专题03 图形的变换（考题猜想，易错压轴必刷51题17种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题03 图形的变换（易错压轴必刷51题17种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 生活中的平移现象 · 题型二 图形的平移 · 题型三 利用平移的性质求解 · 题型四 利用平移解决实际问题 · 题型五 平移作图 · 题型六 轴对称图形 · 题型七 根据成轴对称图形进行求解 · 题型八 简单的图形折叠问题 · 题型九 画轴对称图形 · 题型十 生活中的旋转 · 题型十一 旋转中心、旋转角、对应点 · 题型十二 根据旋转的性质求解 · 题型十三 画旋转对称图形 · 题型十四 旋转对称的角度 · 题型十五 平移综合题 · 题型十六 折叠综合题 · 题型十七 旋转综合题 题型一 生活中的平移现象 1．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 2．把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 题型二 图形的平移 4．如图，线段是线段经过向右平移3格，再向下平移 格得到的． 5．如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移 格，再向下平移 格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 6．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 题型三 利用平移的性质求解 7．如图，线段和相交于点M，交于点N． (1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； (2)若小梦测量出，求和的度数． 8．如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 9．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 题型四 利用平移解决实际问题 10．如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 11．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 12．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 题型五 平移作图 13．如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 14．如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． (2)在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 15．在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点的对应点为，点，的对应点分别是，F． (1)过点作的平行线． (2)请画出平移后的． (3)连接，，则这两条线段之间的关系是__________ 题型六 轴对称图形 16．观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填 ． 17．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 18．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 题型七 根据成轴对称图形进行求解 19．如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 20．如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 21．如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 题型八 简单的图形折叠问题 22．如图，将一张上、下两边平行的纸带沿直线折叠，为折痕． (1)试说明． (2)已知，求的度数． 23．如图①所示的是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③． (1)求图②中的度数； (2)探索图③中与的位置关系，并说明理由． 24．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 题型九 画轴对称图形 25．如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 26．如图，在方格纸中有一个格点三角形，请画出另一个格点三角形，使两个三角形关于某条直线对称． 27．如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 题型十 生活中的旋转 28．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 29．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 30．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 题型十一 旋转中心、旋转角、对应点 31．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 32．如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 33．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 题型十二 根据旋转的性质求解 34．如图，将绕着顶点逆时针旋转后得到，若，求的度数． 35．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出旋转角度； (2)若，求的长． 36．已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．    　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2 (1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）； (3)若平分，直接写出度数． 题型十三 画旋转对称图形 37．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于所在直线对称的线段（其中与对应）． (2)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． (3)在所给的网格图中确定两个格点，使得直线垂直平分线段． 38．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 39．如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 题型十四 旋转对称的角度 40．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 41．如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 42．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十五 平移综合题 43．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．    (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 44．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 45．如图，直线//，一副直角三角板，中，，，，． (1)若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 题型十六 折叠综合题 46．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．        47．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 48．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 题型十七 旋转综合题 49．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 50．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 51．【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 图形的变换（易错压轴必刷51题17种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 生活中的平移现象 · 题型二 图形的平移 · 题型三 利用平移的性质求解 · 题型四 利用平移解决实际问题 · 题型五 平移作图 · 题型六 轴对称图形 · 题型七 根据成轴对称图形进行求解 · 题型八 简单的图形折叠问题 · 题型九 画轴对称图形 · 题型十 生活中的旋转 · 题型十一 旋转中心、旋转角、对应点 · 题型十二 根据旋转的性质求解 · 题型十三 画旋转对称图形 · 题型十四 旋转对称的角度 · 题型十五 平移综合题 · 题型十六 折叠综合题 · 题型十七 旋转综合题 题型一 生活中的平移现象 1．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，根据平移的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意； B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意； C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意； D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意； 故选：B． 2．把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的定义，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的定义，逐项核对即可． 【详解】解：根据平移定义可知：把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是C． 故选：C． 3．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 题型二 图形的平移 4．如图，线段是线段经过向右平移3格，再向下平移 格得到的． 【答案】5 【分析】本题主要考查了图形的平移，根据点A和点D的位置可知，向右平移3格，向下平移5格，据此可得答案． 【详解】解：由题意可得线段是线段经过向右平移3格，再向下平移5格得到的， 故答案为：5． 5．如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移 格，再向下平移 格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 【答案】 2 4 【分析】本题考查作图平移变换，利用平移的性质判断即可．解题的关键是理解平移变换的性质． 【详解】解：如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移2格，再向下平移4格即可与下面涂色部分的方格块合成一个长方形的整体． 故答案为：2，4． 6．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移变换设计图案，根据火柴棒的根数与组成的正方形的个数确定有没有两个正方形公用的火柴棒，是解题的关键，此类题目需要同学们有设计与灵活变通的能力． （1）根据12个火柴棒平移后变成3个正方形，所以每一个小正方形需用4根火柴棒，即没有公用的火柴棒，平移左上角的两根到左下角，右上角的两根到右下角即可得到三个相同的小正方形；或平移左上角的两根到左下角，平移右下角的两根到右上角即可得到三个相同小正方形； （2）根据12个火柴棒平移后变成4个相同的正方形，平均每一个正方形用3根火柴棒，所以每一个正方形必须有两边是公用边，平移上边两根到最右边，左边两根到最下边组成田字形，即可得到四个相同的正方形． 【详解】解：如图1，平移4根变成三个相同的正方形； 如图2，平移4根变成相同的四个正方形． 题型三 利用平移的性质求解 7．如图，线段和相交于点M，交于点N． (1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； (2)若小梦测量出，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用平移的性质作图，作垂线，平行线的性质，直角三角形的性质，理解作图的方法是解决本题的关键． （1）首先根据平移的性质，即可画得； （2）根据平行线的性质及直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键； （1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可； （2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （2）解：如图，作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 9．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 题型四 利用平移解决实际问题 10．如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【答案】这块草地的面积为24平方米． 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为6米，宽为4米的长方形面积，据此计算求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为4米的长方形面积，即平方米， 答：这块草地的面积为24平方米． 11．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)18平方米 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则． （1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可； （2）把a，b的值代入进而求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 平方米． 答：种植花草的面积为平方米； （2）解：当时， 原式（平方米）． 答：种植花草的面积为18平方米． 12．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 题型五 平移作图 13．如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据平移的性质按要求画图即可． 【详解】如图1，将下面的三角形向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求； 如图2，将下面的三角形向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求． ． 14．如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． (2)在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意意，正确定作出图形． （1）根据平行线的判定和性质不就出点，连接即可； （2）取格点，连接即可． 【详解】（1）解：对于线段，从点到点，横向移动了3个单位长度，纵向移动了1个单位长度．以为端点，按照相同的横向和纵向移动距离确定点．因为在平面几何中，经过平移得到的线段与原线段平行且相等，所以这样作出的与平行且相等． （2）解：要使，我们在网格中通过格点构造与平行的直线． 过点作这条平行线，这条平行线与格点的交点就是点．此时与相关直线形成的和是同位角，根据同位角的性质，当两直线平行时同位角相等，所以． 15．在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点的对应点为，点，的对应点分别是，F． (1)过点作的平行线． (2)请画出平移后的． (3)连接，，则这两条线段之间的关系是__________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据网格的特点作平行线即可； （2）由点和点的位置可确定平移方式为“向右平移格，向下平移格”，即可确定，点平移后的对应点，，最后顺次连接，，三点即可； （3）根据平移的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 题型六 轴对称图形 16．观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填 ． 【答案】 【分析】本题是一道规律型的题，考查的是设计轴对称图形．找到图形的特征和规律是解题关键． 【详解】解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1-4的数字的轴对称， 即：右边都是原数字，左边是与原数字成轴对称的数字， ∴填上的图形：画一个轴对称图形且数字为4即可，即． 故答案为：． 17．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 18．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 题型七 根据成轴对称图形进行求解 19．如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是关键． （1）根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可； （2）根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下， （2）解：如上图所示，点即为所求点的位置． 20．如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 【答案】(1)答案见解析 (2)与，与 【分析】本题考查的是轴对称的性质； （1）根据轴对称的性质确定相等的线段与相等的角即可； （2）由轴对称的性质可得：与，与，也都关于直线成轴对称． 