1.3集合的基本运算（七题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

1.3集合的基本运算 知识梳理 1 题型训练 2 题型1 求集合的交集、并集 2 题型2 根据集合的交集、并集求集合或参数 4 题型3 补集的简单运算 5 题型4 交、并、补的混合运算 7 题型5 利用Venn图求集合 8 题型6 集合的交、并集运算性质 12 题型7 容斥原理 14 过关检测 17 知识点1交集、并集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点2全集、补集的概念及表示 1.全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. 2.补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点3并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 题型1 求集合的交集、并集 1．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 题型2 根据集合的交集、并集求集合或参数 6．已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 7．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 8．已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 10．（多选）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 11．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 题型3 补集的简单运算 12．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．若全集，则（   ） A． B． C． D． 15．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 16．已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型4 交、并、补的混合运算 17．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 18．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 19．已知全集为，集合，，则（   ） A． B． C． D． 20．已知全集，则 . 21．全集 ，集合.求：. 22．已知集合，，求，，，. 题型5 利用Venn图求集合 23．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 24．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 25．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 26．已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 27．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 28．全集，，，，，，则 . 29．（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 30．已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 题型6 集合的交、并集运算性质 31．已知非空集合互不相等，且，则（   ） A． B． C． D． 32．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 34．已知集合，若，则实数的取值范围为 35．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 36．设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 题型7 容斥原理 37．学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 38．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 39．（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 40．已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 一、单选题 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 7．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 8．已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 9．设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题 11．已知集合，则 ． 12．已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 13．设全集，，，则集合 ． 四、解答题 14．已知全集，集合，，求，. 15．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 17．定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 知识梳理 1 题型训练 2 题型1 求集合的交集、并集 2 题型2 根据集合的交集、并集求集合或参数 4 题型3 补集的简单运算 5 题型4 交、并、补的混合运算 7 题型5 利用Venn图求集合 8 题型6 集合的交、并集运算性质 12 题型7 容斥原理 14 过关检测 17 知识点1交集、并集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点2全集、补集的概念及表示 1.全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. 2.补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点3并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 题型1 求集合的交集、并集 1．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，集合，则集合. 故选：A. 2．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 4．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以，则，故A，B，D项错误，C项正确. 故选：C. 5．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又， 则. 故选：C. 题型2 根据集合的交集、并集求集合或参数 6．已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【详解】由，， 可知， 所以，即的最大值是1. 故选：D. 7．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解法1  由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12． 解法2  由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为． 8．已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，， 故， 故选：A 9．已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 10．（多选）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，解得； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，，得，， 综上，. 故选：ACD. 11．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据，结合数轴（如图）可知，在2的左侧或与2重合，故， 即实数的取值范围是． 故答案为： 题型3 补集的简单运算 12．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 13．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 14．若全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，，故AD错误； 所以，，所以，，故B正确，C错误. 故选：B. 15．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. 16．已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，所以的子集有个. 故选：C 题型4 交、并、补的混合运算 17．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为全集，， 所以，又， 则. 故选：A. 18．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 19．已知全集为，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则，又， 则. 故选：A. 20．已知全集，则 . 【答案】 【详解】全集，则， 所以. 故答案为： 21．全集 ，集合.求：. 【答案】 【详解】根据德摩根公式：，得： ， 又 ，所以. 22．已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，，或或. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 题型5 利用Venn图求集合 23．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 24．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 25．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 26．已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 27．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分， 即， 故选：C 28．全集，，，，，，则 . 【答案】 【详解】根据题意作出Venn图，如图所示， 由图可得. 故答案为： 29．（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 30．已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【答案】(1)，； (2)图见解析， 【详解】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 题型6 集合的交、并集运算性质 31．已知非空集合互不相等，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，因为，则，所以，所以， 故选:C． 32．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 当时，，不满足； 当时，由， 由可得，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 33．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 34．已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 35．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 36．设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 题型7 容斥原理 37．学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 【答案】C 【详解】两科等级均为的学生有人， 因为仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为， 所以物理等级为，化学等级为的有人人； 化学等级为，物理等级为的有人； 对于A，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至多有人，A错误； 对于B，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至少有人，B错误； 对于C，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，C正确； 对于D，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，D错误. 故选：C. 38．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 39．（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 40．已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 【答案】25 【详解】根据题意，画出Venn图如下： 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故答案为：25. 一、单选题 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 2．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 3．若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，其中表示整数集. 当取遍所有整数时，表示所有的偶数，即集合是由所有偶数组成的集合. 已知集合，其中表示自然数集（包括）. 当时，；当时，；当时，；以此类推. 所以集合是由所有大于等于的自然数组成的集合. 由于集合是所有偶数组成的集合，集合是所有大于等于的自然数组成的集合，那么就是所有大于等于的偶数组成的集合. 大于等于的偶数可以表示为（），其中表示正整数集. 所以. 故选：C. 5．已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 7．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 二、多选题 8．已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 因为集合，所以集合中一定包含元素、、， 又因为，所以集合可能是，故B正确； 因为不是自然数，所以集合不可能是，故C错误； 因为是最小的自然数，所以可能属于集合B，故D正确． 故选：ABD. 9．设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 10．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 11．已知集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 12．已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 【答案】 【详解】，，， 故，因为C的真子集共有3个， 所以集合C中只有2个元素，即， 所以，即时，经验证，符合题意． 故答案为： 13．设全集，，，则集合 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 四、解答题 14．已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 15．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 16．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 17．定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$