培优专题 因式分解的方法（知识盘点+9题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

培优专题 第四章 因式分解 01 因式分解的方法 因式分解的概念 ·把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A.是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B.右边结果不是积的形式，不符合题意； C.是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D.属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【核心笔记】 因式分解与整式乘法的区别与联系 因式分解 整式乘法 区别 多项式→整式乘积 单项式×多项式→多项式 多项式×多项式→多项式 本质 代数推理：一种恒等变形 整式运算 联系 一部分因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算 下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式表示为几个整式乘积的形式． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意； B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； C． 是因式分解，故该选项符合题意； D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 总结： （1）因式分解的适用前提是多项式，对多项式进行因式分解是代数推理的一种； （2）因式分解的结果是整式的积，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解的结果要彻底（式子中的每一个因式不能再分解）； 提公因式法的分解因式 ·公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式 ·提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 （23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 【核心笔记】 提公因式法因式分解 步骤 ①确定公因式： 先确定系数，再确定字母和字母的指数 系数：各项系数都是整数，提各项的最大公因数； 字母：各项相同的字母； 字母的指数：各相同字母的指数取指数最低； ②提公因式并确定另一个因式：注意符号 ③写成两个因式的积 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）用提公因式法分解因式：． 【答案】． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，正确地找出多项式各项的公因式是解题的关键． 根据提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 总结： ①判断分解是否彻底：提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． ②提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． ③若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 平方差公式分解因式 ·公式变形：平方差公式的等号两边互换位置，得 ·表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积（平方的差=两数和与两数差的积）． 提醒 ①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． ③套平方差公式，找准多项式中的a、b 因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D 完全平方公式分解因式 ·公式变形：完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， ·表述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （24-25八年级上·陕西商洛·期末）因式分解的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 【特别提醒】 ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（式子）的和（两数积为正)的平方或差（两数积为负)． ③套完全平方公式时，找准多项式中的a、b 因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式a，再用完全平安公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【核心笔记】 公式法进行因式分解 公式法 公式：乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式 公式法因式分解 特殊形式的多项式分解因式 公式法因式分解步骤 因式分解关键：多项式的结构特点 ①变形；②判断项数：两项用平方差公式，三项用完全平方公式；③套公式 先提公因式再用公式法分解因式（因式分解一般步骤） 例1因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】提取公因式即可求解； 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 【详解】解： 【解题技巧反思】 ①因式分解步骤： 一提（先看能不能提公因式）；二套（再套平方差公式或完全平方公式）；三检查（分解彻底 ②如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； ③若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据提公因式法和平方差公式法求解即可． 【详解】解： 【变式1-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 根据因式分解的结果求参数 例3．多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】先根据整式的乘法运算，然后与对比即可解答． 【详解】解：∵ ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解是整式乘法的逆运算成为解答本题的关键． 【变式3-1】已知多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式乘以多项式法则，因式分解，掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．因式分解的实质是整式乘法的逆过程． 根据整式乘法法则进行计算，根据常数项为a，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】已知整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵可以分解为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 【解题方法总结】 ①按照整式乘法进行运算；②求对应系数的值。 先分组再选合适方法进行因式分解 例4．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）； 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 【变式4】阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键． （1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可； （2）首先分别将与组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【解后反思】 对于一个四项多项式，有些特殊的四项式可以用先分组再“一提、二套、三检查”进行因式分解: (1)根据结构特点分为“3+1”型：以完全平方公式和平方差公式为主的因式分解; (2)根据结构特点分为“2+2”型：以提公因式法和平方差公式为主的因式分解. 先因式分解再判断三角形的形状 例5．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）已知a、b、c是的三边，且满足，则一定是 三角形． 【答案】直角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理．将进行因式分解可得，再结合，得到，根据勾股定理逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形． 