精品解析：广东省湛江市2024-2025学年高一下学期4月期中联盟考试数学试题

湛江高一期中联盟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性解得不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意可得，， 则． 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 解得． 故选：A 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可 【详解】由题意可得还原后如下： ，，，则 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 6. 已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解. 【详解】由题意可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为9. 故选：D. 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，结合零点的个数可得，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故选：A. 8. 如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱台的侧面一定是梯形 B. 直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面. 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确； 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确； 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确； 当三点共线时，有无数个平面，则D错误． 故选：ABC. 10. 六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点P与点A重合，则的最大值是7 B. 若P是线段AB的中点，则 C. 若P是线段AB的中点，则 D. 的最大值是7 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可. 【详解】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H． 当点M与点H重合时，取得最大值7，则A正确． 对于B，当P是线段AB的中点时，，则B错误． 对于C，因为，，所以，则C正确． 对于D，因为，且，所以，则D正确. 故选：ACD. 11. 已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（ ） A. 直三棱柱的体积的最大值是24 B. 直三棱柱的体积的最大值是72 C. 直三棱柱的侧面积的最大值是 D. 直三棱柱的表面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得直三棱柱的高为，设，，根据题意得到，分别求出直三棱柱的体积、侧面积、底面积的表达式，利用基本不等式即可判断各选项. 【详解】由题意可得直三棱柱的高为． 设，，则． 直三棱柱的体积． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则，故A错误，B正确． 直三棱柱的侧面积． 因为， 所以，解得， 则，当且仅当时，等号成立，故C正确． 直三棱柱的上、下底面的面积之和， 当且仅当时，等号成立， 则直三棱柱的表面积， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数是纯虚数，可得，解得． 故答案为：. 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 【答案】20 【解析】 【分析】设米，在和中，分别表示出和的长，在中，由余弦定理即可求出建筑物的高度. 【详解】设米，在中，因为，则米. 在中，因为，所以米. 在中，由余弦定理可得， 因为米，则， 即，解得，所以米. 故答案为：20 14. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中． （1）当时，求； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算求解； （2）可以复数的乘法运算求解，再根据复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则. 【小问2详解】 因为，，所以． 因为在复平面内所对应的点位于第三象限，所以， 解得，即a的取值范围是. 16. 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． （1）求该石凳的体积； （2）求该石凳的表面积（不包含底面）． 【答案】（1）该石凳的体积立方厘米 （2）该石凳的表面积平方厘米 【解析】 【分析】（1）由体积公式即可直接求解； （2）由表面积概念，逐个面计算即可求解. 【小问1详解】 由题意可得正方体的体积立方厘米， 四面体的体积立方厘米， 则该石凳的体积立方厘米 【小问2详解】 由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形， 则的面积平方厘米， 正方形的面积平方厘米， 五边形的面积平方厘米， 故该石凳的表面积平方厘米． 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若是锐角，且，求的值. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解； （2）应用正弦函数值域计算求解； （3）应用两角差的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 由题意可得 . 令，， 解得，， 则的单调递减区间是. 【小问2详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以，所以. 因为是锐角，所以. 因为，所以，所以， 则. 18. 如图，在中，，，且，，是和的交点． （1）用，表示，． （2）证明：． （3）证明：是线段的中点． 【答案】（1）， （2） 由（1）可得 ． 因为，，所以，则． （3） 因为三点共线， 所以． 因为三点共线，所以， 则，解得，即， 故是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由，可得，再由，求出； （2）利用数量积运算求解； （3）由三点共线与三点共线，进行求解判断. 【小问1详解】 因为，所以，则． 因为，所以， 则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在四边形中，，，是等边三角形． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积； （3）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）. （3）． 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， 【小问3详解】 设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江高一期中联盟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱台的侧面一定是梯形 B. 直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 过空间内不同的三点有且仅有一个平面 10. 六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点P与点A重合，则的最大值是7 B. 若P是线段AB的中点，则 C. 若P是线段AB的中点，则 D. 的最大值是7 11. 已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（ ） A. 直三棱柱的体积的最大值是24 B. 直三棱柱的体积的最大值是72 C. 直三棱柱的侧面积的最大值是 D. 直三棱柱的表面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则______． 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 14. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中． （1）当时，求； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围． 16. 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． （1）求该石凳的体积； （2）求该石凳的表面积（不包含底面）． 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若是锐角，且，求的值. 18. 如图，在中，，，且，，是和的交点． （1）用，表示，． （2）证明：． （3）证明：是线段的中点． 19. 如图，在四边形中，，，是等边三角形． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积； （3）求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $