培优专题 第六章 平行四边形03 综合实践（2知识方法+3难点题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 平行四边形03 综合实践 根据等边条件构造旋转全等三角形（对角互补构造全等） 【核心笔记】 项目 案例 方法 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 不含直角+邻边不相等 利用轴对称性质求最短路径问题 【核心笔记】 项目 问题 方法 结论 一定点两动点 求和 最小 两定点两动点 求和 最小 两定点一动点 求差 利用旋转构造全等解决问题 例1．（解决可行性问题或判断点的存在性）（23-24八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，，是的中点，连接、． ①求证：是等边三角形； ②若，求的长． 【问题解决】 （2）为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形生物基地，如图2，，，，为上的中点，为该生物基地内一条笔直的灌溉水渠，管理人员计划在水渠上找一点，连接、、，拟将三角形区域规划为种苗培育区，三角形区域规划为蔬菜种植区，其余区域规划为水果种植区，并且要求．管理人员准备令，便可找到符合要求的点．请问管人员的作法（当时，）是否可行？若可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． 技巧方法 利用邻边相等旋转三角形构造全等条件：共顶点等邻边(常见于等边三角形、等腰直角三角形) P是等边三角形内一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转三个小三角形中的一个)构全等； △BPP'为等边三角形 P是等腰直角三角形内(外)一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转AB或AC一边所在的小三角形，使AB与AC重合)构全等； △APP'为等腰直角三角形 例2．（求有一组邻边相等的不规则四边形面积）（24-25八年级上·陕西安康·期末）问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ． 问题解决 （2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的 面积． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 利用平行四边形的性质转化线段求最值 例3．（平行四边形&利用轴对称性质求最短路径）（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    【技巧方法1】 三角形与四边形 周长最小值 条件： 一定点在角内，两动点在角的两边上 问题： 点P在∠AOB内部，在射线OA，OB上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 结论： △PMN周长的最小值为P'P″的长 其它模型 【技巧方法2】（费马点） ※应用拓展：到三角形三个顶点距离之和最小的点（费马点）的位置 问题与方法 解题思路 图示 问题：在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值？ 方法：将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，构造等边三角形并转化线段：将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB+QE即当B，P，Q，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长 辅助线构造新的平行四边形解决问题 例4．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，则的度数为 ．       图1 【问题探究】 （2）如图2，在中，，是边的中线，求的面积；        图2 【问题解决】 （3）如图3，张叔叔承包了一块形如的三角形田地，用于饲养蜜蜂、生产和销售蜂蜜，其中，，点B是该养蜂场的入口，在点D、E处设立蜂蜜销售点，，已知是该养蜂场中一条长为的小路（小路宽度忽略不计），其中区域为蜂源植物生长区，区域为蜂巢区，为方便蜂蜜运输，张叔叔规划沿再铺设一条小路（小路宽度忽略不计），经测量得到，求小路的长．        图3 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 1.【问题背景】如图，在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、、． 【问题发现】（1）四边形的内角和为________； 【问题探究】（2）如图1，小王同学在四边形中，延长到点G，连接，，若，且，他想要探究与之间的数量关系，请你帮他写出结论和论证过程； 【探索延伸】（3）如图2，若在四边形中，，，且，请写出、和之间的数量关系，并说明理由． 2.（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． ※3.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接． ①的长度 ； ②计算的长度． 【问题解决】 （2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平行四边形03 综合实践 根据等边条件构造旋转全等三角形（对角互补构造全等） 【核心笔记】 项目 案例 方法 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 不含直角+邻边不相等 利用轴对称性质求最短路径问题 【核心笔记】 项目 问题 方法 结论 一定点两动点 求和 最小 两定点两动点 求和 最小 两定点一动点 求差 利用旋转构造全等解决问题 例1．（解决可行性问题或判断点的存在性）（23-24八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，，是的中点，连接、． ①求证：是等边三角形； ②若，求的长． 【问题解决】 （2）为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形生物基地，如图2，，，，为上的中点，为该生物基地内一条笔直的灌溉水渠，管理人员计划在水渠上找一点，连接、、，拟将三角形区域规划为种苗培育区，三角形区域规划为蔬菜种植区，其余区域规划为水果种植区，并且要求．管理人员准备令，便可找到符合要求的点．请问管人员的作法（当时，）是否可行？若可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）可行，证明见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）①根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求证；②过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，，即可求解； （2）先证得四边形是平行四边形，在上截取，连接，可得为等边三角形，从而得到，，由（1）得，为等边三角形，进而得到，继而得到，即可． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ，，                              ， ， 为的中点， ， ，                                          ，， ， 为等边三角形．                                   ②解：如图1，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，          ， ，， ， ， ，， ；              （2）解：可行，证明如下： 证明：， ， ， 四边形是平行四边形．             如图2，在上截取，连接， ， 为等边三角形，                               ，， 由（1）得，为等边三角形， ，， ， ，                           ， ， 故管理人员的作法可行． 技巧方法 利用邻边相等旋转三角形构造全等条件：共顶点等邻边(常见于等边三角形、等腰直角三角形) P是等边三角形内一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转三个小三角形中的一个)构全等； △BPP'为等边三角形 P是等腰直角三角形内(外)一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转AB或AC一边所在的小三角形，使AB与AC重合)构全等； △APP'为等腰直角三角形 例2．（求有一组邻边相等的不规则四边形面积）（24-25八年级上·陕西安康·期末）问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ． 问题解决 （2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的 面积． 【答案】（1）1；（2） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、多边形内角和问题 【分析】（1）连接，证明，得到，即得，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）延长到点E，使得，连接，证明，推出，，，可得． 【详解】解：（1）如图，连接， 和均为等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， 点E在射线上运动， 当时，有最小值， 此时， ，O为边的中点， ， ， 故答案为：1； （2）如图，延长到点E，使得，连接， 四边形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 即四边形健身馆的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等，解题的关键是第一问求出点E的运动轨迹，第二问通过作辅助线构造全等三角形． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）90；（2）；（3）15930元 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、利用二次根式的性质化简、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，，先证明，可得，再证明，可得，然后根据垂直平分，可得，由勾股定理可得，从而得到的长度，即可； （3）把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P，可得点N，M，A，D四点共线，再证明，可得，分别在和中，利用勾股定理可得，，可得，可求出四边形的面积，取的中点Q，连接，则，证明四边形，均是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 故答案为：90 （2）如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的边长为； （3）如图，把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P， 由旋转的性质得：， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点N，M，A，D四点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， ∴四边形，均是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为元． 【点睛】本题主要查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 利用平行四边形的性质转化线段求最值 例3．（平行四边形&利用轴对称性质求最短路径）（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【变式3】（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    【答案】（1）；（2） 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积． 【详解】解：（1）连接，，如图，   点是等边的内心， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 四边形的周长， ， 当时，最小，四边形周长最小，此时， 四边形的周长的最小值； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，    则，． 两点之间线段最短， ， 周长， 周长的最小值是， 、关于对称，、关于对称， ，，，，， ． ， ， ， 过点作，   ，， ． 即、、和的最小值为， 此时， 的面积为， 当的面积最小时，四边形的面积最大， 在中，，上的高（定角定高模型）， 当时，的面积最小，且最小值为， 四边形的面积最大值， 当，时，，得四边形为平行四边形， 此时平行四边形的面积四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键． 【技巧方法1】 三角形与四边形 周长最小值 条件： 一定点在角内，两动点在角的两边上 问题： 点P在∠AOB内部，在射线OA，OB上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 结论： △PMN周长的最小值为P'P″的长 其它模型 【技巧方法2】（费马点） ※应用拓展：到三角形三个顶点距离之和最小的点（费马点）的位置 问题与方法 解题思路 图示 问题：在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值？ 方法：将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，构造等边三角形并转化线段：将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB+QE即当B，P，Q，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长 辅助线构造新的平行四边形解决问题 例4．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，则的度数为 ．       图1 【问题探究】 （2）如图2，在中，，是边的中线，求的面积；        图2 【问题解决】 （3）如图3，张叔叔承包了一块形如的三角形田地，用于饲养蜜蜂、生产和销售蜂蜜，其中，，点B是该养蜂场的入口，在点D、E处设立蜂蜜销售点，，已知是该养蜂场中一条长为的小路（小路宽度忽略不计），其中区域为蜂源植物生长区，区域为蜂巢区，为方便蜂蜜运输，张叔叔规划沿再铺设一条小路（小路宽度忽略不计），经测量得到，求小路的长．        图3 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线； （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质和判定，利用勾股定理计算即可； （3）以为边作平行四边形，连接，证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转得，连接，证明利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 是等边三角形， ， 是边的中线，， ， ， ； （3）以为边作平行四边形，连接，则，设，则， ， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点C顺时针旋转得，连接， 是等边三角形，， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 小路的长为； 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 【答案】（），理由见解析；（）；（） 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（）在上截取，连接，可证，得到，，即得，再根据直角三角形的性质即可求证； （）在上截取，连接，同理（）得，即得，，进而由得，过点作于，则，设，则，利用勾股定理得，求出的值即可求解； （）分别沿着和折叠得到，，可证四边形为平行四边形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可得，即得，最后根据线段的和差关系计算即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； （）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作于，则， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴； （）分别沿着和折叠得到，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1.【问题背景】如图，在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、、． 【问题发现】（1）四边形的内角和为________； 【问题探究】（2）如图1，小王同学在四边形中，延长到点G，连接，，若，且，他想要探究与之间的数量关系，请你帮他写出结论和论证过程； 【探索延伸】（3）如图2，若在四边形中，，，且，请写出、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）360；（2），过程见解析；（3），理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据四边形的内角和定理可得答案； （2）先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，从而得到结论； （3）先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到． 【详解】解：（1）四边形的内角和为； （2），理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）结论，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）线段长度的最小值为． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 【详解】解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． ※3.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接． ①的长度 ； ②计算的长度． 【问题解决】 （2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计） 【答案】（1）①3；② （2）元 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】对于（1）①，根据面积公式计算即可；②根据对称图形的性质得，进而得出，，然后作，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据中点得，作点A关于直线的对称点，可得，作，使，连接，当点F在与的交点处时，线段最短可知的长最短，即最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，然后作，交的延长线于点N，接下来根据中位线的性质和判定可求，进而得出，，最后根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：（1）①在中，的面积等于6，，， ∴， 解得． 所以的长度是3； 故答案为：3； ②∵，分别是，的关于的对称图形， ∴， ∴，． 过点A作于点M，如图所示， 则， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 则的长度为； （2），在中，， ∴． ∵点D为边的中点， ∴． 作点A关于直线的对称点，则上任意一点到点A与点的距离相等，即，过点作，使，连接，则点F在与的交点处时，，根据两点之间，线段最短可知的长最短，从而的长最短，最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，过点D作于点H，交的延长线于点N，如图所示， 则四边形是矩形， ∴，． 取的中点I，连接， ∴是的中位线， ∴， ∴点H和点I重合， ∴ ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴铺设小路的总长的最小值为， ∴铺设小路的最少费用为元． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小及轴对称的性质等，作出辅助线得出线段和最小是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$