角的对边，，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·福建泉州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 25．（2025·福建漳州·二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求b； (2)若，求正整数c的值. 26．（2025·福建南平·二模）记的内角所对边分别为，已知. (1)证明：为等边三角形； (2)点分别在直线两侧，且，求四边形的面积. 27．（2025·福建宁德·二模）在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 28．（2025·福建莆田·二模）记的内角的对边分别为，，的面积为． (1)求的大小； (2)若外接圆的面积为，求的周长． 29．（2025·福建厦门·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. w范围与最值问题题型04 30．（2025·福建南平·二模）已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025·福建龙岩·二模）若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．3 解三角形范围与最值问题题型05 32．（2025·福建泉州·二模）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 33．（2025·福建厦门·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B．的图象的对称中心为 C． D．的递增区间为， 【答案】AD 【解析】由已知函数的部分图象如图所示， 则函数周期为，所以，由图可知，解得， 所以， 由图，，所以A正确，C错误； 函数关于对称，所以函数的对称中心为，，B错误； 函数的递增区间为，，D正确； 故选：AD． 2．（2025·福建厦门·二模）已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，又，； 记点为，翻折后，连接， ，，即为二面角的平面角，， ，， 轴，，，又，平面， 平面，又平面，， ，， 的最小正周期，. 故选：B. 3．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知条件：①函数在单调递增；②函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为；③函数的一个零点为.若函数仅满足上述①②③中的两个，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，若，当时，， 此时函数在上不单调，①不满足， 函数的最小正周期为，则函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故A不合乎要求； 对于B选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递增，①满足， 函数的最小正周期为为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故B合乎要求； 对于C选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递减，①不满足， 函数的最小正周期为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故C合乎要求； 对于D选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递增，①满足， 函数的最小正周期为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故D不合乎要求. 故选：BC. 4．（2025·福建·二模）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】D 【解析】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图象关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，， ∴，要想函数不单调，则，∴，D选项不正确. 故选：D 5．（2025·福建宁德·二模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AB选项，时，， 其中， 显然的最小值为-2，只需内有即可， 当时，取得最大值，最大值为， 故，A错误，B正确； CD选项，同理的最大值为2，只需内有即可， 当时，取得最小值，最小值为， 故，CD错误； 故选：B 6．（多选题）（2025·福建福州·二模）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 【答案】BD 【解析】因为的图象关于点对称，所以，即，； 因为，所以，即. 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故A不正确； 令，由可得，所以， 所以当，故B正确， ，所以函数的图象关于点对称，直线不是曲线的对称轴，故C不正确； 当时，函数，，； 当时，函数， 所以，函数的图象恒在函数的图象上方，故D正确. 故选：BD. 7．（多选题）（2025·福建厦门·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】对于A，的最小正周期为，故选项A错误； 对于B，因为， 因为在对称轴处取得极值，所以，解得，故选项B正确； 对于C，由A和B可知，，所以，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 8．（多选题）（2025·福建·二模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意，可得，所以， 根据得图象过点，可得，解得， 令，可得，所以， 由，为奇函数，所以A正确； 由，是偶函数，所以B正确； 由，周期为2，， ， 因为函数单调递减，所以，所以，所以C不正确； 由，所以D正确. 故选：ABD . 9．（2025·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 【答案】 【解析】由题干图象可知，则，所以，所以， 由，得，，即，， 因为，所以，则． 又，则，又，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以． 故答案为：. 10．（2025·福建泉州·二模）已知，函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数的图象的对称中心为，且单调递增， 所以由可得，，且， 不妨设为锐角，所以， 所以函数在单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以，即， 故答案为：． 三角函数公式题型02 11．（2025·福建漳州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 【答案】 【解析】已知角 的终边过点，则 ， .计算半径 . 利用三角函数定义:      因此，      故答案为： 12．（2025·福建三明·二模）已知函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】 【解析】由题： ， ， 故答案为：. 13．（多选题）（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角， 直线为，此时曲线与的交点为， 所以，，故A正确. 