故答案为：直角 【变式5】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）已知 是的三边长，且满足，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形或等边三角形，理由见解析 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的判定、三角形三边关系的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形，等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式提公因式和平方差公式因式分解，求出，即可判断出的形状． 【详解】解： 均为正数， ， 当时，为等边三角形； 当时，为等腰三角形，． 综上，是等腰三角形或等边三角形． 例6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲∶ (分成两组) (直接运用公式) ． 乙∶ (分成两组) (提公因式) ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题． (1)因式分解∶； (2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形． 【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）由可得，结合等腰三角形的定义可得答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴， ∴， ∵是的三条边长， ∴， ， ， 是等腰三角形． 【变式6-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． (1)因式分解：； (2)已知，，求的值； (3)若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)为等腰三角形，理由见解析． 【知识点】等腰三角形的定义、分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（）先运用分组分解法，再用平方差公式进行因式分解即可； （）运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，再将、的值代入计算即可； （）对式子进行整理化简、因式分解， 即可求得，因此为等腰三角形； 本题考查了因式分解的应用，解题的关键熟练运用分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）进行因式分解，得 ， ∵，， ∴； （3）为等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵，，为的三边长， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形． 【变式6-2】阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形为等边三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键． （1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案； （2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案； （3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ，， ， 这个三角形为等边三角形． 因式分解与化简求值 例7．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值．将分解因式得，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 故选：C． 【变式7-1】已知，则代数式的值为 ． 【答案】6 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．根据平方差公式，把原式化为，然后用整体代入法即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的混合运算、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了整式的混合运算、因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式和整式的运算法则是解题的关键．先利用因式分解和整式的运算法则化简式子，再代入的值即可求解． 【详解】解： ， 代入，，原式． 因式分解与整除问题 例8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式的混合运算，运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合k为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： 由条件可知是整数， ∴的值总能被7整除， 故选：D． 审题关键:先因式分解,再判断整除. 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，… (1)用含有字母（且是整数）的等式表示这一规律，并用因式分解的方法验证这一规律； (2)相邻的两个正整数的平方差一定是4的倍数吗?请用因式分解的方法说明你的理由． 【答案】(1)（且是整数），验证见解析 (2)相邻的两个正整数的平方差不是4的倍数，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】本题考查了数字类变化规律，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意即可得出规律，再利用因式分解的方法验证即可； （2）设相邻的两个整数分别为：，，再利用因式分解的方法验证即可． 【详解】（1）解：由题意得：（且是整数）， 证明：右边 ∴右边=左边， 故； （2）解：相邻的两个正整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别为：，， 由题意得：， ∵为整数且， ∴为奇数， ∴相邻的两个正整数的平方差不是4的倍数． 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） 【答案】(1)“神秘数”是4的倍数．证明见解析 (2)两个连续的奇数的平方差是4的倍数．理由见解析 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键． （1）运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】（1）解：“神秘数”是4的倍数．理由如下： ， ∴“神秘数”是4的倍数； （2）解：是，理由如下： 设两个连续的奇数为：， 则， ∴两个连续的奇数的平方差是4的倍数． 审题关键:①两个连续偶数的表示：2k和；①两个连续奇数的表示：和. 配方法分解因式（配成完全平方公式的结构） 例9．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式 【分析】（1）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9】阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 【答案】(1) (2)． 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先把多项式写成的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先根据长方形的面积公式，分别求出与，然后求出它们的差，从而比较其大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴ ， ∴． 例10．（最值问题）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： (1)分解因式：________． (2)求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． (3)根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；②5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）根据阅读材料即可得出结果； （3）①根据材料中方法求解即可；②利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意：的最小值为； （3）解：①原式 ； ② ， 对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5． 【变式10】数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 十字交叉相乘法分解因式 例11．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】十字相乘法 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 整体思想与换元法的因式分解 例12．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 原式 ………………………………（第一步） ……………………………………（第二步） …………………………………………第三步） …………………………………（第四步） …………………………………………（第五步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式               B．平方差公式              C．完全平方公式 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解． 【答案】(1)C (2) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：公式法（完全平方公式）． （1）根据，因式分解的方法，即可； （2）设，根据上述运算方法，进行因式分解，即可． 【详解】（1）解：∵运用因式分解的公式法或完全平方公式法， 故选：C． （2）解：对于， 设， ∴ ． 【变式12-1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式 再将“”还原，得原式， 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你运用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可． 【详解】（1）解：令， 则原式，                       再将“”还原，得： 原式． （2）令， 原式，        将“”还原，得： 原式． 【变式12-2】阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解； （）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：令， ∴ ． 因式分解中的常见易错： 因式分解中因没有判断出相反数，没有正确提“－”分解失误 【问题1】因式分解：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：————变号 ————确定公因式 ．————提公因式 【问题2】因式分解：． 【正确解答】解：= ． 【总结】(y-x)2的次数为2，结果不用提“－”，(y-x)2=(x-y)2 【问题3】因式分解：． 【正确解答】解：= ． 因式分解不彻底 常见易错：平方差公式或完全平方公式未进行分解 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知a、b、c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．根据题意对式子进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：． ， ． 或， 或， 的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 2.若，则的值为(   ) A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3.（2025·陕西宝鸡·一模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 4.解因式，并求值，其中，． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法是解题的关键．利用平方差公式分解因式，再提公因式进行化简，再整体代入，求值即可． 【详解】解： ． 当，时， ． 5.分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提出公因式，根据，即可； （2）先把变形为，然后提公因式，即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键熟练掌握应用因式分解的方法． 6.请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被24整除． 【答案】见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解： ， 则当为自然数时，能被24整除． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知等腰的两条边长a，b满足，求等腰的周长． 【答案】等腰的周长为15 【知识点】因式分解的应用、绝对值非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系， 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， ，． ，不能构成三角形， 等腰的腰长只能是6， 等腰的周长． 8.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)①填空：______； ②用因式分解的方法计算：； 【探究】 (2)设两个正整数为m、n，请用因式分解的方法证明“发现”中的结论． 【答案】(1)①12  ② (2)见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解决问题的关键． （1）①根据有理数乘方的运算法则进行计算即可；②用因式分解的方法计算即可； （2）计算，则可得出结论． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：8； ② ； （2）证明： ， ，是正整数， 是4的倍数 即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数； 9.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题： 已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，等腰三角形的定义，合理分组是解题的关键．把化为，再进一步解答即可． 【详解】解：是等腰三角形． 理由：， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 10.阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： (1)材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． (2)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①，②25 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； （2）①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 第四章 因式分解 01 因式分解的方法 因式分解的概念 ·把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【核心笔记】 因式分解与整式乘法的区别与联系 因式分解 整式乘法 区别 多项式→整式乘积 单项式×多项式→多项式 多项式×多项式→多项式 本质 代数推理：一种恒等变形 整式运算 联系 一部分因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算 下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 总结： （1）因式分解的适用前提是多项式，对多项式进行因式分解是代数推理的一种； （2）因式分解的结果是整式的积，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解的结果要彻底（式子中的每一个因式不能再分解）； 提公因式法的分解因式 ·公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式 ·提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 （23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【核心笔记】 提公因式法因式分解 步骤 ①确定公因式： 先确定系数，再确定字母和字母的指数 系数：各项系数都是整数，提各项的最大公因数； 字母：各项相同的字母； 字母的指数：各相同字母的指数取指数最低； ②提公因式并确定另一个因式：注意符号 ③写成两个因式的积 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）用提公因式法分解因式：． 因式分解： 总结： ①判断分解是否彻底：提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． ②提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． ③若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 平方差公式分解因式 ·公式变形：平方差公式的等号两边互换位置，得 ·表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积（平方的差=两数和与两数差的积）． 提醒 ①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． ③套平方差公式，找准多项式中的a、b 因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 完全平方公式分解因式 ·公式变形：完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， ·表述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （24-25八年级上·陕西商洛·期末）因式分解的结果为 ． 