【详解】（1）解： 相等的线段为：，，，，， ，，，，，，，，； （2）解：与，与，也都关于直线成轴对称． 21．如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解轴对称的含义是解本题的关键； （1）根据四边形与四边形关于直线对称，可得对应边相等，从而可得答案； （2）先求解，再根据轴对称的性质可得答案； （3）根据对称轴垂直平分对称点的连线，可得答案； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形关于直线对称．， ∴； （2）解：∵， ∴， 由轴对称的性质可得： ； （3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线垂直平分． 题型八 简单的图形折叠问题 22．如图，将一张上、下两边平行的纸带沿直线折叠，为折痕． (1)试说明． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补可得，，据此可证明结论； （2）由（1）可得，则由平角的定义和折叠的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 23．如图①所示的是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③． (1)求图②中的度数； (2)探索图③中与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据平行线的性质得出，再求出答案即可； （2）由，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质以及角的和差可得，即可得与的位置关系． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 因为， 所以， 所以； （2）解：．理由如下： 因为，， 所以， 由（1）可知，， 所以， 所以， 所以． 24．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）解：由折叠，得， ． 题型九 画轴对称图形 25．如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． （）根据轴对称图形的特点画图即可； （）根据（）即可求解； 【详解】（1）解：画图如下：（任选种） （2）解：由上图可知，共有种不同的涂法， 故答案为：． 26．如图，在方格纸中有一个格点三角形，请画出另一个格点三角形，使两个三角形关于某条直线对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，根据轴对称的性质结合网格的特点，画图即可，解题的关键是确定对称轴． 【详解】解：如图，共有种画法 27．如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】此题主要考查了作轴对称变换，求四边形面积， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4，然后利用梯形的面积 求解即可． 【详解】（1）如图，是关于直线l的对称图形． （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4． 题型十 生活中的旋转 28．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定．根据旋转的定义分别判断即可． 【详解】解：A、在笔直公路上行驶的汽车，属于平移，故此选项不符合题意； B、在空中直线上升的氢气球，属于平移，故此选项不符合题意； C、风力发电机叶片的转动，属于旋转，故此选项符合题意； D、传送带上物品位置的移动，属于平移，故此选项不符合题意； 故选：C． 29．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 30．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 题型十一 旋转中心、旋转角、对应点 31．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 32．如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 33．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 题型十二 根据旋转的性质求解 34．如图，将绕着顶点逆时针旋转后得到，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，角度的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，再根据角的和差即可得出结果． 【详解】解：绕着顶点逆时针旋转后得到， ． ， ． 35．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出旋转角度； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，旋转角度为 (2)3 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）由（1）知，， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 36．已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．    　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2 (1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）； (3)若平分，直接写出度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查旋转的性质、角平分线的性质和角度和差的关系， （1）根据旋转的性质，角平分线的定义以即可计算出结果． （2）根据角平分线的定义和角的和差关系计算即可． （3）分类讨论：当位于内部；当或位于内部；当和位于外部，利用旋转的性质、角平分线的性质和角度之间和差的关系即可求得． 【详解】（1）解：∵射线绕点O顺时针旋转得到射线 ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ （3）①当位于内部时，如图，    设， ∵射线绕点O顺时针旋转得到射线， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 则； ②当或位于内部时，如图，    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则；    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则； ③当和位于外部时，如图，    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则； 故度数或． 题型十三 画旋转对称图形 37．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于所在直线对称的线段（其中与对应）． (2)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． (3)在所给的网格图中确定两个格点，使得直线垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了图形的轴对称变换、旋转变换以及线段垂直平分线的作法，解题的关键是掌握轴对称、旋转的性质以及线段垂直平分线的特征． （1）利用轴对称性质，通过找对称点来画出对称线段； （2）依据旋转性质，确定旋转后的对应点，进而画出旋转后的线段； （3）根据线段垂直平分线的性质，借助网格确定垂直平分线上的格点． 【详解】（1）如图，线段即所求； （2）如图，线段即所求； （3）如图，直线即所求； 38．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质绕点逆时针旋转得到； （3）在图中找到格点E，连接，有图可知，则为等腰三角形，然后画出的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图所示，即为所作； （3）解：如图所示，线段即为所作； ． 39．如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形，解题关键是熟练掌握相关图形的画法． （1）根据轴对称的性质确定、、的对应点，顺次连线即可； （2）先找到、关于点对称的对应点，连线即可； （3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点，连线后即可作正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：如图，线段及正方形即为所求． 题型十四 旋转对称的角度 40．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 41．如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称，如果把一个图形绕着旋转中心旋转一定的角度后，可以与自身完全重合，这个图形就是旋转对称图形． 【详解】解：这个图形可以被平均分成四份，每份所对的圆心角的度数为， 这个图形绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合． 故答案为：． 42．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 题型十五 平移综合题 43．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．    (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②． 【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示，作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即    （2）解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示：   ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示：    ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． 44．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)AD∥BC，AD=BC (2)①100°；②180°-2α 【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案； （2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案； ②由①同理可得答案． 【详解】（1）解：∵将线段AB平移至DC， ∴ADBC，AD=BC； （2）①∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGC， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°， ∵ADBC， ∴∠C+∠ADC=180°， ∴∠C=100°； ②∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGE， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC， ∴∠ADC=2α， ∵ADBC， ∴∠BCD+∠ADC=180°， ∴∠BCD=180°-2α． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． 45．如图，直线//，一副直角三角板，中，，，，． (1)若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2)∠PDE的度数为15° (3)∠GHF＝67.5° (4)ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案； （3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°， ∵ED平分∠PEF， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，                      ∵PQMN， ∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°， ∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，                       ∴∠MFD＝∠DFE， ∴FD平分∠EFM； （2）解：如图2，过点E作EKMN， ∵∠BAC＝45°， ∴∠KEA＝∠BAC＝45°，                                         ∵PQMN，EKMN， ∴PQEK， ∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，                               又∵∠DEF＝60°． ∴∠PDE＝60°−45°＝15°，                                        故答案为：15°； （3）解：如图3，分别过点F、H作FLMN，HRPQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，                         ∵FLMN，HRPQ，PQMN， ∴FLPQHR，                                                ∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H， ∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，                     ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°， ∴∠HFA＝∠GFA＝75°， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，                ∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°， ∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，           ∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°； （4）解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°， 分三种情况： ①当BCDE时，如图5，此时ACDF， ∴∠CAE＝∠DFE＝30°， ∴1.5t＝30， 解得：t＝20；                                                  ②当BCEF时，如图6， ∵BCEF， ∴∠BAE＝∠B＝45°， ∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°， ∴1.5t＝90， 解得：t＝60；                                             ③当BCDF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R， ∵PQMN，∠PDE＝15°，∠EDF＝90°， ∴∠DRM＋（∠PDE＋∠EDF）＝180° ∴∠DRM＝75°， ∵BCDF， ∴∠BKA＝∠DRM＝75°， ∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°， ∴∠CAK＝90°−∠BKA＝90°−75°＝15°， ∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°， ∴1.5t＝120， 解得：t＝80．                                                 综上所述：ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 题型十六 折叠综合题 46．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．        【答案】（1）垂直；；（2）①；②画图见解析，；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行 【分析】本题考查垂直判定，一元一次方程的实际应用，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． （1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直；； （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②如图为大致图形： 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下： 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行． 47．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 48．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 题型十七 旋转综合题 49．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 50．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 51．【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）①设旋转时间为秒，则，，当与相遇时，，再求解即可；②设运动时间为秒，，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）①， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，， 解得：； ②如图， 因为， ， 所以； （3）设绕点逆时针旋转， 时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， . 综上，或. $$