对于B，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角， 此时，， 射线旋转后，此时， ， 所以，故B正确； 对于C，当时，，①， 当时，曲线为②， 将①代入②可得：，所以， 所以， 要证明，即证明， 即证明：， 因为当时，， 所以，故C正确. 对于D，当，此时， ③， 当时，曲线为②， 把③代入②可得：，所以， 所以， 当时，此时，④， 当时，曲线为②， 把④代入②可得：，所以， 所以， 要证，即证， 因为，所以， 即证：， 取，， 因为，所以D错误. 故选：ABC. 14．（2025·福建·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，等式两边不成立，故， 对等式进行变形可得， 因为在和上单调递增， 故， 故选：A. 15．（2025·福建南平·二模）若，则（    ） A．0或 B．或1 C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以或， 因为，， 所以即，或（舍去）， 所以. 故选：D 16．（2025·福建莆田·二模）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 代入得，解得或， 因为，所以，， 所以． 故选：D． 17．（2025·福建泉州·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 18．（2025·福建福州·二模）已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，， ， 或， 当，时，得，， 又，所以这样的不存在， 当时，得， ，， ，又， 时，，此时在第一象限； 当时，，此时在第二象限； 当时，，此时在第四象限； 所以的终边可能位于第一、二、四象限. 故选：C. 19．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 【答案】 【解析】，所以. 故答案为：. 正余弦定理题型03 20．（2025·福建龙岩·二模）在中，，为边上的点，且满足，，则 ． 【答案】 【解析】在中，， 由余弦定理得出， 在中，， 所以，则． 故答案为： 21．（2025·福建·二模）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 又,故， 所以,故， 由于，则，不可能是钝角， 由于,所以， 故选：A 22．（2025·福建福州·二模）已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，得， ， ， , 故选：C. 23．（2025·福建泉州·二模）已知分别为三个内角的对边，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：因为为锐角，所以， 又在中，，所以，则 所以，解得，，所以． 故选：B． 解法二：又在中，， 因为，所以 所以，，所以， 又因为，， 所以． 故选：B． 24．（2025·福建泉州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 【解析】（1）， 在中，由正弦定理得，， 由， ， 即， ，，， 即，             又， ，即. （2）因为，令，， 在中，由正弦定理得， ，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， ，            ， 解得，即． 25．（2025·福建漳州·二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求b； (2)若，求正整数c的值. 【解析】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以. （2）因为，，， 所以，即， 由△ABC为锐角三角形可得，即， 解得，又C为正整数，所以. 26．（2025·福建南平·二模）记的内角所对边分别为，已知. (1)证明：为等边三角形； (2)点分别在直线两侧，且，求四边形的面积. 【解析】（1）证明：因为，所以， 由正弦定理得，又， 所以，所以， 所以， 所以为等边三角形； （2）由余弦定理得， 所以， 所以四边形的面积为. 27．（2025·福建宁德·二模）在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【解析】（1）因为， 所以 又因为，所以， 所以， 所以. （2）法一：由（1）知若， 因为，所以， 因为， 所以，因为， 由正弦定理知， 所以，所以， 所以. 解法二：由（1）知. 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， ，所以 又因为，所以或， 由正弦定理知， 所以， . 28．（2025·福建莆田·二模）记的内角的对边分别为，，的面积为． (1)求的大小； (2)若外接圆的面积为，求的周长． 【解析】（1）在中，因为 由余弦定理可知：， 又因为的面积，所以． 所以， 因为，所以． （2）设外接圆的半径为，则，所以， 由正弦定理得，所以， 因为的面积，所以， 由余弦定理得， 所以，即，所以， 所以的周长为． 29．（2025·福建厦门·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 【解析】（1）方法一：因为， 所以由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 由于，所以， 所以，因为，所以； 方法二：因为， 所以由余弦定理可得， 整理可得， 所以， 因为，所以； （2）方法一：由（1）及题设知，，，. 在中，由正弦定理得，. 在中，由正弦定理得，. 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理可得，即 所以的面积； 方法二：如图所示，过作，垂足为. 在中，，所以. 由于，所以， 所以，即， 得，后同方法一； 方法三：由（1）及题设知，，. 因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于， 又因为与的面积之比还等于， 所以，，后同方法一. w范围与最值问题题型04 30．（2025·福建南平·二模）已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，时，， 因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心， 故，解得. 故选：A 31．（2025·福建龙岩·二模）若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】函数的图像向左平移后得，为奇函数， 所以， 又，所以， 故选：A． 解三角形范围与最值问题题型05 32．（2025·福建泉州·二模）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以. 所以. 化简得： 根据正弦定理得：. 因为，所以， 所以.解得，又，所以. （2）由（1）知又， 则的面积为，的周长为， 所以. 由余弦定理得：，化简得， 所以. 又，所以， 化简得，所以， 所以. 令，则， 所以， 所以当时，取最大值为. 33．（2025·福建厦门·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1）.，， ， 根据正弦定理， ，， ，即， ，所以，则， ； （2）由余弦定理， 得， 根据基本不等式，，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当时，周长最大值是6. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$