精品解析：2025届江苏省苏州市高三三模数学试题

2025届江苏省苏州市高三三模数学试题 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题剪，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知的展开式中系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 24 3. 某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（ ） A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7 4. 甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 6. 某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 7. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象是双曲线，记其焦点分别为、，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. 点是的一个焦点 C. D. 的离心率为 11. 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_________. 13. 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 14. 已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，． （1）求； （2）求． 16. 现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． （1）若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； （2）若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 17. 如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值的取值范围． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． （1）求的标准方程； （2）为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 19. 已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）证明：关于的方程有且仅有一个实根； （3）证明：的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届江苏省苏州市高三三模数学试题 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题剪，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，利用复数相等列出等式求解即可. 【详解】假设，则， 所以，解得， 故，，复数对应的点为，在第一象限 故选：A 2. 已知的展开式中系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质结合二项式定理列式计算即可. 【详解】令，可得所有系数和为，由题意，可得， 展开式的通项为，令，可得 所以的系数为. 故选：B. 3. 某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（ ） A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的计算步骤求解即可. 【详解】将这10次成绩从小到大的顺序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9， 因为，所以该组成绩的上四分位数为排序后的第8个数字10.7． 故选：D 4. 甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，需要先分别求出和，再代入公式计算. 【详解】“甲、乙相邻”，可将甲、乙看成一个整体，与丙、丁、戊全排列，同时甲、乙两人之间也需要全排列. 甲、乙两人全排列的方法数为种； 将甲、乙整体与丙、丁、戊全排列的方法数为种. 所以事件包含的基本事件数为种. 名学生全排列的方法数为种. 根据古典概型概率公式可得. “甲、乙相邻且甲不站在两端”，当甲、乙相邻时，若甲不站在两端，甲只能站在中间3个位置上， 所以事件AB包含的基本事件数为种. 则. 根据条件概率公式，将，代入可得： . 故选：D. 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设点，得到的坐标，由，可得，将其代入即可得解. 【详解】设点，则， ，所以， 因为，所以， 整理可得， 所以 故选：A 6. 某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】C 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为cm，由求出，再由圆台的侧面积公式求出内、外表面面积可得答案. 【详解】设圆台的上底面半径为cm，则下底面半径为cm， 因为高cm，母线cm，所以由， 得cm， 可得圆台的侧面积为， 所以100个灯罩内、外表面面积为， 则共需涂料克. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设出的方程，与抛物线方程联立，表示出韦达定理，结合已知可得的方程，进而求解即可. 【详解】设的方程为，， 将直线方程代入抛物线方程得，所以， ，所以， 因为，所以．所以．所以． 故直线的斜率为． 故选：A. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据三角函数关系求出，再利用正弦定理求出与的关系，进而判断与的关系，最后根据余弦定理求出与的关系，即可判断各选项. 【详解】因为，是三角形内角，则. 所以 ， 已知，由正弦定理可得： ， 又因为，所以. 因为，所以，且，那么或. 若，又，则，这与矛盾，所以，故选项正确，错误. 由余弦定理可得：，即， 即，得，则或. 因为，所以，故选项正确，错误. 故选：BD. 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象是双曲线，记其焦点分别为、，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. 点是的一个焦点 C. D. 的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反比例函数的对称轴可判断A选项；分析可知双曲线为等轴双曲线，可得出双曲线的离心率，可判断D选项；将直线的方程与反比例函数解析式联立，可求出双曲线的顶点坐标，可判断B选项；求出双曲线的实半轴长，结合双曲线的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，反比例函数的两条渐近线为轴和轴，A对； 对于D选项，反比例函数的两条渐近线垂直，故双曲线为等轴双曲线， 因此，双曲线的离心率为，D对； 对于B选项，反比例函数的图象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分线方程为， 联立解得或， 所以，双曲线的一个顶点为，B错； 对于C选项，双曲线的实半轴长为， 故，C对. 故选：ACD. 11. 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定推理判断A；利用锥体的体积推理判断BC；利用二面角的意义，列出锥体的体积关系，再利用基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由四棱锥有外接球，得四边形有外接圆，由， 得，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，由平面，得球心到平面的距离等于，因此，B正确； 对于C，均在以线段为直径的圆上，但面积无任何关系， 不能确定，C错误； 对于D，由，得是二面角的平面角，即， 则令，， ， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由函数周期性与诱导公式求解， 【详解】由诱导公式可知，， 当时，与不恒相等，故的最小正周期为， 故答案为： 13. 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得从20项中任取4项的总数，假设任取的4项为，得到构成等差数列，设公差为，结合，一一列举，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从20项中任取4项，共有种情况， 假设任取的4项为 ， 若这四项依然构成等比数列，则构成等差数列， 设公差为，则满足， 对公差进行一一列举： 当时，的范围是，共有17种； 当时，的范围是，共有14种； 当时，的范围是，共有11种； 当时，的范围是，共有8种； 当时，的范围是，共有5种； 当时，的范围是，共有2种， 所以共有种情况， 所以这四项依然构成等比数列的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将和及的值分别代入，计算即可求出； （2）利用与的关系得到，再按照等差数列的定义证明是以为首项，18为公差的等差数列，再求即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时， ， 因为，所以解得； 当时， ， ，解得. 【小问2详解】 因为①， 所以②， 所以②—①可得，时，上式也成立， 所以用代换可得， 所以， 这说明数列是以 为首项，18为公差的等差数列. 所以. 16. 现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． （1）若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； （2）若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】（1） 0.72 0.26 0.02 （2）甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大【解析】 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【小问1详解】 表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 【小问2详解】甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 17. 如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）在直角梯形中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，再结合以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分别取、的中点、，连接、、，推导出二面角的平面角为，证明出平面平面，可知二面角的正弦值等于，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出的取值范围，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，则， 因为为的中点，，故，， 所以四边形为矩形，故， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 因此二面角的正弦值等于， 因为， 因为，故，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． （1）求的标准方程； （2）为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 【答案】（1） （2）①； ②当直线的斜率为0时，重合，不合题意。 当直线的斜率不为0时，直线的方程设为， 因为为中点，所以， 又，所以， 所以，所以直线方程为， 令，得， 由①可知， 所以 ， 所以为锐角，所以点在以为直径的圆外． 【解析】 【分析】（1）根据左右焦点的坐标，及弦长可列出方程求解，； （2）①联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到，，进而可求弦长，同理可求，结合基本不等式即可求解最小值；②判断与0的关系即可判断与以AB为直径的圆的位置关系. 【小问1详解】 因为，所以，由题得，联立，解得， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 ①当直线的斜率为0时，不合题意. 当直线的斜率不为0时，设，的方程为， 由得， 所以 所以， 所以， 因为，所以直线的方程为， 代入的标准方程中得，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为． 因为，所以的最小值为. ② 19. 已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）证明：关于的方程有且仅有一个实根； （3）证明：的充要条件是． 【答案】（1） （2）令． 由，可得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． （ⅰ）当时，， 因为，所以． 令，显然单调递增，且，， 所以在上有唯一解，即有唯一实根． （ⅱ）当时，． 令，因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以， 所以，所以无解． 综上所述，有唯一实根． （3）先证必要性：因为，所以，即， 因为单调递增，所以． 再证充分性：因为，所以，即． 综上所述，命题得证． 【解析】 【分析】（1）令，判断的单调性，由，则，等价于，由的单调性即可求解的取值范围； （2）令．利用导数判断的单调性，当时，由在上的单调性及，可得．令，由的单调性及零点存在性定理即可得此时有唯一实根；当时，利用导数判断，从而得证； （3）从充分性和必要性两方面证明即可． 【小问1详解】 ，令． 因为和均单调递增，所以易得单调递增． 因为，所以，等价于，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $