精品解析：浙江省金华市卓越联盟2024-2025学年高一下学期5月阶段性联考数学试题

2024学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，集合，则集合. 故选：A. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 4. 已知函数的定义域为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式可求出的值. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以，. 故选：B. 5. 轴截面为正方形的圆柱，侧面积为，体积为，若，则底面半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面积和体积公式即可求解. 【详解】由题意可知分别为圆锥的底面圆半径和高， 又，得，解得， 故选：D 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断． 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递减，所以，即， 所以， 故选：A． 7. 已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ） A. 开口向上，对称轴为的抛物线 B. 开口向上，对称轴为的抛物线 C. 开口向下，对称轴为的抛物线 D. 开口向下，对称轴为的抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集为，可得，的根为或2，然后由韦达定理可得，据此可得对称轴. 【详解】因不等式的解集为，则的根为或2， 则由韦达定理可得.又注意到 ，则开口向下，对称轴为. 故选：C 8. 在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，易得，设，可得，利用平面向量基本定理求出的值，即可求得答案. 【详解】 如图，点是的中点，则， 因点在线段上，则存在，使得，又， 则得，即， 因三点共线，故，解得， 则，即，可得，即. 故选：D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知为正方体，，均为正四棱锥，所有棱长均为1，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在棱所在的直线中，与直线异面的共有10条 C. 以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的表面积是 D. 以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的体积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接相交于，连接相交于，通过向量共线，可判断A，由异面直线概念可判断B，由圆锥表面积、体积公式可判断D. 【详解】对于A： 连接相交于，连接相交于， 由题意可得共线，且， 在正方体中易知： ，， 所以， 所以，A正确； 对于B，由异面直线判定定理可知与直线异面的直线有：共10条，正确； 对于C，D，以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥，母线长为1，底面半径为，高 所以其表面积：， 体积为：，故C对，D错， 故选：ABC 10. 设复数，为的共轭复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，设，，且，计算可判断；对于CD，利用赋值法可判断. 【详解】对于A，设，，且， 所以， 所以 ，故A正确； 对于B，设，，且， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，取，，则， 所以，但，故C错误； 对于D，取，，则， 显然不成立，故D错误. 故选：AB. 11. 已知，，函数，此函数图象上任意一点，均满足为定值．过点做轴的平行线，交于点，过点做的平行线，交轴于点．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平行四边形四条边长度之积为定值8 D. 平行四边形面积为定值2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可判断AB；由已知得出即可判断CD． 【详解】对于AB，由已知，，， 所以， 因为为定值， 所以，故A正确，B错误； 对于C，由题可知，，则，， 所以平行四边形四条边长度之积为，故C正确； 对于D，平行四边形面积为，故D正确； 故选：ACD． 非选择题部分 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知某台机器生产一种零件，在10天中，每天生产的次品数为：1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，则该机器生产次品数的中位数为_____. 【答案】2.5## 【解析】 【分析】把给定数据按由小到大的顺序排列，再求出中位数作答. 【详解】10天中的次品数由小到大排成一列为：0，0， 1，1，2，3，3，3，4，4， 所以该机床的次品数的中位数为. 故答案为：2.5 13. 在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底，可得关于x的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，， 则 ，又，. 则 ，又，则，则. 故答案为： 14. 满足方程且的所有实数根的和为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】根据反比例函数与正弦函数的图象与性质可知图象关于点对称，则方程的实根也关于点对称，结合数形结合的思想即可求解. 详解】设， 易知函数关于点对称，所以函数关于点对称； 对于函数， ，， 所以，则图象关于点对称； 所以方程的实根也关于点对称， 作出函数的图象，如图， 由图可知在且上有4个交点， 设为，且， 则，所以， 即方程的所有实根之和为12. 故答案为：12 四.解答题（本题共5小题，15题13分，16~17题15分，18~19题17分，77分.） 15. 记的内角、、的对边分别为、、（、、互不相等），已知，点与点分别在直线的异侧，且. （1）求证：； （2）若，，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦型函数的基本性质可证得结论成立； （2）分析可知为等边三角形，求出的长，结合正弦定理以及（1）中的结论、二倍角的正弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的值，进而可得出的长以及的值，利用余弦定理可求出的长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即，即， 因为、，则，由可得，故， 所以或， 若，则，可得，这与矛盾，故. 【小问2详解】 因为，，故为等边三角形， 所以，， 由（1）知，即， 因为，故，可得，所以， 又因为，则，，故， 由余弦定理可得， 故. 16. 甲乙两个同学想对本市20岁以上的人群做一个网络消费水平的研究，已知本市20岁以上的人群男女性别比例为21:20.两人决定用分层抽样的方法，随机选一部分人了解月平均网购水平.甲负责男性，乙负责女性.如图是乙利用随机抽样的数据完成的频率分布直方图： （1）求的值； （2）估计被调查的女性中月均网购水平的第30百分位数（单位：百元）； （3）若已知被甲调查的男性月均网购水平的均值为5百元.估计被调查的女性中月均网购水平的均值，并求被调查的全体人员网购水平的均值.（精确到0.1）（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（单位：百元） 【答案】（1） （2）3（百元） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出. （2）利用频率分布直方图，结合第30百分位数的定义求解. （3）利用频率分布直方图估计女性月均网购水平的均值，再利用分层抽样的均值公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以. 【小问2详解】 数据在的频率为，在的频率为， 因此第30百分位数，由，得， 所以第30百分位数是3百元. 【小问3详解】 设女性月均网购水平的均值为，男性月均网购水平的均值为，则， （百元）， 所以被调查的全体人员网购水平的均值为：（百元）. 17. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且满足 （1）求与的解析式； （2）设函数，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合函数奇偶性的性质，列出方程组，求解即可得出答案； （2）设，利用作差法可证明在上单调递增，进而可求解. 【小问1详解】 ，又是偶函数，是奇函数 ， ， . 【小问2详解】 ，， 设 ， ， 在上单调递增， ， . 18. 已知函数，，满足相邻两条对称轴之间的距离为，对任意实数恒成立. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移，再把各点横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求的值域； （3）当时，解不等式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离求出周期，进而求出，再根据求出即可； （2）根据题意写出，由推出，进而求出的值域即可； （3）由，得，方法一：分别作出在时的图象，利用数形结合求解不等式；方法二：当时，分别求的值域，从而判断不等式在时成立；当，时，；当时，利用分别求的单调性从而判断不等式在时不成立即可. 小问1详解】 因为两条相邻对称轴之间的距离为，所以，故， 又，即时取得最大值，所以 解得，又，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意知， 因为，所以，，， 故的值域为. 【小问3详解】 由，得， 方法一：当时，分别作出的图象，如图所示， 当，时，， 所以. 方法二：当时，，， 所以，而， 故不等式在时成立； 当，时，； 当时，，所以在单调递减，所以， 而在单调递增，所以， 故不等式在时不成立， 所以. 19. 如图，已知、垂直于所在平面，且位于平面同侧，，，. （1）判断并证明以点为球心，为半径的球与平面的位置关系（当球心到平面的距离等于半径时，球与平面相切，当球心到平面的距离小于半径时，球与平面相交，当球心到平面的距离大于半径时，球与平面相离）； （2）以点为球心为半径的球与线段交于点，与线段交于点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面交于，求二面角正切值. 【答案】（1）相交，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，推导出平面，平面，则点到平面的距离等于，求出的长，并与球的半径比较大小，即可得出结论； （2）过作交的延长线与于，证明出平面，可知与平面所成角为，求出、的长，即可得解； （3）解法一：延长、交于点，连接，证明出平面，可知二面角的平面角为，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系可求得结果； 解法二：二面角的平面角为，由射影面积法可得，利用三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系可求得结果. 【小问1详解】 取的中点，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于， 因为，则，故， 因此，以为球心为半径的球与平面相交. 【小问2详解】 过作交的延长线与于， 因为平面，平面，所以， 因为，即， 又因为，、平面，所以平面，故平面， 因为，，，故四边形为矩形， 所以，，则， 又因为，故， 同理可得， 因为，所以，故， 所以与平面所成角等价于与平面所成角， 因为平面，故与平面所成角为， 因为，所以， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 小问3详解】 方法一：延长、交于点，连接， 因为，，，所以， 故，则为的中点， 因为，，故， 因为，故为等腰直角三角形，所以， 因为，所以，即， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 在中，，故二面角的正切值为. 方法二：面积射影定理， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角， 因为平面，平面，由面积射影定理知， 因为， 由（2）可得，，， ，故， 故， 因此，，所以， 故，因此二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 轴截面为正方形的圆柱，侧面积为，体积为，若，则底面半径是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ） A. 开口向上，对称轴为的抛物线 B. 开口向上，对称轴为的抛物线 C. 开口向下，对称轴为抛物线 D. 开口向下，对称轴为的抛物线 8. 在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（ ） A 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知为正方体，，均为正四棱锥，所有棱长均为1，则下列说法正确的是（ ） A B. 在棱所在的直线中，与直线异面的共有10条 C. 以为顶点，正方形外接圆为底面圆锥的表面积是 D. 以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的体积是 10. 设复数，为的共轭复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，，函数，此函数图象上任意一点，均满足为定值．过点做轴的平行线，交于点，过点做的平行线，交轴于点．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平行四边形四条边长度之积为定值8 D. 平行四边形面积为定值2 非选择题部分 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知某台机器生产一种零件，在10天中，每天生产的次品数为：1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，则该机器生产次品数的中位数为_____. 13. 在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是_____. 14. 满足方程且的所有实数根的和为_____. 四.解答题（本题共5小题，15题13分，16~17题15分，18~19题17分，77分.） 15. 记的内角、、的对边分别为、、（、、互不相等），已知，点与点分别在直线的异侧，且. （1）求证：； （2）若，，求线段的长. 16. 甲乙两个同学想对本市20岁以上的人群做一个网络消费水平的研究，已知本市20岁以上的人群男女性别比例为21:20.两人决定用分层抽样的方法，随机选一部分人了解月平均网购水平.甲负责男性，乙负责女性.如图是乙利用随机抽样的数据完成的频率分布直方图： （1）求的值； （2）估计被调查的女性中月均网购水平的第30百分位数（单位：百元）； （3）若已知被甲调查男性月均网购水平的均值为5百元.估计被调查的女性中月均网购水平的均值，并求被调查的全体人员网购水平的均值.（精确到0.1）（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（单位：百元） 17. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且满足 （1）求与的解析式； （2）设函数，且恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，，满足相邻两条对称轴之间的距离为，对任意实数恒成立. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移，再把各点横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求的值域； （3）当时，解不等式. 19. 如图，已知、垂直于所在平面，且位于平面同侧，，，. （1）判断并证明以点为球心，为半径的球与平面的位置关系（当球心到平面的距离等于半径时，球与平面相切，当球心到平面的距离小于半径时，球与平面相交，当球心到平面的距离大于半径时，球与平面相离）； （2）以点为球心为半径的球与线段交于点，与线段交于点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面交于，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $