精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

2026年秋期高三年级开学考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（    ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 3. 已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（ ）个单位 A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值是4 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 13. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前10项和_________________． 14. 设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且，. （1）求的最小值； （2）若的面积是，求外接圆的面积. 16. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 17. 在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 （1）求； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 18. 将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求曲线的对称中心的坐标； （2）求在上的值域； （3）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高三年级开学考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合，再应用补集及交集运算求解. 【详解】集合， 则， 则. 故选：D. 2. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（    ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 3. 已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，则， 化简得，即且，， 故， 故选：C. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，先判断其奇偶性，在用特殊值法检验，即可求得答案. 【详解】 其定义域为 根据奇函数性质可得，是奇函数 故排除B，C. 当， 根据指数函数是单调增函数，可得 当， 故只有A符合题意 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图象问题，解题关键是掌握函数奇偶性的定义和图象特征，及其特殊值法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 5. 已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（ ）个单位 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由在区间上单调得到周期范围，由此结合范围可知取值，结合为零点，分类讨论并求解，验证各条件可得解析式，再逐一按选择平移得解析式，判断是否为偶函数即可. 【详解】因为函数在区间上单调， 所以最小正周期， 即，， 又已知其中为大于1的整数，所以. 因为是的一个零点，所以. 当时，，由，得， 所以， 验证：， 且当，则， 函数在区间上单调递减，满足题意； 当时，，由，得， 所以， 验证：，不满足题意； 综上可知，. 由是偶函数， 又不是偶函数； 不是偶函数； 不是偶函数； 综上，将向右平移个单位，可成为偶函数，B项正确，其余选择均错误； 故选：B. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，满足， 但不成立，故充分性不成立； 由，得，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影法研究数量积最值. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由向量夹角的余弦公式计算即可求解判断；对于B，由垂直关系的向量表示计算求解即可判断；对于C，由平行关系的向量表示计算求解即可判断；对于D，由投影向量定义计算求解即可判断. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为， 因为，所以向量的夹角为，故A正确； 对于B，因， 所以，故B正确； 对于C，， 故若，则，解得，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值是4 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于Ａ，由题得，再根据求解即可；对于Ｂ，利用即可求解；对于Ｃ，根据，检验是否同时成立即可判断；对于D，根据题意可得，，则即可． 【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，B正确； ，当且仅当时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，C错误； 因为，所以，所以，所以， 同理可得，则， 当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可. 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断确定的递增区间，结合已知求参数范围. 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 13. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前10项和_________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意可知，，，，……，， 所以， ， ， 所以数列， . 故答案为： 14. 设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，不满足条件；当时，转化不等式构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性及最值，根据图象列出唯一整数解的约束条件，解不等式组即可. 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上. 故答案为： 【点睛】解题关键是转化不等式并构造辅助函数. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且，. （1）求的最小值； （2）若的面积是，求外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式计算求解； （2）应用面积公式再结合同角三角函数关系计算得出，最后应用正弦定理计算求解面积即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 则. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，所以. 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为的面积是，所以，所以. 由（1）可知，则，解得， 则. 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 故外接圆的面积为. 16. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“生成函数”的定义，利用退一作差法求得. （2）利用错位相减求和法求得 【小问1详解】 因为且， 所以①， 当可得， 当时②， ①-②得， 显然当时上式也成立， 所以. 【小问2详解】 由题得， ， 则（1）-（2）得： ， 所以. 17. 在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 （1）求； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：根据已知得、，结合已知向量的线性关系，即可得；法二：连接，通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值. 【小问1详解】 法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； 【小问2详解】 法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 18. 将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求曲线的对称中心的坐标； （2）求在上的值域； （3）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移得到的解析式，再用整体法求对称中心的坐标； （2）根据，得到，则即可求解； （3）设，则，则在上恒成立，再由二次函数最值可知等价于，再解不等式即可． 【小问1详解】 由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； 【小问2详解】 因为，所以， 则， 故在上的值域为； 【小问3详解】 由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）① ②证明：若有两个不同的零点，则． 不妨设，则． 因为，所以． 因为在上单调递减，，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数研究在其定义域为上的单调性，即可求出其极值； （2）①先求出的解析式，并求导，令，利用的导数来研究的单调性，再结合没有零点，得到的取值范围，即可求出a的取值范围；②首先分析得，再利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，且，无极小值； 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以，其定义域为. 所以. 令， 则. 当时，， 所以． 当时，， 所以. 当时，， 所以． 综上，当时，，即， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，. 因为没有零点，所以，解得，所以的取值范围为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $