江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2024-2025学年高三上学期阶段测试（一）数学试题

提 示 : 本 卷 A 3 纸 张 绝密 启用前 ID: 24bwZUGW4# 总分：150分 注意: 请在答题卡上作答 陆慕高级中学2025届数学阶段训练1 一、单选题 (本大题共8小题，共40分) 1. 已知命题 p：有些实数的相反数是正数，则 是 2. 若复数 的实部与虚部相等，则实数 m 的值为 3. 已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 ，若 ，则 4. 已知 ， ， ，则 5. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的 6. 已知实数 a，b 满足 ，则 的取值范围是 7. 已知双曲线 ，若一过焦点 F 的斜率 的直线与双曲线交于 A、B 两点 （A、B 在同一支上），且满足 ，则双曲线的离心率 8. 设 a、b、 满足 ， ， ，则 pØ A. ， B. ， C. ， D. ，x" Î R 0x- < x" Î R 0x- ≤ 0x$ Î R 0 0x- ≤ 0x$ Î R 0 0x- < 2 i i z m + = - A. B. C. 1 D. 33- 1- 2(164 )N s ， ( 170) 0.3P X =≥ (158 170)P X< < = A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 1 ( ) 4 P A = 1 ( | ) 3 P B A = 1 ( | ) 2 P B A = ( )P B = A. B. C. D. 5 12 5 8 3 8 1 4 a b ( ) ( ) 0+ × - =a b a b = -a b =a b A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 24 2 5a ab b- + = 2 24a b+ A. B. C. D.( 10]-¥ ， [10 ) + ¥， 10 10 3 é ù ê úë û ， 20 10 3 é ù ê úë û ， 2 2 2 2: 1 ( 0 0) x y C a b a b - = > >， 2 2k = 3AF FB= uuur uuur e = A. B. C. D. 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 (0 1)c Î ， sina b= cosb c= tanc a= A. ， B. ， C. ， D. ， 2a c b+ < 2ac b< 2a c b+ < 2ac b> 2a c b+ > 2ac b< 2a c b+ > 2ac b> 二、多选题 (本大题共3小题，共18分)(部分选对的得部分分) 9. 已知函数 ，则下列说法正确的是 10.如图，在棱长为 2 的正方体 中，E 为 BC 的中点，若一点 P 在底面 ABCD 内（包括边界）移 动，且满足 ，则 11. 已知函数 ，则下列说法正确的有 三、填空题 (本大题共3小题，共15分) 12. 的展开式中 项的系数是________. 13.在数列 中，已知 ， ，则数列 的前 2 024 项和 __________． 14.已知集合 A，B，C 均是集合 的非空真子集，则以集合 A，B，C 为元素所构成的集合 的个数为________. 2( ) 2 sin cos 2 3 cosf x x x x= - A. 的值域为 B. 的对称中心为 ， C. 在 上的单减区间为 D. 在 上的极值点个数为 1 ( )f x [ 2 3 2 3]- - -， ( )f x π π 0 6 2 kæ ö + ç ÷ è ø ， k Î Z ( )f x π 0 2 æ ö ç ÷ è ø ， π π 6 2 æ ö ç ÷ è ø ， ( )f x 5 0 π 6 æ ö ç ÷ è ø ， 1 1 1 1ABCD A B C D- 1 1B P D E^ A. 与平面 的夹角的正弦值为 B. 点到 的距离为 C. 线段 的长度的最大值为 D. 与 的数量积的范围是 1D E 1 1CC D D 1 3 1A 1D E 4 2 3 1B P 2 2 PA uuur PE uuur 4 1 5 é ù - ê úë û ， |( ) e l| nxf x a a x= - - A. 若 ，则 的值域为 B. 若 ，则过原点有且仅有一条直线与曲线 相切 C. 存在 ，使得 有三个零点 D. 若 ，则 a 的取值范围为 0a < ( )f x R 1a = ( )y f x= 0a > ( )f x ( ) 0f x ≥ [0 e] ， 8 2 2x x æ ö +ç ÷ è ø 10x { }na 1 1 2 a = 1( 2) n nn a na++ = { }na 2 024S = {1 3 5 7 9} ，，，， { }A B C ， ， 1/2 四、解答题 (本大题共5小题，共77分) 15.（13 分）已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且 . （1）求 B； （2）若 ， 的面积为 ，D 为 AC 边上一点，满足 ，求 BD 的长． 16.（15 分）已知函数 . （1）若曲线 在 处的切线与 y 轴垂直，求 的极值. （2）若 在 只有一个零点，求 a. 17.（ 15 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是直角梯形， ， ，且 ， .   （1）若 O 为 AD 的中点，证明：平面 平面 ABCD； （2）若 ， ，线段 PD 上的点 M 满足 ，且平面 PCB 与平面 ACM 夹 角的余弦值为 ，求实数 的值. ABC△ cos 3 sinb A b A a c+ = + 2b = ABC△ 3 2CD AD= 2 )( ) (e xf x x ax= - ( )y f x= 1x -= ( )y f x= ( )f x (0 ) + ¥， P ABCD- AB CD∥ 90ABCÐ = ° PA PD AD= = PC PB= POC ^ 60CDAÐ = ° 1 1 2 AB CD= = DM DPl= uuuur uuur 42 7 l 18.（17 分）无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. （1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值 的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 附： 其中 （2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火 点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人 机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次起火点必定 被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数 X 的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 19.（17 分）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且四边形 的面积为 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 P，Q 关于原点的对称点分别为 M，N，若 是一个与 m 无关的常数，则当四边形 PQMN 面积最大时，求直线 l 的方程. 0.001a = 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d c - = + + + + n a b c d= + + + 4 5 1 2 2 3 2 2 2 2 1 ( 0):C x y a b a b + = > > 1 2 1 F 2F 1A 2A 1 1 2 2A F A F 2 3 ): ( 0y kx m ml = + > 2 2| | | |OP OQ+ 2/2 数学 姓名：______________ 座位号：______________ 1. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案. 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则， 故选：B. 2. 若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故，解得 ， 故选：D 3. 已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则 故选：C． 5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知实数a，b满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合和运算求解. 【详解】因为，即， 且， 即，解得， 当且仅当，时，， 当且仅当时，， 所以的取值范围是. 故选：C. 7. 已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，再根据条件得，联立方程即可得出结果. 【详解】假设F为右焦点， 根据题意，设直线方程为，， 由，消得到， 易知，由韦达定理得， 又因为，所以，得到， 将代入，得到， 将代入，得到， 又，所以，得到， 故选：A. 8. 设、、满足，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上单调性，结合，可得出与的大小关系，再结合基本不等式以及不等式的基本性质可得出与的大小关系. 【详解】、、且，，，则， 先比较与的大小关系， 构造函数，其中， 则，所以，， 则， 令，其中，则， 令，其中，所以，， 所以，函数在上单调递增，故， 所以，函数在上单调递增，则，即， 因为，则， 所以，， 所以，， 因为，所以， ， 所以，对任意的，， 故函数在上单调递减， 因为，则，故， 由基本不等式可得（，故取不了等号），所以，， 故选：A. 【点睛】方法点睛： 在解决比较两个数大小的问题时，常常有三种解决方法： （1）作差法，即两个数作差，若，则，若，则； （2）作商法，即两个数坐商，若，则，若，则； （3）单调性法，即借助函数的单调性比较两个数的大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为， C. 在上的单减区间为 D. 在上的极值点个数为1 【答案】AD 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，借助正弦型函数的值域、对称性、单调性与极值点逐项计算并判断即可得. 【详解】， 对A：由，则，故A正确； 对B：令，，解得，， 故的对称中心为，，故B错误； 对C：令，，解得，， 则在上的单减区间为，故C错误； 对D：令，，即，， 则在上的极值点有一个，故D正确. 故选：AD. 10如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的值域为 B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切 C. 存在，使得有三个零点 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得，此方程只有一个根，故B正确；C选项，分与两种情况，推导出至多两个零点；D选项，先得到不合要求，满足要求，考虑，时，满足要求，故只需时，恒成立，若，，故不合要求，若，结合导函数得到函数单调性和最值，得到满足要求，得到答案. 【详解】A选项，若，则， 故， 当趋近于0时，趋近于负无穷，此时趋近于负无穷， 当趋近于正无穷时，和都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷， 因此函数的值域为R，A正确； B选项，函数定义域为，时，， 因为时，，故， 则，设切点坐标为，故， 则在处，的切线方程为， 把点代入切线方程得，， 化简得， 当时，，此方程无解， 当时，，此方程无解， 当时，，且函数此时为增函数， 故方程只有这1个解， 即过原点有且仅有一条切线和相切，B正确； C选项，，当时，，， 则，故单调递减，故在此区间上函数最多一个零点， 要想这个零点存在，需， 当时，，， 则，显然这是一个增函数， 要想函数零点尽可能多，则需存在一个使得成立， 此时在上单调递减，在上单调递增， 若在上存在一个零点，则， 故此时在上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求， 若在上不存在零点，则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数最多有两个零点，不合要求， 综上，不存在，使得函数存在三个零点，C错误； D选项，由A知，当时，函数的值域为R，不满足， 当时，，满足要求， 当时，时，，满足要求， 故只需时，恒成立， 若，，故不合要求， 若，， 则，显然这是一个增函数， ， 函数单调递增，则， 故满足题意，又也满足要求， 因此，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数是________. 【答案】112 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式得，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：112. 13. 在数列中，已知，，则数列的前2024项和__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，利用累乘法得到数列的通项公式，再用裂项相消，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因此， 故答案为：. 14. 已知集合A，B，C均是集合的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合的个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合子集个数结论，得到集合A，B，C的总数，再用组合知识计算即可. 【详解】集合A，B，C均是集合的非空真子集,则集合A，B，C的总数为. 然后从30个中任选3个组成集合即可.则组合数为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得. 【小问1详解】 由正弦定理有， 因为， 所以， 化简得， 由有，可得， 因为， 所以，则． 【小问2详解】 由有 又可得， 联立解得，所以为正三角形， 所以， 在中，由余弦定理得． 故的长为. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，. （1）若为的中点，证明：平面平面； （2）若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，利用直角梯形中位线的性质，线面垂直的性质判定推理即可； （2）通过正三角形证明，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用二面角得向量求法计算求解即可. 【小问1详解】 取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 18. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. （1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 晴天 雨天 命中 45 30 不命中 5 20 附：其中 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）分布列见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断； （2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得 【小问1详解】 零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关 晴天 雨天 合计 命中 45 30 75 不命中 5 20 25 合计 50 50 100 因为， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关. 【小问2详解】 （i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为 ， . X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . （ii）击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 19. 已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程； （2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程． 【小问1详解】 ， ，所以， 因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ， 联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2， 所以，. ， ， 因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，， ，， 点O到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即m2＝3， 因为m＞0，所以时，取得最大值为， 因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大， 所以或． 学科网（北京）股份有限公司 $$