精品解析：2025年四川省宜宾市第二中学校中考三模数学试题

宜宾市二中2025年春期九年级第三次诊断性考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的平面图形即可判断求解，掌握从不同方向看几何体的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体从上面看到的图形是， 故选：． 3. 2022年10月12号，“神舟十四号”飞行乘组，在距地面约390000米的中国空间站问天实验舱开展第三次天宫授课，大大激发了广大青少年的追求科学的兴趣，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：； 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，，平分，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由角平分线定义可得，根据平行线的性质可得，最后三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取10株水稻苗，测得苗高（单位：）统计结果如下表所示：则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 苗高（单位：） 23 24 25 26 株数 2 3 4 1 A. 24， B. 24，24 C. 25，25 D. 25， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，熟练掌握定义式解题的关键．先将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：根据表格可知，这组数据出现次数最多为25， 这组数据的众数为25 将这组数据从小到大重新排列23，23，24，24，24，25，25，25，25，26， 中间的两个数为24，25， 这组数据中位数为 故选：D． 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 数轴上的点与有理数一一对应 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，平行线的性质，正方形的判定，垂径定理，实数与数轴，掌握以上知识点是解题的关键．选项A根据平行线的性质判断即可；选项B根据正方形的判定方法判断即可；选项C根据垂径定理判断即可；选项D根据实数与数轴的关系判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故选项A是假命题，不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B是真命题，符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项C是假命题，不符合题意； D、数轴上的点与实数一一对应，不是有理数，故选项D是假命题，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. ∠ D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图象信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴，故选项C正确． 故选：C． 8. 若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，根据题意得到是解题的关键． 先根据不等式的性质求出个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，根据不等式组有三个整数解列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得 ∴不等式组解集是 ∵关于x的不等式组的整数解共有三个（3，4，5）， ∴，解得：． 故选：A． 9. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答． 【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大， ∵， 则△ABO为等腰直角三角形， ∴AB=，N为AB的中点， ∴ON=， 又∵M为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线，BC=1， 则MN=， ∴OM=ON+MN=， ∴OM的最大值为 故答案选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大． 10. 如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示， ∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上， ∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上， ∴DO⊥AC，∠DHC=90°， ∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°， ∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC， ∴△DHE≌△BCE(AAS)， ∴DH=BC， 又O是AB中点，H是AC中点， ∴HO是△ABC的中位线， 设OH=x，则BC=DH=2x， ∴OD=3x=3，∴x=1， 即BC=2x=2， 在Rt△ABC中，． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键 11. 如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题关键．由等腰三角形的性质和勾股定理可表示出的长，通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】解：，是的中线， ，，， ， 设，则 ， 点满足， ，且， ，且， ， ， 故选：A． 12. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作，垂足分别为M，N，连接，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理，垂径定理求解即可判断②；先证明，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；先由一元二次方程根与系数的关系得出的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④． 【详解】∵二次函数的图象经过两点， ∴当时，， ∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且， ∴，故①正确； 如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接， ∴M、N分别为的中点，， ∵弦互相垂直， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故②正确； 当点C在第一象限时，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵点C是反比例函数的图象上一点， ∴； 当点C在第二象限时，同理可得 ∴； 综上，或，故③错误； 设矩形两边分别为m，n， ∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等， ∴， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∵矩形对角线，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 14. 已知，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 【详解】解：， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：7． 15. 已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据可知函数的图象在一、三象限，进而根据反比例函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ，，在反比例函数的图象上，且， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，判断出函数的增减性是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，．将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形中的折叠问题、解直角三角形等知识点，灵活运用解直角三角形求线段的长度成为解题的关键． 根据题意可得，即，解得出，进而求得，再根据即可求解． 【详解】解：如图： ∵将向内翻折，点A落在上，记，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 17. 如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，将问题进行转化是解题的关键；设，得出，，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴,， ∴， 即表示的点到和点的距离的和， 如图 ∴当在线段上时，取得最小值，最小值为的长为； 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，与交于点，，，则的最大值___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，，根据是定值，是定长，进而求得的最大值，过点作交的延长于点，延长至，使得，求得，根据当为过点的圆的直径时，取得最大值，得出，解，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是定值，则也是定值， 根据“定弦定角”模型可知，当为圆的直径时，取得最大值， 如图所示，过点作交的延长于点，延长至，使得， 设，则，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴当为过点的圆的直径时，取得最大值， 此时，如图所示， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（19题10分，20题10分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，25题14分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂，有理数乘方，绝对值，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值、化简绝对值，再进行加减计算； （2）将除法化为乘法，进行乘法计算，再进行分式的减法计算，然后将化为，再代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：先得到，通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴． 即． 在和中， ∵ ∴． ∴． 21. 为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题： （1）张老师调查的学生人数是 ，其中选择“D泥塑”选修课的人数是 ，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数 ； （2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率． 【答案】（1）人，人， （2） 【解析】 【分析】本题考查了统计图与概率结合，正确认识条形统计图和扇形统计图的结合、掌握树状图或列表求概率是解题的关键． （1）根据选择“A书法”的人数与百分比即可求调查总人数，即可求出选择“D泥塑”的人数和“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数； （2）利用树状图即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得选择“A书法”的人数为人，占调查总人数百分比为， 则调查的学生人数是（人）， 其中选择“D泥塑”选修课人数是（人）， “E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为， 故答案为：人，人，； 【小问2详解】 把2人选修书法的记为、，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为， 画树状图如图： 共有种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种， ∴所选2人都是选修书法的概率为． 22. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可； （2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A作，，， 则, ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴, ∴， 又∵,， ∴mm， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴旋转的角度=． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键． 23. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点M，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解； （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可． 【详解】解：（1）过点B作轴于点M，则 在中． 设，则． 又． ． 又 ， ∴点B的坐标是 ∴反比例的解析式为． （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：． 又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中， ． ． ∴直线AB的解析式为：． 令，则． ． 令，解得． 经检验都是原方程的解． 又． ． ． ． ． 经检验，是原方程的解． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 24. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． （3）若，过点D作于点H，求的值．（用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）直线与相切，理由见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进行求证； （3）由题意易得，则有，然后根据比的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 由题意得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定、平行线的性质、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定、平行线的性质、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的横坐标为 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值，利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴右边时和当点在轴左边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时，， 如图，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得， 当点Q在y轴左边时，不存在，符合题意的点； 综上所述，点的横坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜宾市二中2025年春期九年级第三次诊断性考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年10月12号，“神舟十四号”飞行乘组，在距地面约390000米的中国空间站问天实验舱开展第三次天宫授课，大大激发了广大青少年的追求科学的兴趣，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4 如图，，平分，，，则（ ） A. B. C. D. 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取10株水稻苗，测得苗高（单位：）统计结果如下表所示：则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 苗高（单位：） 23 24 25 26 株数 2 3 4 1 A. 24， B. 24，24 C. 25，25 D. 25， 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 数轴上的点与有理数一一对应 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. ∠ D. 8. 若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上． 13. 因式分解：______． 14. 已知，则___________． 15. 已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______． 16. 如图，在矩形中，．将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则___________． 17. 如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是___________． 18. 如图，在四边形中，，与交于点，，，则的最大值___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（19题10分，20题10分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，25题14分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 20. 如图，点A、F、C、D同一条直线上，，，．求证：． 21. 为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题： （1）张老师调查的学生人数是 ，其中选择“D泥塑”选修课的人数是 ，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数 ； （2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率． 22. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 23. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 24. 如图，是外接圆，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． （3）若，过点D作于点H，求的值．（用含m，n的代数式表示） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$