第07讲 实数的相关概念（4个模块6个知识点8个考点）-【暑假预习】2025-2026学年新七年级数学暑假精品课讲义（浙教版2024）

第07讲 实数的相关概念（4个模块6个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 实数的相关概念 · 模块二 无理数的估算 · 模块三 实数的大小比较 · 模块四 课后作业 模块一 实数的相关概念 知识点1 无理数 1. 整数 和 分数 统称有理数， 无限不循环小数 叫作无理数。 例如：2.2是有限小数，是无限循环小数，它们都是有理数；2.236 078 954…是无限不循环小数，是无理数。 2.小数的分类： 3.常见的无理数的形式 (1)开方开不尽的数，如，； (2)化简后含有π的数，如π，2π； (3)有规律但不循环的无限小数，如1.010 010 001…(两个1之间依次多一个0)。 注意： (1)无理数的小数部分位数无限。 (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 (3)判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如是有理数，而不是无理数。(4)不是分数，也不是有理数，是无理数。形如(b≠0，a，b是整数)的不是整数的数才是分数。 知识点2 实数的概念及分类 有理数和无理数统称实数。 （1）按概念分类 （2）按正实数、零、负实数的关系分类 知识点3 实数与数轴的关系 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说 实数 和数轴上的点一一对应。 拓展： (1)实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数。 (2)数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数. 知识点4 实数的相关概念 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义相同。 (1)相反数：①a的相反数是 -a 。如与-互为相反数。 ②a与b互为相反数⇔a+b=0。 (2)绝对值：①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0。 (3)倒数:①a的倒数是 。如与 互为倒数。 ②两个非零数a与b互为倒数⇔ab=1。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。 说明: (1)互为相反数的两个数的绝对值相等，即=。 (2)实数a满a ≤ 。 考点专训 考点1 无理数的概念 【例1】下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数，根据有限小数的定义逐项进行判断即可．熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：A．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意； B．，是有限小数，故此选项符合题意； C．，是无限循环小数，故此选不符合题意； D．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根不可能是负数 B．带根号的数是无理数 C．无限小数是无理数 D．实数和数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及平方根、无理数的定义，需注意有理数和无理数都可以在数轴上表示，数轴上的点和实数具有一一对应关系，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正数的平方根有正数和负数两个，故选项A错误； B、带根号不一定是无理数，如，故选项B误； C、无限不循环小数是无理数，故选项C误； D、实数和数轴上的数一一对应，故选项D确； 故选：D 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．是最小的无理数 D．数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，无理数，绝对值，实数与数轴．根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，绝对值，实数与数轴依次进行判断即可得． 【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意； B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意； C、没有最小的无理数，本选项不符合题意； D、数轴上的每一个点都表示唯一一个实数，本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可． 【详解】解：、、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个， 、，是有理数， 故答案为：3． 【变式4】请你写出一个无理数，使得，则为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：为无理数，且， 可以为，，…… 故答案为：，（答案不唯一）． 考点2 实数的概念及分类 【例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 【变式2】把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，． 整数集合：{         …} 负有理数集合：{           …} 无理数集合：{           …} 【答案】；；． 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键在于明确整数（含正整数、负整数、零）、负有理数（负整数和负分数）、无理数（无限不循环小数）的定义，并逐一判断每个数的属性．本题根据整数、负有理数、无理数的定义，对给出的实数逐一分类即可． 【详解】解： 整数集合：；   负有理数集合：；   无理数集合：． 【变式3】将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，， 正分数集合｛            …｝ 负有理数集合｛            …｝ 无理数集合｛            …｝ 【答案】，，；，；， 【分析】本题考查实数的分类，掌握其分类的本质是关键．根据分数、负有理数和无理数的定义质，依次对各个数字分析分类，即可求解． 【详解】解：正分数集合｛，，， …｝ 负有理数集合{ ，，…} 无理数集合｛，，…｝ 故答案为：，，；，；，． 【变式4】把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________ …}； (2)负无理数集合：{____________ …}； (3)整数集合：{____________ …}； (4)正实数集合：{____________ …}； (5)负实数集合：{____________ …}． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数统称为实数，是解题的关键： （1）根据正无理数是大于0的无限不循环小数，作答即可； （2）根据负无理数是小于0的无限不循环小数，作答即可； （3）根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可； （4）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可； （5）根据负实数包括负有理数和负无理数，作答即可； 【详解】（1）解：正无理数集合：{…}； （2）负无理数集合：{…} （3）整数集合：{…} （4）正实数集合：{…}； （5）负实数集合：{…}． 考点3 实数与数轴 【例1】如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，结合数轴即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴数轴上表示的点可能是点， 故选：C． 【变式1】如图，数轴上有、、、四个点，其中与最接近的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的大小估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算可得，再观察数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， 观察数轴可得，与最接近的点是点． 故选：D． 【变式2】如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 【答案】B 【分析】此题考查了实数在数轴的上表示方法，首先求出正方形对角线的长度，然后得出，，逐一判断即可，解题的关键是根据题意求出正方形对角线的长度． 