清单04 二元一次方程组（4个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单04 二元一次方程组 （4个考点梳理+18类题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程的概念与解 二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 清单02 二元一次方程组的概念与解 二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 清单03 二元一次方程的解法 代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 清单04 二元一次方程的应用 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【考点题型一 二元一次方程的相关概念】（） 【例1】已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】小明用表格求代数式和代数式的值，观察表格里面的数据．其中既是方程的解，也是方程的解的是（   ） x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 1 0 … A． B． C． D． 【变式1-2】若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【变式1-3】若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式1-4】已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【考点题型二 二元一次方程组的相关概念】（） 【例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【变式2-3】若是关于的二元一次方程组，则 ． 【变式2-4】下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【考点题型三 代入消元法】（） 【例3】用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【变式3-1】用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式3-2】用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【变式3-3】用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式3-4】用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【考点题型四 加减消元法】（） 【例4】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-1】用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-3】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-4】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【考点题型五 二元一次方程组的特殊解法】（） 【例5】已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若方程组的解是，则方程组的解 ． 【变式5-3】已知关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【变式5-4】问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 【考点题型六 二元一次方程组的错解复原问题】（） 【例6】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式6-1】在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 【变式6-3】甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【变式6-4】对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 【考点题型七 构造二元一次方程组求解】（） 【例7】对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【变式7-1】已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【变式7-2】如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 【变式7-3】若，则的值为 ． 【变式7-4】在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【考点题型八 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 【例8】已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式8-2】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 【变式8-3】关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【变式8-4】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【考点题型九 方程组相同解问题】（） 【例9】已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 【变式9-1】若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 【变式9-2】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【变式9-3】如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【变式9-4】已知关于、的方程组和的解相同，求的值． 【考点题型十 三元一次方程组的相关问题】（） 【例10】已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【变式10-1】有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式10-2】已知方程组，则的值是 ． 【变式10-3】若，则 ， ， ． 【变式10-4】解方程组：． 【考点题型十一 方案问题】（） 【例11】某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【变式11-1】端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元．求A、B两种品牌粽子每袋各多少元． 【变式11-2】每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【变式11-3】“六一”儿童节到了，某小区决定购买一批书包送给小朋友们．经市场调查得知，购买3个男生书包与4个女生书包费用相同，购买5个男生书包与4个女生书包共需1600元． (1)求男生书包和女生书包的单价； (2)该小区要求男生书包比女生书包多4个，两种书包至少需要22个，购买两种书包的费用不超过5000元，求该小区有多少种购买方案？ 【变式11-4】五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【考点题型十二 行程问题】（） 【例12】一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？ 【变式12-1】列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 【变式12-2】李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【变式12-3】甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【变式12-4】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【考点题型十三 工程问题】（） 【例13】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【变式13-1】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【变式13-2】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【变式13-3】某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【变式13-4】数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【考点题型十四 分配问题】（） 【例14】食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【变式14-1】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【变式14-2】列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【变式14-3】用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【变式14-4】为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元． (1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ (2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？ 【考点题型十五 销售利润问题】（） 【例15】春季是进行植树造林的最好季节，我市政部门决定对道路两旁枯死树木进行补种．从某园林公司购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元． (1)求A，B两种树苗的单价各是多少元； (2)若市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），补种1个A种树苗需支付工资35元，补种1个B种树苗需支付工资15元，求市政部门共有几种购买方案？假如这些树苗全部补种，最多需要支付多少元？ 【变式15-1】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【变式15-2】欣欣农贸公司将收购的农产品加工成甲、乙两种礼盒进行销售，每件农产品的单价和体积如下表所示： 品种 每件的单价（单位：元） 每件的体积（单位：立方米） 甲 80 0.075 乙 60 0.06 经营户张老板有一辆车箱体积为13.2立方米的箱式小货车，用13600元购进甲、乙两种礼盒正好堆满了车箱．求他购进的两种礼盒各多少件？ 【变式15-3】某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【变式15-4】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【考点题型十六 几何问题】（） 【例16】如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【变式16-1】数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【变式16-2】在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【变式16-3】根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 【变式16-4】某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【考点题型十七 古代问题】（） 【例17】《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【变式17-1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【变式17-2】鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【变式17-3】中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【变式17-4】明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【考点题型十八 二元一次方程组的新定义运算】（） 【例18】定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式18-1】对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式18-2】对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 【变式18-3】对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【变式18-4】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 1．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C．4 D．6 2．明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 4．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 5．蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 6．当 时，方程组的解满足． 7．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 8．已知方程，，用含的式子表示，则 ． 9．赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 10．已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是 （填序号） 11．解下列方程组： (1) (2) 12．超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下： 型 型 型 满300减100 满180减50 满100减30 小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券． (1)若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”． (2)小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？ (3)小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量． 13．根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 14．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 15．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二元一次方程组 （4个考点梳理+18类题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程的概念与解 二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 清单02 二元一次方程组的概念与解 二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 清单03 二元一次方程的解法 代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 清单04 二元一次方程的应用 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【考点题型一 二元一次方程的相关概念】（） 【例1】已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的解，如果使方程组中两个方程左右两边的值都相等，那么就是这个方程组的解，如果方程组中有一个方程不成立，则就不是这个方程组的解． 【详解】解：A选项：， ， 不是方程组的解， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 不是方程组的解， 故B选项不符合题意； C选项：， ，， 是方程组的解， 故C选项符合题意； D选项：， ， 不是方程组的解， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】小明用表格求代数式和代数式的值，观察表格里面的数据．其中既是方程的解，也是方程的解的是（   ） x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 1 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，对照数据，找出当时，两代数式的值相等是解题的关键． 观察表格中的数据，即可得出结论． 【详解】解：观察表格中的数据，可得出：当时，，此时， ∴既是方程的解，也是方程的解的是． 故选：B． 【变式1-2】若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【答案】0 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，且， ∴， ∴； 故答案为：0． 【变式1-3】若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键．先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解 ∴ ∴ ， 故答案为：2025． 【变式1-4】已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【答案】(1) (2)不唯一， 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 【考点题型二 二元一次方程组的相关概念】（） 【例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】A．第一个方程的次数是二次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．是二元一次方程组，故本选项符合题意； D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，未知项的次数最高是1次的整式方程组成的方程组叫二元一次方程组，逐项判断即可． 【详解】解：A、与组成的方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； C、是分式方程，与组成的方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 【变式2-3】若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【变式2-4】下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 【考点题型三 代入消元法】（） 【例3】用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入法二元一次方程组，先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 对于（1），直接将①代入②求出x，再将x的值代入①求出y即可； 对于（2），将①整理为，再代入②，求出y，再将y值代入③可得解； 对于（3），仿照（1）去解； 对于（4），将②整理为，再代入求出解. 【详解】（1）解：, 把①代入②得，， 解得， 把代入①得， ． ∴原方程组的解为； （2）解：， 由①，得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （3）解：， 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得， ， ∴原方程组的解为； （4）解：， 由②得，， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 【变式3-1】用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法即可求解； （2）利用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：把②代入①，得， 解这个方程，得， 把代入①得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由②，得③， 把③代入①中，得， 解这个方程，得， 把代入③，得． 所以这个方程组的解为． 【变式3-2】用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 【详解】（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 【变式3-3】用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式． （1）由①，得③，代入②消去y，求出x的值，再代入③求出y的值即可； （2）由②得③，代入①消去y，求出x的值，再代入③求出y的值即可 【详解】（1）解：由①，得③． 把③代入②中，得， 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解是 （2）解：由②得③． 把③代入①中，得， 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为． 【变式3-4】用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 【考点题型四 加减消元法】（） 【例4】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得，解得． 把代入①，得， 原方程组的解为； （2） ，得． 把代入①，得， 原方程组的解为 【变式4-1】用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得：， 代入①得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （3）解： ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （4）解：方程组可化为， ，得，解得：， 代入②，得，解得：， 则方程组的解为． 【变式4-2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 （2），得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 【变式4-3】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将方程组化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）解：整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为． 【变式4-4】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． （2）解： ，得， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 【考点题型五 二元一次方程组的特殊解法】（） 【例5】已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用整体思想． 根据二元一次方程组的解的定义，利用整体的思想得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 【变式5-1】若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的特殊解法，理解题意，得方程组的，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：B． 【变式5-2】若方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键． 根据题意，将原方程组变形得，结合原方程组的解得到，由此即可求解． 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式5-3】已知关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键．把两个方程相加即可得到结论． 【详解】解： 方程组上下两式相加得：， 则， 故答案为：1． 【变式5-4】问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 故答案为：2； （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． 【考点题型六 二元一次方程组的错解复原问题】（） 【例6】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 【变式6-1】在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 【变式6-2】在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 【变式6-3】甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 【变式6-4】对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【详解】解：方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有，解之，得． 又因方程组的解是， 所以，， 解得，． 故所求方程组为． 【考点题型七 构造二元一次方程组求解】（） 【例7】对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 【变式7-1】已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 【变式7-2】如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 【变式7-3】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【变式7-4】在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 【考点题型八 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 【例8】已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根据方程组解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：A． 【变式8-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】将方程组中的两个方程相加，得，得到，结合，代入解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：由， 将方程组中的两个方程相加，得， 故， 由， 得， 解得． 故选：D． 【变式8-2】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相减，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， 则 ， ， 解得：． 故答案为：4． 【变式8-3】关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 【变式8-4】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 【考点题型九 方程组相同解问题】（） 【例9】已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键．依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ， 解得：， 把分别代入与得：， 解得：； 故选：D． 【变式9-1】若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，由题意得出，求出，从而得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程与组有相同的解， ∴， 解得：， 代入其他两个方程得出， 解得：， 故选：C． 【变式9-2】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 【变式9-3】如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可． 【详解】解：解方程组得： 由方程组得： 将代入得： 故答案为：①2②1 【变式9-4】已知关于、的方程组和的解相同，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两解方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，求出，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， 解得 ∴． 【考点题型十 三元一次方程组的相关问题】（） 【例10】已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 【变式10-1】有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，   由题意得：，   得： ，   即购甲件、乙件，共需元， 故选：C． 【变式10-2】已知方程组，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 【变式10-3】若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 【变式10-4】解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 【详解】解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 【考点题型十一 方案问题】（） 【例11】某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【答案】参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人 【分析】此题考查二元一次方程组的应用．设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，再根据“每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”列出方程组即可解答． 【详解】解：设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人， 根据题意，得， 解得． 故参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人． 【变式11-1】端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元．求A、B两种品牌粽子每袋各多少元． 【答案】A品牌粽子每袋25元，B品牌粽子每袋30元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据所给等量关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设A品牌粽子每袋元，B品牌粽子每袋元， 根据题意得， 解得． 答：A品牌粽子每袋25元，B品牌粽子每袋30元． 【变式11-2】每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【答案】(1)A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资 (2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A型号的货车每辆可装载x箱物资，B型号的货车每辆可装载y箱物资，由题意：若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过725箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资， 由题意，得：， 解得， 答：A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资． （2）解：设租用A型货车辆，型货车辆．由题意，得 ， 解得， 因为是整数， 所以或， 所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆． 【变式11-3】“六一”儿童节到了，某小区决定购买一批书包送给小朋友们．经市场调查得知，购买3个男生书包与4个女生书包费用相同，购买5个男生书包与4个女生书包共需1600元． (1)求男生书包和女生书包的单价； (2)该小区要求男生书包比女生书包多4个，两种书包至少需要22个，购买两种书包的费用不超过5000元，求该小区有多少种购买方案？ 【答案】(1)男生书包的单价是200元，女生书包的单价是150元； (2)该小区有4种购买方案． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设男生书包的单价是x元，女生书包的单价是y元，根据“购买3个男生书包与4个女生书包费用相同，购买5个男生书包与4个女生书包共需1600元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买m个女生书包，则购买个男生书包，根据“男生书包比女生书包多4个，两种书包至少需要22个，购买两种书包的费用不超过5000元，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设男生书包的单价是x元，女生书包的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：男生书包的单价是200元，女生书包的单价是150元； （2）解：设购买m个女生书包，则购买个男生书包， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为9，10，11，12， ∴该小区有4种购买方案． 答：该小区有4种购买方案． 【变式11-4】五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【答案】(1)参加游玩的家长5人，学生4人 (2)不能比分别购票更省钱，计算见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用． （1）设参加游玩的家长为人，学生为人，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出一起购票和分开购票的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设参加游玩的家长为人，学生为人，由题意得： 解得： 答：参加游玩的家长5人，学生4人； （2）家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱， 理由：购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，团体购票需要购买10张，所以花费的钱数为：（元）， ， 如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分别购票更省钱． 【考点题型十二 行程问题】（） 【例12】一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？ 【答案】快车和慢车的速度分别是和 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设快车和慢车的速度分别是和，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车和慢车的速度分别是和． 根据题意，得 解得 答：快车和慢车的速度分别是和． 【变式12-1】列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 【答案】0.7千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组，解方程求出x，y即可． 【详解】解：设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：小明家与学校的距离是0.7千米． 【变式12-2】李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【答案】李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为 【分析】本题考查了二元一次 方程组的应用，解题的关键在于是否能准确地找到等量关系．设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为，根据他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇，列二元一次方程组，求出方程解即是求出答案． 【详解】解：设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为， 根据题意：，即， 解得：， 答：李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为． 【变式12-3】甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲，乙两人的速度分别是 (2)出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为：，；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方，丙的速度是，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 【变式12-4】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米 (2)相距千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组． （1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 【考点题型十三 工程问题】（） 【例13】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【变式13-1】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 【变式13-2】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【变式13-3】某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【变式13-4】数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【考点题型十四 分配问题】（） 【例14】食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 【变式14-1】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 【变式14-2】列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【变式14-3】用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式14-4】为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元． (1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ (2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？ 【答案】(1)新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元 (2)可以建造地上停车位个，地下停车位个 【分析】（1）根据等量关系式：新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，列出方程组，即可求解； （2）根据等量关系式：建造地上车位的个数建造地下车位的个数，建造地上车位的费用建造地下车位的费用万元，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元，由题意得 ， 解得：， 答：新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元． （2）解：设建造地上停车位个，地下停车位个，由题意得 ， 解得：， 答：可以建造地上停车位个，地下停车位个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 【考点题型十五 销售利润问题】（） 【例15】春季是进行植树造林的最好季节，我市政部门决定对道路两旁枯死树木进行补种．从某园林公司购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元． (1)求A，B两种树苗的单价各是多少元； (2)若市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），补种1个A种树苗需支付工资35元，补种1个B种树苗需支付工资15元，求市政部门共有几种购买方案？假如这些树苗全部补种，最多需要支付多少元？ 【答案】(1)A种树苗的单价是75元，B种树苗的单价是30元 (2)共有2种购买方案：①购进A种树苗2个，B种树苗10个；②购进A种树苗4个，B种树苗5个；最多需要支付工资为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． （1）设A种树苗的单价是x元，B种树苗的单价是y元，根据购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种树苗m个，B种树苗n个，根据市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种树苗的单价是75元，B种树苗的单价是30元． （2）解：设购进A种树苗m个，B种树苗n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 共有2种购买方案： ①购进A种树苗2个，B种树苗10个，需要支付工资为（元）； ②购进A种树苗4个，B种树苗5个，需要支付工资为（元）； ， 最多需要支付220元． 【变式15-1】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元 (2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． 【变式15-2】欣欣农贸公司将收购的农产品加工成甲、乙两种礼盒进行销售，每件农产品的单价和体积如下表所示： 品种 每件的单价（单位：元） 每件的体积（单位：立方米） 甲 80 0.075 乙 60 0.06 经营户张老板有一辆车箱体积为13.2立方米的箱式小货车，用13600元购进甲、乙两种礼盒正好堆满了车箱．求他购进的两种礼盒各多少件？ 【答案】他购进的甲礼盒80件，乙礼盒120件． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键的读懂题意，正确二元一次方程组． 设他购进的甲礼盒x件，乙礼盒y件，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设他购进的甲礼盒x件，乙礼盒y件， 根据题意得， 解得 ∴他购进的甲礼盒80件，乙礼盒120件． 【变式15-3】某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【答案】(1)甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶 (2)6天 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，由题意可得方程组，解方程组即可得解； （2）设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种洗手液的单价为x元/瓶，乙种洗手液的单价为y元/瓶，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶． （2）解：设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意得： ， ∴， ∴（天）； 答：这批洗手液可使用6天． 【变式15-4】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 【考点题型十六 几何问题】（） 【例16】如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 【变式16-1】数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 【变式16-2】在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为，宽为 (2) 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为； ∴ ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【变式16-3】根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 【答案】能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个 【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张； 再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张， 由题意得， 解得， ， ， 为整数， ， 由，得， ， 、都是正整数， 能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 【变式16-4】某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 【考点题型十七 古代问题】（） 【例17】《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设绳子x尺，长木y尺． 由题意可得 解得 答：长木为6.5尺． 【变式17-1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【答案】合伙人数为7人，物价为53钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①人数−物品价值，②物品价值人数，据此可列方程组即可解答． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱， 根据题意得 解得 答：合伙人数为7人，物价为53钱． 【变式17-2】鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【答案】鸡只，兔只． 【分析】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键．根据“上有20头，下有54足”，得出关于、的二元一次方程组，解之即得． 【详解】解：设鸡只，兔只， 由题意得：，解得：， 答：鸡只，兔只． 【变式17-3】中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 【变式17-4】明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 【考点题型十八 二元一次方程组的新定义运算】（） 【例18】定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可． 【详解】解：，且， ，解得：， ， ， 故选：B 【变式18-1】对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式18-2】对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 【答案】11 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值． 【详解】∵，， ∴根据题中的新运算，得 解得 ∴， ∴． 故答案为：11 【变式18-3】对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 【变式18-4】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 1．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解，根据方程解的定义代入求解即可． 【详解】解：把代入得到， 解得 故选：B 2．明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组． 根据“”隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两“”，列出方程组即可． 【详解】解：由每人分7两，则多4两，可得方程：； 由每人分9两，则少8两，可得方程：， ∴可得方程组为：， 故选B． 3．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 4．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方差公式的应用，根据题意把各选项条件代入方程组解答可判断①②③⑤，解方程组，再把方程组的解代入代数式可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程可化为， ∴方程组的解不是方程的解，故①错误； ②当时，方程可化为， ∴，故②正确； ③当时，方程组可化为， ∴， 解得，故③错误； ④解方程组，得， ∴， ∴不论取什么有理数，的值始终不变，故④正确； ⑤当时，，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有②④⑤， 故选：． 5．蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设道难题，道中档题，则有容易题，根据题意得到，求出即可． 【详解】解：设道难题，道中档题，则有容易题， 根据题意得，， ∴， ∴， ∴三人一共做出了道题． 故选：C． 6．当 时，方程组的解满足． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解二元一次方程组得到方程组的解，再根据方程组的解满足得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：整理原方程组得， 得：， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∵原方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 7．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解． 根据题意列出方程组，然后求解即可． 【详解】根据题意得， 解得 ∴解密后得到的明文是，． 故答案为：，． 8．已知方程，，用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 或． 故答案为：． 9．赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 10．已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查平方差公式、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元消掉a，进而得出答案． 【详解】解：， 得，③， ， 则， 故②正确； 将分别代入中，即，故①正确； 当时，，故③正确； 若，则 即， 故， 解得：，故④错误． 故答案为：①②③， 11．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①式得：， 把代入②式得：， 解得：， 把代入， 解得：， ∴方程组的解为： （2）解： 由①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 12．超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下： 型 型 型 满300减100 满180减50 满100减30 小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券． (1)若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”． (2)小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？ (3)小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量． 【答案】(1)4 (2)她使用了型2张，型3张 (3)有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张．②型6张，型6张 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是假设未知数，并找准等量关系． （1）假设使用了型“优惠券”张，根据优惠钱数列出方程求解即可； （2）假设她用了型为张，则型券为张，根据优惠钱数列出方程求解即可； （3）假设券为张，券为张，券为张，分三种情况进行讨论，根据优惠的钱数列出二元一次方程，找出符合题意的解即可． 【详解】（1）解：假设使用了型“优惠券”张， 根据题意得， 解得， 所以，她使用了4张型“优惠券”， 故答案为：4； （2）解：假设她用了型为张，则型券为张， 根据题意得， 解得， ∴， 所以，她使用了型2张，型3张； （3）解：假设券为张，券为张，券为张，根据题意得， 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，时，， 所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意； 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，时，， 经验证，符合题意的解为； 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，，，，， 经验证，符合题意的解为； 所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张． 13．根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 【答案】任务1：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元；任务2：82；株任务3：有4张兑换券用于兑换A款升级． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株，根据题意列出一元一次方程，即可求解； 任务3：设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元， 由题意得： 解得： 答：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株， 由题意可得：， 解得， ∴共有株； 任务3：1650元最多可兑换8张兑换券， A款不升级与B款升级的总株数为：株， 设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级， 张兑换B款升级， 由题意可得： ， ∴， ∴， ∵a，b为自然数且b是2的倍数 ∴(舍去)，(舍去)，． ∴有4张兑换券用于兑换A款升级． 14．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 15．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 68 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$