第14讲 函数零点问题（含唯一零点，共零点，复合函数零点，等高线问题）-2026届高三数学一轮复习

函数零点问题 1．零点定义及零点存在定理： ①对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 强调：零点不是点，而是对应方程的根，是函数图像与轴交点的横坐标． ②零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，么函数在区间内有零点，即存在，使得，也就是方程的根； ③零点存在定理（唯一性定理）：如果函数在区间上的图像是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得,也就是方程的根． 2．二分法找函数零点范围： ①二分法：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法． 求方程的近似解就是求函数零点的近似值． ②用二分法求函数零点近似值的步骤： （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若,则就是函数的零点；若，则令（此时零点），若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）到（4）步． 3．方程的根与函数零点的关系： ①方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点． ②方程有实数根函数的图像与的图像有公共点函数有零点． 4． 函数共零点问题： ①假设对任意的恒成立，说明与有相同的正负值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须相同； ②假设对任意的恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者 的负值区间是的正值区间，如果有零点，此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须必须相同．  判断：函数零点概念的理解及应用 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×) 【解析】零点不是点，而是对应方程的根，是函数图像与轴交点的横坐标． (2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点．(×) 【解析】零点存在性定理的前提数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，如果不连续，可能没有零点． (3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(×) 【解析】零点存在性定理只有当f(a)f(b)＜0判断出有零点，而不能判断f(a)f(b)＞0没有零点． (4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．(√) (5)函数f(x)＝2x|log0．5x|－1的零点个数为2．(√) (6)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√) 考点一 函数零点的区间 【例1】1．函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，∴零点所在的区间是 2．已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ；对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点； ；故选：A. 规律方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性．奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【训练1】1．函数的一个零点所在的区间是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴零点所在的区间是 2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 【答案】A 【解析】由于a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0． 因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A． 3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 【答案】0，－ 【解析】由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a，g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax， 则g(x)的零点是x＝0，x＝－． 4．已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3．若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为( ) A．2或－7 B．2或－8 C．－8或－7 D．－2或－8 【答案】A 【解析】当x≥－3时，由f(x)＝2x－3＝0，解得x＝log23，因为1≤log23≤2，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k＝2．又函数的图象关于x＝－3对称，所以另外一个零点在区间(－8，－7)内，此时k＝－7，所以A． 考点二 函数零点确定参数取值范围 【例2】1．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以， 即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B. 【训练2】1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵和在上是增函数，∴在上是增函数， ∴只需即可，即，解得.故选：D. 2．已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是奇函数，∴，，， 易知在上是增函数，∴有唯一零点0，函数的零点在区间内， ∴在上有解，，∴．故选：A． 3．函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】开口朝上时，，；开口朝下时，，无解． 考点三 函数二分法求方程的近似解 【例3】1．已知用二分法求函数在内零点近似值的过程中发现，，，，则可以确定方程的根所在区间为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】由，，可判断方程的根所在区间为. 2．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过（ ）次二分后精确度达到0.1． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后， 区间长度变为，故有，解得：，∴至少需要操作4次.故选：C. 【训练3】1．下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由题意可知，若能利用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反， 即该函数的图象穿过轴，且该函数在零点附近的函数图象连续，因此，②④中的函数能用二分法求零点，①③中的函数不能用二分法求零点.故选：C. 2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.4 B．1.3 C．1.2 D．1.5 【答案】A 【解析】由表格中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1， 所以近似根为 1.4，故选：A． 3．用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________． 【答案】 【解析】，，，， 因此，的下一个有零点的区间是. 4．（多选）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下： x 0 1 2 3 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，，故方程的近似解在内， ，故任意数都可作为近似解． 5．（多选）用二分法求函数在区间上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A．下一个存在零点的区间为 B．下一个存在零点的区间为 C．要达到精确度1的要求，应该接着计算 D．要达到精确度1的要求，应该接着计算 【答案】AC 【解析】因为，，， 所以，所以下一个存在零点的区间为，故A正确，B错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算，故C正确，D错误.故选：AC． 6．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.故选：B． 考点四 函数零点的个数 【例4.1】函数有 个零点． 【答案】2个 【解析】在同一个直角坐标系中画出函数与的图像，有图像可得交点共2个． 【训练4.1】1．函数有 个零点． 【答案】2个 【解析】在同一个直角坐标系中画出函数与的图像如下图，有图像可得交点共2个． 2．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( ) A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】A 【解析】构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象如图，由图可知有两个交点． 3．函数f(x)＝的零点个数是________． 【答案】3 【解析】当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x．画出g(x)与h(x)的图象如图： 故当x＞0时，f(x)有2个零点．当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3． 4．若函数f(x)＝x2－2x．则函数F(x)＝xf(x)－1的零点的个数为________． 【答案】1 【解析】函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数可转化为函数y＝f(x)与函数y＝图象交点的个数． 小结：形如函数的零点求法， 令，则 将复杂函数求零点问题转化为求两个简单函数图像交点问题 【例4.2】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则方程的根的个数是（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由题意知，是周期为2的偶函数，在同一平面直角坐标系内作出及的图像（如图），观察图像可以发现它们有4个交点，即函数有4个零点． 【训练4.2】 1．是上的偶函数，，时，，则函数的零点个数为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解析】由题意知，是周期为2的偶函数，在同一平面直角坐标系内作出及的图像（图略），观察图像可以发现它们有5个交点，即函数有5个零点． 2．若函数（）满足且时，，函数，则函数在区间内的与轴交点的个数为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由的周期性作出两函数图像如下，由图像可知与的交点个数为8个，故在区间内的与轴交点的个数为8个．选C． 小结：画图像，求零点 考点五 根据函数零点的存在情况，求参数的值/范围 【例5】1．