培优专题 第四章 因式分解02 因式分解的应用（整式的恒等变形）（3知识方法+6难点题型+练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 因式分解的应用（整式恒等变形） 整式乘法与因式分解 ·运用乘法公式和因式分解对整式进行公式变形解决问题，在运用公式时，需要注意： ①熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； ②根据所求代数式特点，模仿套用公式； ③既能正用，又可逆用，综合运用公式； 恒等变形中的乘法公式 ·可用的乘法公式： 平方差公式 完全平方公式 完全平方和： 完全平方差： 立方和、差公式 立方和公式：因式分解： 立方差公式： 因式分解： 说明：结果是立方和还是立方差由第一个因式是和还是差决定 立方和、差公式 推广 和： 差： 完全立方公式 和： 因式分解： 差： 因式分解： 完全立方公式变形 ； 恒等变形及恒等变形中的思想方法 ·恒等变形：当然如果遇到不能直接使用乘法公式的问题，可以适当创造条件使之符合乘法公式的特点，这种通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形． ·恒等变形的方法： 项目 说明 整体代入 当整式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时，需要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把紧密联系的量作为一个整体来处理，运用“整体思想”可以使问题简化 消元降次 降次：未知数的次数较高，需要降次，降为一次或者是二次；， 消元：当未知数多的时候就要想到消元（代入消元、加减消元），消掉未知数，变为一元； 其中的数学逻辑思维：化归（化繁为简） 配方法 ①配方后利用非负性得到未知数满足的条件；②配方后结合所给条件进行求值。 关键：找到合适的平方项和交叉项，有效地进行配方 因式分解与图形等面积（平方类公式） 例1．（24-25八年级上·北京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 【答案】问题1：①③④⑤问题2：（1）能，画图见详解，，（答案不唯一）（2）5或7 【知识点】图形类规律探索、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 问题1：根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合面积加减计算逐个判断即可； 问题2：（1）根据整式得到2个大正方形、1个小正方形、3个长方形，然后画出图形即可解答； （2）根据因式分解平方项凑长方形的长宽，进而求解即可解答． 【详解】解：问题1：由图形可得，、，故①正确， ，故②错误； 由图形可得，，故③正确； 、， ，故④正确； ，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 问题2：（1）根据题意，图形如下， 此长方形面积为：； （2）由题意可得， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：5或7． 破题关键:根据因式分解平方项凑长方形的长宽. 【变式1】学习整式乘法时，小优老师拿出三种型号的卡片，如图1：型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_______； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽． (4)选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由． (5)如图5，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．试用不同的方法计算这个图形的面积，探究直角三角形三边的关系，试说明理由． 【答案】(1) (2)15 (3)见解析 (4)若为定值时， (5) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，整式加减运算．解题的关键是学会利用参数解决问题和数形结合的思想，解题方法是面积法，属于中考常考题型． （1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）由，画出图形即可； （4）设长为，求出，即可解决问题； （5）由题意得大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积和为：， 因此有， 故答案为：； （2）解：设，， ∴，， ∴ ； （3）解：由图可知：， 图形如下， ； （4）解：，理由如下： 设长为． ，， ， 由题意得，若Q为定值，则Q将不随的变化而变化， 可知当时，即时，为定值， ∴若为定值时，； （5）解：大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为， ∴， 整理得． 因式分解与图形等体积（立方类公式） 例2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． （1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式等内容，熟练掌握相关知识是正确解答此题的关键． (1)根据图形面积即可得解； (2)根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解； (3)参考上述结论计算求解即可． 【详解】解：（1）由图形等面积可得；；； 故答案为：；； （2）正方体的体积为， 由图可知正方体被分割成8部分， 其中1个边长为的小正方体， 1个边长为的小正方体， 3个底面边长为，高为的长方体， 3个底面边长为，高为的长方体， ， 故答案为：； （3），，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； (2)观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________； (3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解的等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 【答案】(1)、； (2) (3)①；②的值为； ③ 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了通过不同方式计算图形面积或几何体体积来推导因式分解等式．掌握图形结合的方法是解题的关键． 根据图形列出其面积或体积的代数式，然后推导出因式分解等式，并运用这些等式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：； ②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：； ①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：． （2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为． （3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：， 从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以； ②由①知，移项可得：， 进一步变形为：， 已知，，代入可得： ； ③对因式分解，观察发现． 整式恒等变形解图形规律类问题 例3．