【特别提醒】 ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（式子）的和（两数积为正)的平方或差（两数积为负)． ③套完全平方公式时，找准多项式中的a、b 因式分解： ． 【核心笔记】 公式法进行因式分解 公式法 公式：乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式 公式法因式分解 特殊形式的多项式分解因式 公式法因式分解步骤 因式分解关键：多项式的结构特点 ①变形；②判断项数：两项用平方差公式，三项用完全平方公式；③套公式 先提公因式再用公式法分解因式（因式分解一般步骤） 例1因式分解：． 【解题技巧反思】 ①因式分解步骤： 一提（先看能不能提公因式）；二套（再套平方差公式或完全平方公式）；三检查（分解彻底 ②如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； ③若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式：． 【变式1-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 根据因式分解的结果求参数 例3．多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【变式3-1】已知多项式可分解为，则的值为 ． 【变式3-2】已知整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，求的值． 【解题方法总结】 ①按照整式乘法进行运算；②求对应系数的值。 先分组再选合适方法进行因式分解 例4．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． 【变式4】阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【解后反思】 对于一个四项多项式，有些特殊的四项式可以用先分组再“一提、二套、三检查”进行因式分解: (1)根据结构特点分为“3+1”型：以完全平方公式和平方差公式为主的因式分解; (2)根据结构特点分为“2+2”型：以提公因式法和平方差公式为主的因式分解. 先因式分解再判断三角形的形状 例5．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）已知a、b、c是的三边，且满足，则一定是 三角形． 【变式5】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）已知 是的三边长，且满足，试判断三角形的形状，并说明理由． 例6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲∶ (分成两组) (直接运用公式) ． 乙∶ (分成两组) (提公因式) ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题． (1)因式分解∶； (2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【变式6-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． (1)因式分解：； (2)已知，，求的值； (3)若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 【变式6-2】阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 因式分解与化简求值 例7．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式7-1】已知，则代数式的值为 ． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 因式分解与整除问题 例8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 审题关键:先因式分解,再判断整除. 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，… (1)用含有字母（且是整数）的等式表示这一规律，并用因式分解的方法验证这一规律； (2)相邻的两个正整数的平方差一定是4的倍数吗?请用因式分解的方法说明你的理由． 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） 审题关键:①两个连续偶数的表示：2k和；①两个连续奇数的表示：和. 配方法分解因式（配成完全平方公式的结构） 例9．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 【变式9】阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 例10．（最值问题）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： (1)分解因式：________． (2)求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． (3)根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 【变式10】数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 十字交叉相乘法分解因式 例11．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 整体思想与换元法的因式分解 例12．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 原式 ………………………………（第一步） ……………………………………（第二步） …………………………………………第三步） …………………………………（第四步） …………………………………………（第五步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式               B．平方差公式              C．完全平方公式 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解． 【变式12-1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式 再将“”还原，得原式， 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你运用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【变式12-2】阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 因式分解中的常见易错： 因式分解中因没有判断出相反数，没有正确提“－”分解失误 【问题1】因式分解：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：————变号 ————确定公因式 ．————提公因式 【问题2】因式分解：． 【正确解答】解：= ． 【总结】(y-x)2的次数为2，结果不用提“－”，(y-x)2=(x-y)2 【问题3】因式分解：． 【正确解答】解：= ． 因式分解不彻底 常见易错：平方差公式或完全平方公式未进行分解 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知a、b、c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2.若，则的值为(   ) A．12 B．6 C．3 D．0 3.（2025·陕西宝鸡·一模）分解因式： ． 4.解因式，并求值，其中，． 5.分解因式： (1)； (2)． 6.请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被24整除． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知等腰的两条边长a，b满足，求等腰的周长． 8.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)①填空：______； ②用因式分解的方法计算：； 【探究】(2)设两个正整数为m、n，请用因式分解的方法证明“发现”中的结论． 9.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题： 已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 10.阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： (1)材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． (2)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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