第2章 第14讲 函数的零点与方程的解、二分法(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦函数零点与方程的解、二分法核心考点，按“概念-定理-应用”逻辑梳理零点定义、存在定理及等价关系，通过教材梳理夯实基础、考点突破强技能、真题训练提能力的教学流程，帮助学生系统掌握零点判定、个数分析及参数求解方法。 教案突出数形结合与逻辑推理，如将零点个数转化为函数图象交点培养数学思维，设计“定理理解-技法总结-真题应用”三步突破法。设置基础自测、考点训练、加练备选分层练习，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用数学眼光解决问题的应考能力。

第14讲　函数的零点与方程的解、二分法 复习目标 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　函数零点的概念 1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. [注意点]零点不是点! ①从“数”的角度看:是使f(x)=0的实数x; ②从“形”的角度看:是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.几个等价关系: 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 知识点2　函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. [注意点]函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 知识点3　二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 常用结论 1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,3 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　×　) (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根.(　√　) (3)若函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(　×　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　√　) 2.(必修第一册P143例1改编)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【解析】选B.或 解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. 3.函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是____________.  【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-. 答案: [-1,-] 4.函数f(x)=ex+3x的零点有________个.  【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有1个零点. 答案:1 考点突破　强技能 考点一函数零点所在区间的判定 【例1】(1)(2024·唐山模拟)函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是(　　) A. (,) B. (,1) C.(1,2) D.(2,3) 【解析】选C.因为y=与y=log2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是(1,2). (2)若函数f(x)=2x+x-5的零点x0∈[a-1,a],a∈N*,则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.f(x)为增函数,已知f(1)=2+-5<0,f(2)=4+-5<0,f(3)=8+-5>0, 所以f(2)·f(3)<0,可知函数零点所在区间为[2,3],故a=3. 解题技法 确定零点所在区间的方法 (1)定理法:利用函数零点存在定理确定. (2)图象法:将f(x)拆成f(x)=g(x)-h(x),画出h(x)与g(x)的图象,从而确定方程g(x)=h(x)的根所在的区间. 【训练1】　(1)(一题多法)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】选B.法一:函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在(0,+∞)上单调递增. 由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,根据函数零点存在定理可知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内. 法二:函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log3x与h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2). (2)根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【解析】选C.设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4). 考点二函数零点个数的判定 【例2】(1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.法一:因为f(0)·f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 法二:设y1=2x,y2=2-x3, 在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示, 在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 024x+log2 024x,则函数f(x)的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.作出函数y=2 024x和y=-log2 024x的图象如图所示, 可知函数f(x)=2 024x+log2 024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3. 解题技法 判断函数零点个数的方法 (1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法:令f(x)=0,转化为两个函数相等的形式,画出两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【训练2】　(1)(一题多法)已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3; 当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解. 所以函数y=f(x)-3的零点个数是2. 法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2. (2)函数f(x)=·cos x的零点个数为________.  【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],所以x为-,-,,.故f(x)共有6个零点. 答案:6 考点三函数零点的应用 角度1　根据函数零点个数求参数 【例3】(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) 【解析】选A.作出y=f(x)的图象(实线),如图所示, g(x)=f(x)-a有4个零点,即y=f(x)与y=a的图象有4个交点,所以实数a的取值范围为(0,4). 解题技法 已知函数零点求参数的主要方法 (1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合; (3)分离参数,转化为求函数的最值. 角度2　根据函数零点存在情况求参数 【例4】(1)若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 【解析】选C.因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3. (2)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. (-∞,) B. (0,) C.(-∞,0) D. (,+∞) 【解析】选B.由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=,又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,). 因此实数a的取值范围是(0,). 解题技法 根据函数零点的存在情况求参数常用的方法:数形结合法(将函数的零点转化为函数图象在指定范围与x轴交点的横坐标)、由函数零点存在定理求解不等式法. 【训练3】　(1)已知函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为(　　) A. (-,0) B. (-∞,-)∪(0,+∞) C. (-∞,-]∪(0,+∞) D. [-,0) 【解析】选D.由于函数y=log2(x+1),y=m-在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点, 则即解得-≤m<0. 因此,实数m的取值范围是[-,0). (2)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示, 由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点. 【加练备选】 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为__________.  【解析】函数g(x)=f(x)-x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=x-a的图象有3个交点. 画出函数f(x)和y=x-a的图象,如图所示. 根据图象易知,要使函数f(x)和y=x-a的图象有3个交点,则-<-a≤0,即0≤a<. 答案: [0,) - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $