精品解析：浙江省宁波中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

宁波中学2023学年度第二学期期中高一数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，得到复数对应点坐标，求出所在象限. 【详解】， 所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限. 故选：C 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，解得，所以， 则. 故选：B 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 5. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 6. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得,，然后先在中利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理求出，从而可求出DE的长度 【详解】因为，，， 所以,， 在中，由正弦定理得， ， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得， 所以， 所以, 故选：D 7. 在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C作，垂足为F，因为， 所以有, 设，， 因此有 因为，所以有, 而，所以， 当时，有最大值，当有最小值0， 所以的取值范围为， 故选：A 8. 已知等腰直角中，为直角，边，P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将沿PQ折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCPQ．若点，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设共圆，进而确定，找到，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设,且，求外接球半径最小值，即可得结果． 【详解】显然P不与A重合，由点，B，C，P，Q均在球D的球面上，得B，C，P，Q共圆，则， 又为等腰直角三角形，AB为斜边，即有， 将翻折后，，，又平面平面， 平面平面， 平面，平面BCPQ，于是平面BCPQ，平面， 显然，BP的中点D，E分别为，四边形BCPQ外接圆圆心， 则平面，平面，因此，， 取PQ的中点F，连接DF，EF，则有，， 四边形EFDO为矩形，设且，，， 设球O的半径R，有， 当时，，所以球O体积的最小值为． 故选：C． 【点睛】方法点睛： 几何体展开、折叠问题，重点是要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若（为虚数单位），则下列说法正确为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义、复数的模长公式、复数的运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，则， 所以，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若为锐角三角形，则 C. 若为斜三角形，则 D. 若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由大角对大边得到，再由正弦定理及余弦函数的性质判断A；根据诱导公式以及正弦函数的单调性即可求解B,利用两角和的正切公式及诱导公式判断C,利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可求出，由正弦定理求出，利用等面积法求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，可得， 由正弦定理可得， 由函数在上单调递减，所以，故A正确； 对于B，由于为锐角三角形，故,故，因此,故，B错误， 对于C：在斜三角形中，， 所以，故C正确； 对于D：因为，由正弦定理可得， 设，则，， 由余弦定理得，又， 所以， 由正弦定理（为外接圆半径）， 所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】对于A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，A错误； 对于B，取中点，中点，连结， 易证，因为，所以，即，又，，所以平面， 因为，所以点的轨迹为矩形，，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C：连接，，以为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 易知平面，FT不含于平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，满足，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得表示以A为圆心，半径为1上的点到原点的距离，据此可得答案. 【详解】设，则， 则，即B在以A为圆心，半径为1的圆上， 则表示圆上点B到原点的距离， 由图可得当B，A，O三点共线时取最大值，为. 故答案为：. 13. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理化简题给条件得到角的关系，得到角范围.再利用正弦定理边化角化简，再换元根据二次函数性质即可得解. 【详解】因为，，由余弦定理， 所以，化简得. 由正弦定理得， 又，， ，即. 因为是锐角三角形，所以，. 又因在上单调递增， 所以，即，所以. 由可得且，得. 由正弦定理 ， 令，则，在上递增， 因时，；时，. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 16. 如图，在直三棱柱中，D，E，中点，连接，． （1）证明：平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）先证平面，找出直线与平面所成的角，利用直角三角形的边角关系求角的正弦值. 【小问1详解】 连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角可为锐角可为钝角，利用三角形内角和定理结合两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， 显然则， 又，故； 小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， . 【小问3详解】 由正弦定理得：， 则，所以， ，即，则，故， ，且， ， 当时，， 当时，， 所以. 18. 如图在中，，满足. （1）若，求的余弦值； （2）点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值； （2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意可设， 在中① 在中② 由①②可得， 解得，则，解得. 故. 【小问2详解】 ， 且C、M、D三点共线，所以， ， 故． ， 当且仅当时；所以. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】 （1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波中学2023学年度第二学期期中高一数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形周长为 D. 四边形的面积为 5. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 7. 在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰直角中，为直角，边，P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将沿PQ折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCPQ．若点，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若（为虚数单位），则下列说法正确为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若为锐角三角形，则 C. 若为斜三角形，则 D. 若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，满足，，则的最大值为______． 13. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 14. 已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． （1）证明：平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求． 18. 如图在中，，满足. （1）若，求的余弦值； （2）点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $