精品解析：浙江省五湖联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第二学期浙江省五湖联盟期中联考 高一年级数学学科 试题 命题：嘉兴市第三中学 沈奕 天台平桥二中 范优雅 审题：绍兴豫才中学 汪颖 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出即可. 【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B 2. 点在直线上，在平面外，用符号表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为点动成线，线动成面，所以直线和平面可以看做是点构成的集合，则点看做元素．因为元素与集合之间用和，集合与集合之间用和，所以答案选B． 3. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断. 【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线. 故选: B. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先借助正弦定理求出，再借助余弦定理求出b即可. 【详解】由正弦定理得，得.由余弦定理，得 ，即. 故选：A. 6. 壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，根据给定条件，求得和，利用正弦定理即可求解. 【详解】 如图，， 所以，得. 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 所以壕股塔的高为米. 故选：A 7. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 8. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用锥体体积公式通过转化法求多面体的体积. 【详解】设点到平面的距离为，由题意可知， 因为底面是平行四边形，所以， 又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为为棱的中点，所以 ， 因为，分别是所在棱的中点，所以且， 所以四边形为梯形，设，梯形的高为， 所以，， ， ， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，判断是否为0即可；对于D，计算即可. 【详解】对于选项A，，所以A正确； 对于选项B，， 则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（ ） A. 高为 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求出圆台上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，钝角三角形，A说法正确； 选项B：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或，所以或，的面积或，B说法错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C说法正确； 选项D：如图所示， 若有两解，则，解得，D说法正确； 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为，计算所求的面积即可. 【详解】已知直观图是边长为的正三角形， 所以的面积直. 所以的面积为. 故答案为： 13. 三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 故答案为： 14. 在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，设，化简可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，所以. 设，已知在边上运动，，则. 且，， 所以，. 所以，对称轴为， 当时，取得最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设复数，，为虚数单位. （1）若，求； （2）若是实数，求. 【答案】（1）5i （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数以及复数的乘法，可得答案； （2）根据复数除法整理其为标准式，由实数的定义，建立方程，利用模长公式，可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以，故. 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. 【小问2详解】 由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，求边长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 则， 得到， 因为，所以， 化简得，而，则解得. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 因为锐角，所以，， 解得，结合可得， 得到，则，故. 18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的表面积； （2）求旋转体的体积； （3）求图中所示圆锥的内切球体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，旋转体的表面积，计算即可； （2）由旋转体的体积计算即可； （3）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，设球切于点，连接，求出内切球半径代入球体积公式计算即可． 【小问1详解】 由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得，， ， 所以，， 因为旋转体的表面积， 所以． 【小问2详解】 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积． 【小问3详解】 设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接， 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球体积． 19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设. （1）将用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出， （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知条件在中利用余弦定理表示出，再利用三角函数恒等变换公式化简即可，考查数学计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024学年第二学期浙江省五湖联盟期中联考 高一年级数学学科 试题 命题：嘉兴市第三中学 沈奕 天台平桥二中 范优雅 审题：绍兴豫才中学 汪颖 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 点在直线上，在平面外，用符号表示正确是 A. B. C. D. 3. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知向量，向量，则向量在向量上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（ ） A. 高为 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是________. 13. 三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________. 14. 在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设复数，，为虚数单位. （1）若，求； （2）若实数，求. 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，求边长的取值范围. 18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的表面积； （2）求旋转体的体积； （3）求图中所示圆锥的内切球体积． 19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设. （1）将用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$