【详解】解：由题意可得：正方形的对角线长为， ∴，，故A选项不符合题意； ∵， ∴表示数的点在线段上，故B选项符合题意； ∵， ∴是有理数，故C选项不符合题意； ∵， ∴是无理数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式4】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理是解题的关键． 根据数轴上实数的位置，分别计算出所在的区间，对比即可． 【详解】解：由数轴可知，， 是正数，是负数，且． ， ，且， ， ，且． ， ，的绝对值为， 又因为在到之间，在到之间且， ， ， ， ，，， ， ， ．，，， ， 故选：A． 考点4 实数的性质 【例1】下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的是， 故选：A． 【变式1】的相反数是（   ） A．3．14 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的相反数，正确理解概念是解题的关键． 根据实数的相反数概念，即可解答． 【详解】解：的相反数为， 故选D 【变式2】关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）∵ ， ∴ ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式4】 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 模块二 无理数的估算 知识点 利用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首先确定其 整数 部分，再确定十分位、百分位等 小数 部分。经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根进行比较。例如：估算的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1和4，因为1<2<4，所以1<<，即1<<2。 考点专训 考点1 估算无理数的大小 【例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．20和40之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数大小的方法是解题关键； 先根据夹逼法得到，进而可得，即得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以估计的值在5和6之间； 故选：B. 【变式1】整数满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，找到被开方数左右两边相邻的可以开方的数，然后进行判断即可，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【变式2】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小．根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即3和4之间， 故选：C． 【变式3】绝对值不大于的整数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，绝对值的意义，先估算出的大小，再根据绝对值的意义求出所有符合条件的整数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值不大于的整数有，，0， ∴绝对值不大于的整数的个数是5． 故选：D． 【变式4】若（为正整数），则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解题的关键． 根据二次根式的估算方法解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 考点2 求无理数的整数部分和小数部分 【例1】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 【变式1】若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大小关系确定的范围，从而得到其整数部分与小数部分． 1．利用，，，确定的范围为，得出整数部分，小数部分．将、的值代入，利用平方差公式计算出结果． 【详解】，，， ， 的整数部分，小数部分， 原式 ， 故选：B． 【变式2】已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， ∴， 解得：． ∵的平方根是， ， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根为． 【变式3】已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算求出a的值，再根据无理数的估算求出b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 故答案为：． 【变式4】【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1)， (2)和 (3) (4)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，实数的性质，利用平方根解方程． （1）利用，得，即可求解； （2）因为得，即可求解； （3）利用，得出，利用，其中是整数，且，得出，，即可求解； （4）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 即在和之间； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴的相反数为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∵， ∴ ∴或， 则或． 模块三 实数的大小比较 知识点 实数的大小比较 1.利用数轴比较实数的大小 与有理数的大小比较法则一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 2.利用实数的分类比较大小 (1)正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数。 (2)两个正实数，绝对值大的数较大。 (3)两个负实数，绝对值大的数反而小。 3.无理数大小的比较 (1)作差法：若->0，则>；若-<0，则<。 (2)平方法：把含根号的两个无理数同时平方，比较平方后数的大小，同时要考虑符号。如：比较3，4，的大小，利用3²<4²<()²即可得到3<4<。 拓展：当两个带根号的无理数比较大小时，可应用 a>b≥0⇔>。 考点专训 考点1 比较实数的大小 【例1】在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 先求出每个数的绝对值的大小，然后根据实数大小比较的法则比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：A． 【变式1】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】介于与之间的整数是 ． 【答案】和 【分析】本题考查无理数的估算，先估算和，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴介于与之间的整数是和， 故答案为：和． 【变式3】 ， ， ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：；；； 【变式4】实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是 ．    【答案】/ 【分析】根据各点在数轴上的位置判断其符号和绝对值的大小，进而可得结论． 【详解】由数轴得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，数轴与实数，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【变式5】已知、、三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4），（5），（6） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的化简和数轴，结合数轴确定的范围是解题的关键．首先根据确定的范围，再逐个分析即可． 【详解】由数轴可知，， ∴，故（1）正确； ∴，故（2）错误； ∴，故（3）错误； ∴，故（4）错误； ∴，故（5）正确； ∵， ∴，故（6）正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 考点2 利用数轴化简 【例1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，即，， ． 故选：B． 【变式1】已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，则，再结合绝对值的性质化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 【变式2】实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴及可得，，进而根据实数的运算法则逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴，， ∴，，，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 【变式3】已知数在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：______1，______0，______； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，据此化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式4】有理数在数轴上的位置如图所示，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据数轴可得，然后即可求得的值，再代入所求式子计算即可． 本题考查整式的加减运算、利用数轴化简绝对值，已知式子的值求代数式的值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由数轴可得， ， ， 故答案为：． 模块四 课后作业 1．在这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了实数大小比较，根据正数大于零大于负数即可解答．解决本题的关键是熟记实数的大小比较． 【详解】解：， 最大的数是， 故选：C． 2．若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法． 分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，即， ，即， ，即， ∴，即 ∴， 故选：B． 3．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数与数轴，无理数的估算等知识，熟练进行无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算及点所处的位置进行判断即可． 【详解】解：（1），则， 而点A表示的数是大于的数，故错误； （2），由数轴知，点表示的数可能是， 故正确； （3），点表示的数接近3，故它表示的数不可能是； 故错误； （4），由数轴知，点D表示的数大于4， 故错误； 综上，正确的有1个； 故选：B． 5．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴的表示；由无理数的估算得，即可求解；能熟练进行无理数估算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 实数表示在数轴上，对应的点可能是点， 故选：A． 6．一座人民烈士纪念碑由烈士雕像和基座两部分组成．烈士雕像与基座高度的比值为，这个比值介于整数和之间，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵介于整数和之间， ∴， 故选：C． 7．如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值实数与数轴，由图可知，a在与之间，b在1与2之间，在这基础上用实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由图可知，a在与之间，b在1与2之间， ∴，；， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．把实数2，，从小到大用“”符号连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，掌握相关法则是解题关键．由正数大于负数可知，由无理数的估算可知，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 9．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 10 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解： ， ，则， 的整数部分为：10， 小数部分为， 故答案为：，． 10．在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，是无理数的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，无理数有，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2），共4个； 故答案为：4． 11． ， ， ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：；；； 12．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，相反数，平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先化简，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：， 如图所示． 由数轴可知，． 13．下列各数在数轴上表示出来：，，，．并用“”连接起来． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查实数的大小比较，先把含有括号的数化简，然后把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接即可．解题关键是熟练掌握把实数在数轴上表示出来． 【详解】解：，， 各数这种数轴上表示为： ∴． 14．把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{            …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 【答案】，，，，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一）， 【分析】本题考查了实数．熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据整数，负数，分数，有理数，整数，无理数的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：， 整数：， 负数：， 分数：， 有理数：， 正数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}， 无理数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 15．现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 【答案】(1)；； (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． （1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可． 【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可得，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 实数的相关概念（4个模块6个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 实数的相关概念 · 模块二 无理数的估算 · 模块三 实数的大小比较 · 模块四 课后作业 模块一 实数的相关概念 知识点1 无理数 1. 整数 和 分数 统称有理数， 无限不循环小数 叫作无理数。 例如：2.2是有限小数，是无限循环小数，它们都是有理数；2.236 078 954…是无限不循环小数，是无理数。 2.小数的分类： 3.常见的无理数的形式 (1)开方开不尽的数，如，； (2)化简后含有π的数，如π，2π； (3)有规律但不循环的无限小数，如1.010 010 001…(两个1之间依次多一个0)。 注意： (1)无理数的小数部分位数无限。 (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 (3)判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如是有理数，而不是无理数。(4)不是分数，也不是有理数，是无理数。形如(b≠0，a，b是整数)的不是整数的数才是分数。 知识点2 实数的概念及分类 有理数和无理数统称实数。 （1）按概念分类 （2）按正实数、零、负实数的关系分类 知识点3 实数与数轴的关系 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说 实数 和数轴上的点一一对应。 拓展： (1)实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数。 (2)数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数. 知识点4 实数的相关概念 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义相同。 (1)相反数：①a的相反数是 -a 。如与-互为相反数。 ②a与b互为相反数⇔a+b=0。 (2)绝对值：①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0。 (3)倒数:①a的倒数是 。如与 互为倒数。 ②两个非零数a与b互为倒数⇔ab=1。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。 说明: (1)互为相反数的两个数的绝对值相等，即=。 (2)实数a满a ≤ 。 考点专训 考点1 无理数的概念 【例1】下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根不可能是负数 B．带根号的数是无理数 C．无限小数是无理数 D．实数和数轴上的点一一对应 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．是最小的无理数 D．数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 【变式3】下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 【变式4】请你写出一个无理数，使得，则为 ． 考点2 实数的概念及分类 【例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【变式2】把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，． 整数集合：{         …} 负有理数集合：{           …} 无理数集合：{           …} 【变式3】将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，， 正分数集合｛            …｝ 负有理数集合｛            …｝ 无理数集合｛            …｝ 【变式4】把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________ …}； (2)负无理数集合：{____________ …}； (3)整数集合：{____________ …}； (4)正实数集合：{____________ …}； (5)负实数集合：{____________ …}． 考点3 实数与数轴 【例1】如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，数轴上有、、、四个点，其中与最接近的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 【变式4】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点4 实数的性质 【例1】下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】的相反数是（   ） A．3．14 B． C． D． 【变式2】关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 【变式3】填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若 ，则 ． 【变式4】 ， ． 模块二 无理数的估算 知识点 利用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首先确定其 整数 部分，再确定十分位、百分位等 小数 部分。经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根进行比较。例如：估算的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1和4，因为1<2<4，所以1<<，即1<<2。 考点专训 考点1 估算无理数的大小 【例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．20和40之间 【变式1】整数满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式3】绝对值不大于的整数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】若（为正整数），则 ． 考点2 求无理数的整数部分和小数部分 【例1】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【变式1】若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式3】已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ． 【变式4】【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 模块三 实数的大小比较 知识点 实数的大小比较 1.利用数轴比较实数的大小 与有理数的大小比较法则一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 2.利用实数的分类比较大小 (1)正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数。 (2)两个正实数，绝对值大的数较大。 (3)两个负实数，绝对值大的数反而小。 3.无理数大小的比较 (1)作差法：若->0，则>；若-<0，则<。 (2)平方法：把含根号的两个无理数同时平方，比较平方后数的大小，同时要考虑符号。如：比较3，4，的大小，利用3²<4²<()²即可得到3<4<。 拓展：当两个带根号的无理数比较大小时，可应用 a>b≥0⇔>。 考点专训 考点1 比较实数的大小 【例1】在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 【变式1】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式2】介于与之间的整数是 ． 【变式3】 ， ， ．（填“”“”或“”） 【变式4】实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是 ．    【变式5】已知、、三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4），（5），（6） A．个 B．个 C．个 D．个 考点2 利用数轴化简 【例1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【变式2】实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知数在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：______1，______0，______； (2)化简：． 【变式4】有理数在数轴上的位置如图所示，若，则的值是 ． 模块四 课后作业 1．在这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．1 2．若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．一座人民烈士纪念碑由烈士雕像和基座两部分组成．烈士雕像与基座高度的比值为，这个比值介于整数和之间，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 8．把实数2，，从小到大用“”符号连接起来为 ． 9．的整数部分是 ，小数部分是 ． 10．在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，是无理数的有 个． 11． ， ， ．（填“”“”或“”） 12．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 13．下列各数在数轴上表示出来：，，，．并用“”连接起来． 14．把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{            …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 15．现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 学科网（北京）股份有限公司 $$