精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

浙江强基联盟2025年5月高一联考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 3. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加，减法运算，即可化简. 【详解】. 故选：C 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得. 故选：B． 6. 如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意得为直角，故， 又，所以四点共圆，所以， 在中由正弦定理得， 所以， 故选：A． 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得，即， 因为函数有且仅有两个零点， 即函数与的图象仅有两个交点， 因为， 作出函数和的图象，如图所示， 当时，联立方程组，可得， 由，解得， 当时，可得， 要使得函数有且仅有两个零点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原函数，结合正弦函数的性质判断A，利用偶函数的性质结合题意得到判断B，利用换元法结合正弦函数的性质判断单调性求解C，先求出，再结合正弦函数的性质建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以由二倍角公式得， 结合辅助角公式可得， 由正弦函数性质得， 得到，即的最大值是，故A正确， 对于B，由题意得， 若是偶函数，则，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，则， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得， 因为，所以， 由正弦函数性质得，解得，故D正确. 故选：AD． 11. 已知平面向量，满足为单位向量，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在方向上的投影长度的范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设求出，设，，，则，进而判断选项A，设，中点为，利用数量积进行求解判断B，利用投影定义结合坐标法求解判断选项C；先由题设转化得，接着平方并令得，再利用判别式求解的范围可判断选项D. 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为， 点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确． 故选:ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果. 【详解】设，则， 因为表示以为圆心，为半径的圆， 所以可理解为圆上的点到的距离， 故的最大值为． 故答案为：. 13. 在中，若，且，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，再分析三棱锥体积最大时点的位置，结合勾股定理确定球心和半径，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】因为，所以P在的中垂面上， 而，则的轨迹为中垂面与以A为球心，为半径的球的交线， 即的轨迹为如图以D为圆心，2为半径的圆，且是的中点，如图所示， 因为，，所以由勾股定理得， 由三角形面积公式得， 若三棱锥体积最大，则到面的距离最大即可，此时在最上面， 易得，，， 且由勾股定理得，此时， 则，即， 得到外接球球心为的中点，即球的半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解. （2）根据数量积大于0且不共线，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，，. 因为与垂直， 所以, 即，解得, 故实数m的值为. 【小问2详解】 , , 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 即，解得 当与共线时，，解得， 故， 综上可知，实数k的取值范围为 16. 如图，在四面体中，平面平面，且，，M是的中点，P是的中点，Q在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行，证明平面平面，得到平面； （2）作出辅助线，结合面面垂直和勾股定理逆定理证明线面垂直，则为直线与平面所成角．从而得到. 【小问1详解】 如图，作的中点E，连接，， 因为P，E分别为，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以， 同理可得平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 如图，作，垂足为G，连接， 因为平面平面，交线为且，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以， 故，由勾股定理逆定理得， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面． 则为直线与平面所成角． 在中，由等面积法有，则， 所以． 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由是偶函数，求解的值； （2），，转化为任意的，，进而求解λ的取值范围. 【小问1详解】 因为恒成立， 所以． 【小问2详解】 由题意可得，， 令， 则， 即对任意的，， 所以在恒成立， 则， 故λ的取值范围为． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19. 已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记． （1）求，的值； （2）若，求n的取值； （3）是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论． 【答案】（1），． （2）n的取值为2048，2049，2050． （3）不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）由题意得到，进而可求解； （3）令，通过k为奇数，取，和k为偶数，取，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以，． 【小问2详解】 因为在中，奇数个“2的幂”和偶数个“2的幂”个数一样多（末尾有为奇数，末尾无为偶数），则与各占一半， 则，， 则，又因为，，， 所以n的取值为2048，2049，2050． 【小问3详解】 不存在，证明如下： 令，不妨设且均为自然数． ①若k为奇数，取，则． ②若k为偶数，取，则，． 综上所述，不存在这样的正整数m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2025年5月高一联考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 11. 已知平面向量，满足为单位向量，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在方向上的投影长度的范围为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为_________． 13. 在中，若，且，则的周长为_______． 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 16. 如图，在四面体中，平面平面，且，，M是的中点，P是的中点，Q在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记． （1）求，的值； （2）若，求n的取值； （3）是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $