第17讲 二次函数及根的分布问题讲义-2026届高三数学一轮复习

二次方程根的分布问题 1．概念 二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题． 2．常见题型 ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③ 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 考点一 两根与的大小比较 【例1】1．若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是　 　． 2．已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围． 【训练1】1．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为　 　． 2．方程的两根都大于，则实数的取值范围是　 　． 考点二 根在区间上的分布 【例2】1．已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的范围是　　． 2．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为　　． 【训练2】1．已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为　 　． 2．若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 3．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是　 　． 考点三 两根分别在区间外 【例3】1．已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【训练3】1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，则实数的取值范围是　 　． 2． 求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【方法总结】 ① 求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？ ② 画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点． 备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与轴的交点)或某些函数值的正负． ③ 对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数（一） 1、二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2、二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3、二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 递增区间 递减区间 考点一 求二次函数解析式 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【训练1】1．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 2．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1． (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 考点二 二次函数的图象 【例2】1．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( ) A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2) C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2) 【训练2】1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是( ) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( ) 4．二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x－1)>0的解集为( ) A．(－2,1) B．(0,3) C．(－1,2] D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 考点三 利用二次函数求参数 【例3】1．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( ) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【训练3】1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 2．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 考点四 二次函数最值问题 【例4】1．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________． 【训练4】1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 2．若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________． 3．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( ) A． B． C． D．1 4．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________． 考点五 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【例5】1．已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【训练5】1．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次方程根的分布问题 1．概念 二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题． 2．常见题型 ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③ 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 考点一 两根与的大小比较 【例1】1．若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是　 　． 【答案】， 【解析】关于的二次方程的两个互异的实根都小于， 则 ，(开口向上，有两根，对称轴在左边，确定最大根小于)即 求得，即的范围为，，故答案为：，． 2．已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】方法一：当时，若要满足题意，必须；(注意开口方向) 当时，若要满足题意，必须； 即，解得. 方法二：(韦达定理)：设是的两个根， 若要满足题意，则，解得. 【训练1】1．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】令，由题意可得，即：，整理：，解得，所以实数的取值范围为；故答案为：． 2．方程的两根都大于，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】由题意，方程的两根都大于， 令，可得：，即，解得：． 考点二 根在区间上的分布 【例2】1．已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的范围是　　． 【答案】 【解析】设，问题转化为抛物线与轴的交点分别在区间和内，则 ，解得，故的范围是 . 2．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】构造函数，图象恒过点 (能发现很重要，要满足题意只能，避免讨论减少计算量，要注意函数是否过定点) 方程0在区间内有两个不同的根， . 【训练2】1．已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】方法1： 方程对应的函数为 若要满足题意，则 故答案是. 方法2： 方程 (发现方程可以直接因式分解求根)方程两根为， 若要满足题意，则，解得，故答案是. 2．若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，，即，则 即实数的取值范围是； 3．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，令， 则有，求得， 考点三 两根分别在区间外 【例3】1．已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】显然，关于的方程对应的二次函数 (对开口方向进行讨论，分和) ① 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且， 即且，则；(若发现结合图像也可知不可能) ② 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且， 即且，则综上可得的范围是．故答案为：． 【训练3】1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】由题意设， 方程有两个不相等的实根，且，， ，则，解得． 2． 求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 设． 依题意有，即，得． (2)依题意有，解得． (3)方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即 ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得． 【方法总结】 ① 求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？ ② 画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点． 备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与轴的交点)或某些函数值的正负． ③ 对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数（一） 1、二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2、二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3、二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增区间 递减区间 考点一 求二次函数解析式 【例1】1．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解析】(利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【训练1】1．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝x2－4x＋3. 【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 2．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1． (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）f(x)＝x2－x＋1；（2）(－∞，－1) 【解析】(1)由f(0)＝1，得c＝1．∴f(x)＝ax2＋bx＋1． 又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴因此，f(x)＝x2－x＋1． (2) f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1． 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 考点二 二次函数的图象 【例2】1．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( ) A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2) C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2) 【答案】D 【解析】函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图象的对称轴为x＝，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 【训练2】1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】由A，C，D知，f(0)＝c＜0．∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误． 2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是( ) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】B 【解析】因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a．又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确． 故选：B 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( ) 【答案】D　 【解析】由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又f(0)＝c＜0， 所以排除B，故选D. 4、二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x－1)>0的解集为( ) A．(－2,1) B．(0,3) C．(－1,2] D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 【答案】B　 【解析】根据f(x)的图象可得f(x)>0的解集为{x|－1＜x＜2}，而f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到的，故f(x－1)>0的解集为(0,3)．故选B. 考点三 利用二次函数求参数 【例3】1．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( ) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【答案】D　 【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知 解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]． 【训练3】1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】C　 【解析】当x≥0时，f(x)＝x2＋2x为增函数，由于f(x)是奇函数，故f(x)在R上为增函数． 由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，解得－2＜a＜1．故实数a的取值范围是(－2,1)．答案　C 2．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】　 【解析】根据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤． 考点四 二次函数最值问题 【例4】1．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________． 【答案】 【解析】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去． 综上可知，a的值为. 【训练4】1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b， 所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关． 2．若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________． 【答案】[2，＋∞) 【解析】依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.故a＋4b≥2＝2， 当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立．所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞)． 3．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( ) A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】设x＜0，则－x>0.有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)，∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，依题意，n≤f(x)≤m恒成立，则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1. 4．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1) 【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m， 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m＜－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 考点五 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【例5】1．已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且， 则，因为，，，所以，即，所以在上是单调递增函数． （2），令，则当时，，所以．令，，则只需．当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，舍去． 综上，实数的取值范围是． 【训练5】1．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）当时，不等式，即为，即，所以，所以或，所以原不等式的解集为． （2），由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即，所以，则， 综上，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$