精品解析：江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测数学试卷

江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 2. 已知为等比数列，则“”是“为递减数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据:） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 6. 记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（ ） A. B. C. 在上最小值为 D. 存在，使得是奇函数 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ） A. 点的轨迹长为 B. 的最小值为 C. D. 三棱锥体积最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域是________________. 13. 已知，则________________. 14. 已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是______________; ②对所有n都有成立，则的最小值是_____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. （1）求证：； （2）求直线和之间距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的面积; （2）若，求使得恒成立时，实数的最小值. 17. 2006年，在国家节能减排宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 3.81 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. （1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； （2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； （3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 18. 已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b的取值范围; （2）若，求四边形ABDC面积取最大值时，对应实数的值; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）时，求的零点个数; （2）若恒成立，求实数的最大值; （3）求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知复数逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，因为，的以不一定等于1，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以为实数，所以D错误， 故选：C 2. 已知为等比数列，则“”是“为递减数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过且，可知虽然，但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果. 【详解】当等比数列且时，， 此时不是递减数列 充分性不成立 当等比数列为递减数列时，显然成立 必要性成立 综上所述：“”是“为递减数列”的必要而不充分条件 故选 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定义，属于基础题. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，根据集合交集的概念可得. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据:） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设至少经过个小时才能驾驶，由题意可得，计算即可. 【详解】设至少经过个小时才能驾驶， 则由题意得，则， 所以， 所以他至少经过6个小时才能驾驶. 故选：C. 5. 已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别将与平方，然后作差可得，再由条件可得，即可求得，从而得到，即可得到结果. 【详解】由题意可得，所以，即， 所以①， 因为，所以，即， 所以②， ①②可得，即 又在方向上投影向量为单位向量， 则，即，解得， 则，代入②中可得，解得. 故选：B 6. 记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，即可求出的约数的个数，即可求出，再根据二项式定理求出，即可判断. 【详解】因为，所以的约数有个，即， 又展开式的项可以看作从个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有，，， 要得到，需从个盒子中取出，个盒子中取出，个盒子中取出， 所以，所以，即. 故选：B 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 8. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【详解】依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知可得，可判断A；联立直线与抛物线方程，可得可得判断B；求得判断C；可判断D. 【详解】对于A：因为直线经过点，可得，即，所以，故A正确； 对于B：设由，所以， 所以所以 所以所以与不垂直，故B不正确； ，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（ ） A. B. C. 在上的最小值为 D. 存在，使得是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由展开得到对应系数相等，即可判断A、B，求出函数的导函数，说明的单调性，即可判断C，求出的对称中心，即可判断D. 【详解】由题意可得 ， 所以即为系数的相反数，即，故A错误； 即为常数项，即，故B正确； 因为，所以， 则在上单调递增，又，则在恒成立， 所以在单调递减，所以，故C正确； 因为， 则， 所以，所以的对称中心为，所以关于对称， 即为奇函数，则， 所以存在，使得为奇函数，故D正确． 故选：BCD． 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ） A. 点的轨迹长为 B. 的最小值为 C. D. 三棱锥体积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知方程可得点的轨迹，画出图形，再计算轨迹长度可得A错误；由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，求出投影长可得B正确；由平面可得C正确；当点位于半圆弧中点时，可由棱锥的体积公式计算体积的最小值可得D错误； 【详解】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上， 又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线， 如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆， 所以点的轨迹长为，故A错误； 对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为， 所以，故B正确； 对于C：因为平面，平面， 所以，故C正确； 对于D：因为平面， 所以点到平面平面的距离为，则， 由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为， 所以，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是能根据已知点的方程结合图形画出点的轨迹平面图形，从而计算即可. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数值域是________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】因为， 所以是以为周期的周期函数， 当时， 由，则，所以，则； 当时， 由，则，所以，则； 综上可得的值域为. 故答案为： 13. 已知，则________________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件概率和全概率公式结合已知计算即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是______________; ②对所有n都有成立，则的最小值是_____________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①先得到，，故，构造，，求导得到其单调性，从而确定当时，，利用放缩和等比数列求和公式得到，求出，确定，整数的最小值为3；变形得到，令，求导得到函数单调性和最值，得到，故，得到答案. 【详解】，，，故， 设，，则， 故在上单调递减， 则，故当时，， 则 ， 所以， 综上，，若恒成立，整数的最小值为3， ， 化简得，即， 令，， 当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以，故， 解得，所以的最小值为. 故答案为：3， 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. （1）求证：； （2）求直线和之间的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可得证； （2）首先说明，即点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离，再由空间向量法求出点到直线的距离，即可得解； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 在正方体中，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以，故； 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，由题意知，，，不共线，故， 故知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离， 又， 则，，， 设点到直线的距离为，则， 即直线和之间的距离为； 【小问3详解】 因为，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的面积; （2）若，求使得恒成立时，实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果. 小问1详解】 因为，即，所以， 即，则，所以， 所以，且，由正弦定理可得，则， 所以，则. 【小问2详解】 因为，由余弦定理可得， 又，则，即， 所以，化简可得， 因为，所以，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，故即可，所以的最小值为. 17. 2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 381 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. （1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； （2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； （3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 【答案】（1）0.89 （2）0.7 （3）分布列见详解，1 【解析】 分析】（1）直接根据公式计算即可； （2）利用全概率公式即可求解； （3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望. 【小问1详解】 由， 则. 【小问2详解】 设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”， “第2辆购买新能源汽车”， ， 由全概率公式得，， 所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为. 【小问3详解】 设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为， ， ， 则被选到新能源汽车车主的分布列为， 0 1 2 3 所以. 18. 已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b的取值范围; （2）若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）当时四边形ABDC的面积最大 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【小问1详解】 圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； 【小问2详解】 设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为； 【小问3详解】 ，则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上. 【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值. 19. 已知函数. （1）时，求的零点个数; （2）若恒成立，求实数的最大值; （3）求证:. 【答案】（1）2个 （2） （3）证明见解答 【解析】 【分析】（1），求导后令，再次求导可得，进而可判断的单调性，结合，的值可得结论； （2）由题意可得，可得，进而判断时，不等式恒成立； （3）利用，结合（2）以及放缩法可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 又，， 且时，，则存在，，使得， 所以有两个零点. 【小问2详解】 令由，得， 令所以， 令，可得， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，所以实数的最大值是实数； 【小问3详解】 因为， 由（2）可得，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 【点睛】方法点睛：第三问，考查放缩法证明不等式，其中证明不等式成立是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$