精品解析：福建省泉州外国语学校、东海中学等四校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷　

2024-2025学年福建省泉州外国语学校、东海中学等四校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A. B. C. 0 D. 12 3. 把分式中的的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，表示y是x的函数的是（    ） A. B. C. D. 6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A 1 B. 3 C. D. 8. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A. B. C. D. 9. 在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 10. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 13. 已知一次函数图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则______． 14. 若分式方程有增根，则m的值为________． 15. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，，若平分，则______度． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？ 21. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、中点，连接、． （1）求证：； （2）若，且，，求的长． 22. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 23. 阅读与思考： 在平面直角坐标系中，直线l过点且平行于x轴，对于点M和平行四边形，给出如下定义：点M关于直线l的对称点落在平行四边形所围成的图形上及其内部，则称点M是平行四边形关于直线l的可触碰点．已知点 （1）平行四边形对角线交点坐标为______；是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是______． （2）已知点P是直线上的一动点，当P是平行四边形关于直线l的可触碰点时，求满足条件的所有点P组成的几何图形的面积． 24. 已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，已知点 （1）求直线的函数表达式． （2）是直线上一动点，且和的面积相等，求点P坐标． （3）如图2，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州外国语学校、东海中学等四校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选： 2. 在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A. B. C. 0 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的值，根据题意，可得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 故选： 3. 把分式中的的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得：，即可得到答案． 【详解】把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得： ， 即分式的值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列图形中，表示y是x的函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 【详解】解：A对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D 6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为第四象限内的点，可得 ，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵为第一象限内的点， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：B 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 7. 关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于的分式方程，求解检验即可． 【详解】解：把代入方程得：， 在方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故选：C． 8. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得函数图象经过的象限，以及增减性，据此求解即可． 【详解】解：反比例函数函数解析式为，， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 点在第一象限， ， ， 故选： 9. 在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．结合平行四边形的性质证明，，即可证明，由全等三角形的性质可得，，然后计算四边形的周长即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的周长． 故选：C． 10. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴ ∴m=12 ∴ ∵在反比例函数图象上， ∴ ∴a=6 ∵ ∴或 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零可得，再解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案： 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到x轴距离是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离． 13. 已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则，表示出沿轴向上平移个单位得到的函数解析式，据此可解决问题，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 【详解】解：由题知，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得一次函数的解析式为， 因为一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的， 所以， 故答案为：． 14. 若分式方程有增根，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程的两边都乘以，得 ， 化简，得 ， 原方程的增根为， 把代入， 得， 故答案为：1． 15. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，，若平分，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，证明出是等边三角形，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，设，根据平行四边形面积计算公式可得，再由两点中点坐标公式得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵的面积为24， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵反比例函数图象经过点D， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将立方根，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：． 经检验是原方程的解． 所以原方程的解是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答． 【详解】 ， 当时，原式． 20. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】原计划每天种植梨树500棵 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵 由题可知： 解得： 经检验：是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天种植梨树500棵． 【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键． 21. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）若，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 22. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】（1）；，且x为正整数； （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； （3）100 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 23. 阅读与思考： 在平面直角坐标系中，直线l过点且平行于x轴，对于点M和平行四边形，给出如下定义：点M关于直线l的对称点落在平行四边形所围成的图形上及其内部，则称点M是平行四边形关于直线l的可触碰点．已知点 （1）平行四边形对角线交点坐标为______；是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是______． （2）已知点P是直线上的一动点，当P是平行四边形关于直线l的可触碰点时，求满足条件的所有点P组成的几何图形的面积． 【答案】（1）， （2）满足条件的所有点P组成的几何图形的面积为 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解可触碰点的定义． （1）根据平行四边形性质可得对角线交点坐标为，即，求出关于直线直线的对称点为，关于直线直线的对称点为，即得a的取值范围是； （2）求出点A、B、C、D关于直线的对称点分别为，，，，根据P是直线上的一动点，且是平行四边形ABCD关于直线l的可触碰点，分别将，，，代入，知，，为满足条件的所有点P组成的几何图形的顶点，求出直线的解析式为，联立，解得满足条件的所有点P组成的几何图形另一个顶点为，再根据三角形面积公式列式计算可得答案． 【小问1详解】 解：，，，， 平行四边形对角线交点坐标为，即， 关于直线直线的对称点为，关于直线直线的对称点为， 是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意：点A、B、C、D关于直线的对称点分别为，，，， 是直线上的一动点，且是平行四边形关于直线l的可触碰点， 将代入得：， 解得，不合题意， 将代入得：， 解得，符合题， 将代入得：， 解得，符合题意， 将代入：， 解得，符合题意， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 由，令有 联立， 解得， 满足条件的所有点P组成的几何图形为以，，，为顶点的四边形，如图， 满足条件的所有点P组成的几何图形的面积 满足条件的所有点P组成的几何图形的面积为 24. 已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析，反比例函数的性质， （1）将点坐标代入求出即可； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可； （3）由反比例函数的性质可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解； 根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问2详解】 ∵中， ∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵反比例函数， ∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵，且， ∴最大值为，最小值为， ∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，且， ∴的最大值为，最小值为， ∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大， ∴，， ∴， ②－①，得：， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，已知点 （1）求直线的函数表达式． （2）是直线上一动点，且和的面积相等，求点P坐标． （3）如图2，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的函数解析式为 （2）P的坐标为或； （3）在直线m上存在点Q，使得是等腰直角三角形，Q点坐标为：或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得直线的函数解析式为； （2）设，①当P点在线段AB上，，可解得；   ②当P在线段BA延长线上时，，不合题意；③当点P在线段AB的延长线上时，如图，，可解得； （3）设，求出，，，①当时，即，解得：或，当时，，，，不是直角三角形，当时，，，，是直角三角形，故；②当，即，同理可得；③当时，即，解得在直线上，此时A，B，Q共线，不能组成三角形． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 把、代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设， ①当P点在线段上，如图， ，， ， 和的面积相等， ， 即， 解得， ； ②当P在线段的延长线上时，，不合题意； ③当点P在线段的延长线上时，如图， 和的面积相等， ，即， 解得， ， 综上所述，P的坐标为或； 【小问3详解】 解：在直线m上存在点Q，使得等腰直角三角形，理由如下： 设， ，， ，，， ①当时，即， 解得：或， 当时，，，，不是直角三角形， 当时，，，，是直角三角形， ； ②当时，即， 解得：， 当时，，，，不是直角三角形， 当时，，，，是直角三角形， ； ③当时，即， 解得：， 在直线上，此时A，B，Q共线，不能组成三角形， 不符合题意，舍去； 综上所述，Q点坐标为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$