第08讲 集合中解答题压轴试题精选-2023年初升高数学暑假预习考点方法题型总结（人教A版2019）

第8讲 集合中解答题压轴试题精选 1．已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作. (1)当，即集合. （i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为； （ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于； (2)证明：； (3)证明：. 2．已知数集．如果对任意的，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由； (2)设数集具有性质P．若，证明：对任意都有是的因数． 3．设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件： ①，恰好都含有3个元素； ②，，为单元素集合； ③ 则称集合S为“优选集”． (1)判断集合，是否为“优选集”； (2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； (3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值． 4．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 5．设A是集合的一个k元子集（即由k个元素组成的集合），且A的任何两个子集的元素之和不相等；而集合P的包含集合A的任意k＋1元子集B，则存在B的两个子集，使这两个子集的元素之和相等． (1)当n＝6时，试写出一个三元子集A； (2)当n＝16时，证明：． 6．若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 7．对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数． (1)若集合，，写出集合与； (2)若集合满足，且，求． 8．对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集” (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (3)求证：集合不是和谐集． 9．已知集合，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由. (2)当时，若集合S具有性质P. ①集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②求集合S中元素个数的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 集合中解答题压轴试题精选 1．已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作. (1)当，即集合. （i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为； （ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于； (2)证明：； (3)证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取，验证得到答案. （2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明. （3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明. 【详解】（1）取，则，满足条件； 取，则；； ；；； 满足条件. （2）若，，，从大到小取个元素， ，，或，， 则中任意4个元素之和，不成立，故. （3）当时，把集合的元素按和为分组，得： ， 易得，中至少有2个二元子集满足． 若把集合的元素按和为分组，得： ． 易得，中至少有3个二元子集满足． 而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素， 所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设， 则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为． 又，所以． 【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键. 2．已知数集．如果对任意的，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由； (2)设数集具有性质P．若，证明：对任意都有是的因数． 【答案】(1)数集不具有性质，具有性质； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据定义检验数集是否满足条件即可. （2）假设存在不是的因数，结合性质推出矛盾，由此证明结论. 【详解】（1）因为，， 所以数集不具有性质， 因为， ， 即对于任意的，与两数中至