有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为，，，分别表示出，，，再代入，，然后利用因式分解得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ∴，，， ∵，且， ∴，且， 整理得，且， ∵可得，， ∴， ∵可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】 (1)如图1，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (2)如图2，从边长为8的正方形中剪掉边长为7的正方形，从边长为6的正方形中剪掉边长为5的正方形，……，从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (3)如图3，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，……．从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____，请你说明等式的正确性； (4)某地想打造如图4所示的立体同心圆花坛，相间栽种绿植和花，俯视图如图5所示，每个圆环的宽度均为，一共12个同心圆，即最内圈圆的半径为，最外圈圆的半径为，阴影部分为绿植，绿植的栽种总面积为是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式的灵活运用． （1）根据图①和图②分别求出阴影与长方形的面积，再由阴影与长方形的面积相等列出等式即可； （2）根据图①和图②分别求出阴影与长方形的面积，再由阴影与长方形的面积相等列出等式即可； （3）根据（1）（2）总结得出，再根据计算即可； （4）根据题意得出绿植的栽种总面积为：，再运用（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：图1中，图①阴影部分的面积为， 图②长方形的面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：图2中，图①阴影部分的面积为 ， 图②长方形的面积为， ∴， 故答案为：． （3）解：图3中，验证的等式为 ∵ ∴． （4）解：图4中，绿植的栽种总面积为： ． 运用整式恒等变形解整除问题 例4．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】(1)91 (2)能够被2整除，理由见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可； （2）算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（）， ∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是． （2）解：能够被2整除．                             理由如下： 由题意，得． 能被2整除， 由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． 【变式4】（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析 (2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 因式分解与整式恒等变形解新定义问题 例5．一个各数位均不相等且不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“明德数”．例如：四位数，，是“明德数”．若是一个“明德数”，则这个数的最小值为 ；若是一个“明德数”，为整数，，则满足条件的的值是 ． 【答案】 1243 5346 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，要使“明德数”最小，则千位，百位，再根据新定义得到，可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，由为整数，得到，分别列出的值，根据是，得到，分别求出b的值，再根据题意即可得出结果． 【详解】解：根据题意：要使“明德数”最小， 则， ∵是一个“明德数”， ∴， ∴，即， 时，这个数最小， ∴这个数为； ∵是一个“明德数”， ∴， ， ， ， ， 为整数， 为整数， 为整数，即为9的整数倍， ， ，则， 或或或或或或或或， ， ，即， ， ，即， ， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意，此时，即； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：1243；． 【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 【变式5-2】数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 【变式5-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数        B．绝对值相等        C．互为倒数 (2)已知，，求的值； (3)计算：的值． 【答案】(1)C (2) (3)2024 【知识点】提公因式法分解因式、二次根式的乘法、分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化方法是解题的关键． （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简，求出的值，将所求式子分解因式后代入计算即可； （3）先将括号内每个加数分母有理化，再相加化简，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数， 故选：C； （2）解：由题意得：， ， ， ． （3）解：      ． 【变式5-4】有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，涉及平方差公式的应用、方程的解，先利用平方差公式可得，再根据题意，得到为连续正整数时，是方程的解，再逐一判断即可得到答案．正确地找出规律是解题的关键． 【详解】解：， 当，时，代入， ，是方程的一组解， 故①正确； ，， 当时，， 则， ， 正整数，满足， ，则， 即， 是四个连续的正整数，则连续四个正整数一定是方程的一组解， 故②正确； ③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解， ∴和和为连续的整数时，一定是方程， ∵， ∴， ∴， 当时，则或或或： 当时，则或或或， 当时，则或或， 当时，则或， 当时，则，共10组解； 当时，则或， 当时，则或或， 当时，则，共6组解； 当时，则或， 当时，则，共3组解； 当时，则，共1组解； ∴若，则方程共有组解， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①②，共2个， 故选：C． 运用因式分解与恒等变形求最值 例6．一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是 ；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过时，，当时，，根据能被17整除，可知，中必有一个是的整数倍，即为，68，，然后根据“的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题． 【详解】解：设较大的两位数是，则较小的两位数是， 则， ∵A是四位数， 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴ 的最小值是， ∵能被17整除， ∴，中必有一个是的整数倍，即为，68，； 当时，，数，这时不能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时不能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，不符合题意； 故满足条件的的最小值是， 故答案为：1023，． 【变式6-1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 【变式6-2】（2025·重庆·一模）一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是 ．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 102 600 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，求代数式的值，理解新定义是解答本题的关键． 根据“不二数”写出最小的“不二数”即可；设m的百位数字为h，十位数字是t，先根据一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积筛选出两位数，计算出对应的n，k，判断是否为偶数，筛选出符合条件的m即可． 【详解】解：由题意得，最小的“不二数”是102． 设m的百位数字为h，十位数字是t， 当时，两位数是13，不符合题意； 当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 同理可求，当时，所得两位数均不符合题意． 当时，， ， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； ∴． 当时，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或或， ∴满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为． 故答案为：102；600． 【变式6-3】对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】7997 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解的应用、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了新定义——“扩张数”．熟练掌握“扩张数”的定义，十进制数表达式，进率，各数位数字取值范围，分类讨论，是解决问题的关键． 根据，当时，，是4的倍数，是8 的倍数，分或16，或12或16，对字母赋值解答；当时，，是4的倍数，是8的倍数，分或16，或16，对字母赋值解答，比较3个N值即得． 【详解】∵，，，， ∴当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8 的倍数． ∴当， 得， ，，． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，，，，，． 当， 得，． ∵是5的倍数， ∴只有，，，是5的倍数． 此时，，． ∴． 当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8的倍数． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，；， ． 当， 得，； ，． 只有，，，是5的倍数． 此时，，或． ∴，或． ∵． ∴N的最大值为：7997． 故答案为：7997． 1.【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 【答案】（1）；（2）①144；②；（3） 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并灵活运用是解题的关键． （1）用两种方法表示图②的面积即可得到恒等式； （2）①整体代入求值即可； ②根据（1）中的结论因式分解即可； （3）用两种不同的方法表示图3的体积，即可得到恒等式． 【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积， ∴； （2）①因为， 所以； ②， 故答案为：； （3）因为原几何体的体积，新几何体的体积， 所以． 2.若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 【答案】(1)10（答案不唯一） (2)32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由见解析 (3)符合条件的一个值为5（答案不唯一） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于20的“完美平方数数”即可求解； （2）根据新定义，分别判断32，33； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美平方数”的定义得出即可； 【详解】（1）解：， 是“完美平方数”； 故答案为：10（答案不唯一）； （2）解：依题意，32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由如下： ， 32是为“完美平方数”， 33找不到满足的，的值， 故33不是为“完美平方数”； （3）解：是整数，且为“完美平方数”， ， 由题意可得为一个数的平方， 符合条件的一个值为5． 3.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了． 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式因式分解的结果为，当时，，，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，当，时，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y，请，你破解出由多项式分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式因式分解后，利用前面的方法，当时，得到的密码为242932，求m，n的值． 【答案】（1）小明的密码是060912；（2）010509；（3）， 【知识点】因式分解的应用、二元一次方程的解、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）先利用提取公因式法把多项式分解因式，然后按照已知条件求出分解因式后的所有因式的值，从而得到密码即可； （2）先根据等腰三角形的周长公式求出x，y，再把多项式分解因式，从而求出密码即可； （3）先把分解因式，然后设，再根据当时，可以得到密码为242932，求出a，b，从而求出和，从而列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，，， ∴小明的密码是060912； （2）∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y， ∴， ∵x，y都为整数， ∴或（不合题意，舍去） 当，时， ，， ∴多项式分解因式后得到的密码010509； （3） ， 设， ∵当时，可以得到密码为242932， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 因式分解的应用（整式恒等变形） 整式乘法与因式分解 ·运用乘法公式和因式分解对整式进行公式变形解决问题，在运用公式时，需要注意： ①熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； ②根据所求代数式特点，模仿套用公式； ③既能正用，又可逆用，综合运用公式； 恒等变形中的乘法公式 ·可用的乘法公式： 平方差公式 完全平方公式 完全平方和： 完全平方差： 立方和、差公式 立方和公式：因式分解： 立方差公式： 因式分解： 说明：结果是立方和还是立方差由第一个因式是和还是差决定 立方和、差公式 推广 和： 差： 完全立方公式 和： 因式分解： 差： 因式分解： 完全立方公式变形 ； 恒等变形及恒等变形中的思想方法 ·恒等变形：当然如果遇到不能直接使用乘法公式的问题，可以适当创造条件使之符合乘法公式的特点，这种通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形． ·恒等变形的方法： 项目 说明 整体代入 当整式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时，需要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把紧密联系的量作为一个整体来处理，运用“整体思想”可以使问题简化 消元降次 降次：未知数的次数较高，需要降次，降为一次或者是二次；， 消元：当未知数多的时候就要想到消元（代入消元、加减消元），消掉未知数，变为一元； 其中的数学逻辑思维：化归（化繁为简） 配方法 ①配方后利用非负性得到未知数满足的条件；②配方后结合所给条件进行求值。 关键：找到合适的平方项和交叉项，有效地进行配方 因式分解与图形等面积（平方类公式） 例1．（24-25八年级上·北京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 破题关键:根据因式分解平方项凑长方形的长宽. 【变式1】学习整式乘法时，小优老师拿出三种型号的卡片，如图1：型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_______； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽． (4)选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由． (5)如图5，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．试用不同的方法计算这个图形的面积，探究直角三角形三边的关系，试说明理由． 因式分解与图形等体积（立方类公式） 例2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【变式2-1】（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值． 【变式2-2】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； (2)观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________； (3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解的等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 整式恒等变形解图形规律类问题 例3．有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 【变式3】 (1)如图1，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (2)如图2，从边长为8的正方形中剪掉边长为7的正方形，从边长为6的正方形中剪掉边长为5的正方形，……，从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (3)如图3，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，……．从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____，请你说明等式的正确性； (4)某地想打造如图4所示的立体同心圆花坛，相间栽种绿植和花，俯视图如图5所示，每个圆环的宽度均为，一共12个同心圆，即最内圈圆的半径为，最外圈圆的半径为，阴影部分为绿植，绿植的栽种总面积为是多少？（结果保留） 运用整式恒等变形解整除问题 例4．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【变式4】（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 因式分解与整式恒等变形解新定义问题 例5．一个各数位均不相等且不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“明德数”．例如：四位数，，是“明德数”．若是一个“明德数”，则这个数的最小值为 ；若是一个“明德数”，为整数，，则满足条件的的值是 ． 【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【变式5-2】数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【变式5-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数        B．绝对值相等        C．互为倒数 (2)已知，，求的值； (3)计算：的值． 【变式5-4】有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 运用因式分解与恒等变形求最值 例6．一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是 ；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是 ． 【变式6-1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【变式6-2】（2025·重庆·一模）一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是 ．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为 ． 【变式6-3】对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 1.【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 2.若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 3.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了． 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式因式分解的结果为，当时，，，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，当，时，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y，请，你破解出由多项式分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式因式分解后，利用前面的方法，当时，得到的密码为242932，求m，n的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$