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为( ) A．0 B．－ C．0或－ D．2 【答案】C 【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点； 当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－．综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点． 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】(0,1) 【解析】画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点， 结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)． 规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观．简单，这也体现了数形结合思想的应用． 【训练5】1．已知函数， ．若存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动， 都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， 也就是函数有两个零点，此时满足，即，故C． 2．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( ) A．(1，2) B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 【答案】D 【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m， 解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)． 3．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是______________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是_________． 【答案】； 【解析】∵，∴． 当时，得． 当时，，解得．综上不等式的解集为． 当有个零点时，． 当有个零点时，有个零点，．∴或． 考点六 唯一零点求值问题 【例6】1．已知函数有唯一零点，则实数（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，定义域为R, ∴，故函数为偶函数， 则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点，∴，即．故选：D． 【训练6】1．已知函数有唯一零点，则负实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数有唯一零点，设 则函数有唯一零点，则 设∴ 为偶函数， ∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点， ∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A． 考点七 共零点求值问题 【例7】1．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 【答案】 【解析】只须与的零点重合，所以，解得． 2．（24新高考二.8）设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】的定义域为，令解得；令解得； 则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 【训练7】1．设，若时均有，则_________． 【答案】 【解析】设．注意到都过定点，如图所示， 分析易知两个函数有共同的零点，即且，解得． 2．若不等式对任意的恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由选项可知，故原不等式等价于， 当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B 3．已知函数，当时，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，先画出的图象，函数过点， 若 ，当 时 ， 那么函数 也必须过点 ，即 ， 那么 ，另外一个实根是 ， 需满足条件 ，解得： ，故选：C. 4．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 ． 【答案】0 【解析】令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．即，解得．经检验，符合题意．故答案为：0． 考点八 复合函数零点问题 【例8】1．关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是(　　) A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．8 【答案】C 【解析】可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2， 则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个． 2．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　) A．3　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．14 【答案】C 【解析】由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1， 所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，，f(g(0))＝f(0)＝0， 所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0， 所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C． 【训练8】1．已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________． 【答案】5 【解析】由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个． 2．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2， x3，则x12＋x22＋x32＝________． 【答案】5 【解析】先作出f(x)的图像如图，观察可发现对于任意的t，满足t＝f(x)的x的个数分别为2个(t＞0，t≠1)和3个(t＝1)，已知有3个解，从而可得f(x)＝1必为f2(x)＋bf(x)＋c＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f(xi)＝1，可解得，x1＝0，x2＝1，x3＝2．所以x12＋x22＋x32＝5． 3．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根， 则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2]　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(－2，－1)　　　　　　D．[－2，－1] 【答案】C 【解析】函数f(x)＝的图象如图： 关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7个不等的实数根，易知f(x)＝1有3个不等的实数根，∴f(x)＝－a必须有4个不相等的实数根， 由函数f(x)的图象可知－a∈(1，2)，∴a∈(－2，－1)．故选C． 4．已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是(　　) A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点 B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点 C．无论a为何值，均有2个零点 D．无论a为何值，均有4个零点 【答案】A 【解析】所求函数的零点，即方程f(f(x))＝－1的解的个数，令t＝f(x)，先作出y＝f(t)的图像， 直线y＝ax＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论． 当a>0时，如图1所示，先拆外层可得t1＝－＜0，t2＝，如图2所示，而t1有两个对应的x，t2也有两个对应的，共计4个； 当a<0时，如图3所示，先拆外层可得t＝，如图4所示，t＝只有一个满足的x，所以共1个零点．结合选项，可判断出A正确． 5．已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 【答案】B 【解析】已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝，f2(x)＝－，只需统计y＝，y＝－与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点． 6．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C. 考点九 等高线问题 【例9】1．设函数 ①若方程有四个不同的实根则的取值范围是 ②若方程有四个不同的实根则的取值范围是 ③方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】对于①：作出的图像如下： 若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设， 则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根， 所以，，所以，所以，所以，故①正确； 对于②：由上可知，，，且，所以，所以，， 所以，所以，故②错误； 对于③：，所以，所以或， 由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3， 当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1， 所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个， 若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个， 若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故③正确；故选：B． 【训练9】1．已知函数，若方程有四个不同的解 且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.先作图象，由图象可得 因此为单调递减函数，， 从而.故选：A 2．已知函数，若方程有四个不同的实根满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根满足，则， 即：，所以， ，所以，根据二次函数的对称性可得：， ， 考虑函数单调递增，， 所以时的取值范围为.故选：A 3．已知函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（     ） A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6） 【答案】A 【解析】画出分段函数的图像如图，令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），则＝1+t+1﹣t+＝2+，又t∈（0，），∴∈（）．故选：A． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数零点问题 1．零点定义及零点存在定理： ①对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 强调：零点不是点，而是对应方程的根，是函数图像与轴交点的横坐标． ②零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，么函数在区间内有零点，即存在，使得，也就是方程的根； ③零点存在定理（唯一性定理）：如果函数在区间上的图像是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得,也就是方程的根． 2．二分法找函数零点范围： ①二分法：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法． 求方程的近似解就是求函数零点的近似值． ②用二分法求函数零点近似值的步骤： （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若,则就是函数的零点；若，则令（此时零点），若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）到（4）步． 3．方程的根与函数零点的关系： ①方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点． ②方程有实数根函数的图像与的图像有公共点函数有零点． 4． 函数共零点问题： ①假设对任意的恒成立，说明与有相同的正负值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须相同； ②假设对任意的恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者 的负值区间是的正值区间，如果有零点，此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须必须相同．  判断：函数零点概念的理解及应用 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ) (2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点．( ) (3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( ) (4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．( ) (5)函数f(x)＝2x|log0．5x|－1的零点个数为2．( ) (6)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．( ) 考点一 函数零点的区间 【例1】1．函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 2．已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 规律方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性．奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【训练1】1．函数的一个零点所在的区间是( ) A． B． C． D． 2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 4．已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3．若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为( ) A．2或－7 B．2或－8 C．－8或－7 D．－2或－8 考点二 函数零点确定参数取值范围 【例2】1．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【训练2】1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．或 考点三 函数二分法求方程的近似解 【例3】1．已知用二分法求函数在内零点近似值的过程中发现，，，，则可以确定方程的根所在区间为（ ） A． B． C． D．无法确定 2．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过（ ）次二分后精确度达到0.1． A．2 B．3 C．4 D．5 【训练3】1．下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（ ） A． 个 B．个 C．个 D．个 2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.4 B．1.3 C．1.2 D．1.5 3．用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________． 4．（多选）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下： x 0 1 2 3 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）用二分法求函数在区间上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A．下一个存在零点的区间为 B．下一个存在零点的区间为 C．要达到精确度1的要求，应该接着计算 D．要达到精确度1的要求，应该接着计算 6．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点四 函数零点的个数 【例4.1】函数有 个零点． 【训练4.1】1．函数有 个零点． 2．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( ) A．2 B．3 C．1 D．4 3．函数f(x)＝的零点个数是________． 4．若函数f(x)＝x2－2x．则函数F(x)＝xf(x)－1的零点的个数为________． 小结：形如函数的零点求法， 令，则 将复杂函数求零点问题转化为求两个简单函数图像交点问题 【例4.2】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则方程的根的个数是（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【训练4.2】 1．是上的偶函数，，时，，则函数的零点个数为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．若函数（）满足且时，，函数，则函数在区间内的与轴交点的个数为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 小结：画图像，求零点 考点五 根据函数零点的存在情况，求参数的值/范围 【例5】1．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为( ) A．0 B．－ C．0或－ D．2 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观．简单，这也体现了数形结合思想的应用． 【训练5】1．已知函数， ．若存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 2．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( ) A．(1，2) B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 3．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是______________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是_________． 考点六 唯一零点求值问题 【例6】1．已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【训练6】1．已知函数有唯一零点，则负实数（    ） A． B． C． D．或 考点七 共零点求值问题 【例7】1．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 2．（24新高考二.8）设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【训练7】1．设，若时均有，则_________． 2．若不等式对任意的恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，当时，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 ． 考点八 复合函数零点问题 【例8】1．关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是(　　) A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．8 2．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　) A．3　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．14 【训练8】1．已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________． 2．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2， x3，则x12＋x22＋x32＝________． 3．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根， 则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2]　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(－2，－1)　　　　　　D．[－2，－1] 4．已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是(　　) A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点 B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点 C．无论a为何值，均有2个零点 D．无论a为何值，均有4个零点 5．已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 6．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 考点九 等高线问题 【例9】1．设函数， ①若方程有四个不同的实根则的取值范围是 ②若方程有四个不同的实根则的取值范围是 ③方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【训练9】1．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程有四个不同的实根满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（     ） A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$