第06讲 平方根（3个模块3个知识点6个考点）-【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学暑假精品课讲义（浙教版2024）

第06讲 平方根（3个模块3个知识点6个考点） 模块导航 · 模块一 平方根 · 模块二 算术平方根 · 模块三 课后作业 模块一 平方根 知识点1 平方根 1.概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫作a的 平方根 ，也叫作a的 二次方根 。例如，因为 1.22=1.44，所以1.2是1.44的一个平方根。 说明：例如:3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数。平方根是它本身的数只有0。 2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为 相反数 ；零的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 注意：因为正数、0、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。 3. 一个正数a的正平方根用 表示(读作“根号a”)；a的负平方根用“ - ”表示(读作“负根号a”），因此，一个正数a的平方根就用“ ± ”表示（读作“ 正、负根号a ”），其中a叫作 被开方数 。 知识点2 开平方 1.概念：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。 2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 注意： (1)开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号，读作“二次根号”，这里根指数2被省略了。 (2)“数a的平方根是m，n”与“m，n是数a的平方根”含义不完全相同，前者m，n是互为相反数，后者m，n是相等或互为相反数。 考点专训 考点1 平方根的概念 【例1】用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 【变式1】平方根是的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，即平方根是的是． 故答案为： 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式3】下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答． 【详解】解：0有平方根， ，有平方根， ，有平方根， ，没有平方根， ，没有平方根， ，有平方根， 中，当时，没有平方根， 综上所述，一定有平方根的数共有4个． 故选：B． 【变式4】下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式5】正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和， ∴，解得：． ∴， ∴这个正数m的值为． 故答案为：． 考点2 求一个数的平方根 【例1】的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根为， 故选：D． 【变式1】平方根等于它本身的数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：平方根等于它本身的数是0， 故答案为：0． 【变式2】一个数的平方等于196，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故答案为：． 【变式3】若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，注意：一个正数的平方根有两个．先利用平方根求出，再代入求平方根即可． 【详解】解： 是4的平方根， ， 的值为或， 的正的平方根是或， 故选：D． 【变式4】求下列各数的平方根： (1)81= ；(2)= ；(3)1.69= ；(4)= ；(5)= ；(6)= 。 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； 【分析】此题考查了求平方根． （1）根据平方根的定义进行解答即可； （2）根据平方根的定义进行解答即可； （3）根据平方根的定义进行解答即可； （4）根据平方根的定义进行解答即可； （5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴81的平方根是． （2） ∴的平方根是． （3）， ∴1.69的平方根是． （4） ∴的平方根是． （5）， 的平方根是． （6） ∴的平方根是． 【变式5】求下列各式的值： (1)= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 考点3 利用平方根的性质求值 【例1】若与是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是（   ） A．1 B． C．2或 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，熟知一个非负数的两个平方根互为相反数是解题的关键； 根据一个非负数的两个平方根互为相反数可得关于m的方程，解方程即可求出m，进而求解. 【详解】解：因为与是同一个数的两个不同的平方根， 所以， 解得：， 则这个数是：； 故选：D. 【变式1】一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 【答案】81 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出这个数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个数是， 故答案为：81． 【变式2】若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【答案】1或25 【分析】本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，从而可求出一个平方根，再由平方根的平方，可得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 【变式3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）直接求361的平方根即可； （2）先变形为，再求平方根即可； （3）先变形为，再求平方根即可； （4）先变形为，然后把看成一个整体，求平方根得，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， ， 即； （4）解：， ， ， 当时，； 当时，． 综上所述，或． 【变式4】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 【详解】解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 模块二 算术平方根 知识点 算术平方根的概念及性质 1.正数的 正平方根 称为算术平方根。一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。例如，9的算术平方根是3，即；的算术平方根是，即。 2.一个正数的算术平方根是 正数 ，负数 没有 算术平方数，0的算术平方根是0。 3.算术平方根的双重非负性：(1)被开方数a≥0；(2)算术平方根≥0。 注意：与的区别 (1)意义不同：前者是a的平方的算术平方根，后者是a的算术平方根的平方。 (2)被开方数的取值范围不同，前者a为任意数，后者a为非负数。 (3)结果不同：==；=a(a≥0) 只有当a ≥ 0时，即a为非负数时，这两个式子的结果才相同。 考点专训 考点1 算术平方根的概念 【例1】4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根，算术平方根是正的平方根．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：4的算术平方根是． 故答案为：2． 【变式1】下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根及平方根．根据算术平方根及平方根的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，所以本选项不符合题意； B、，所以本选项符合题意； C、，所以本选项不符合题意； D、，所以本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【变式3】在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7；(2)；(3)，； 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 考点2 求一个数的算术平方根 【例1】计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 【答案】（1），（2），（3），（4），；结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握平方根是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1），； （2），； （3），； （4），． 结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【变式1】求下列各数的算术平方根： (1)121= ；(2)1.44= ；(3)= ；(4)= ． 【答案】(1)11；(2)1.2；(3)；(4)． 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义逐题求解即可． 【详解】（1）， ∴121的算术平方根是11； （2）， ∴1.44的算术平方根是1.2； （3）， 的算术平方根是； （4）， 的算术平方根是． 【变式2】求下列各数的算术平方根： (1)0.49= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 【答案】(1)0.7；(2)3；(3)；(4)3； 【分析】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴0.49的算术平方根是0.7； （2）解：， ∵， ∴的算术平方根是3； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根是； （4）解：∵， ∴的算术平方根是3． 【变式3】求下列各数的算术平方根． (1)64= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】（1）根据算术平方根的定义解答即可．   （2）根据算术平方根的定义解答即可． （3）根据算术平方根的定义解答即可． （4）根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴64的算术平方根为8， 即． （2）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （3）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （4）解：∵，， ∴81的算术平方根为9， 即． 考点3 利用算术平方根的性质求值 【例1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，据此可得，求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】若实数，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平方的非负性质求出，的值，再代入进行计算即可． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【变式2】已知为有理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性以及代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每一非负性均为0，是解题的关键． 根据非负性求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式4】若m、n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根以及平方根的定义，根据非负数的性质求出m，n的值，然后求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 故答案为：． 【变式5】已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解： ，， ， ，， ． 模块三 课后作业 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义和性质计算即可. 【详解】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项正确； C. ，故该选项错误； D. ，故该选项错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查算术平方根的运算，先算根号下的结果，再开根号是解题的关键. 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据平方根、算数平方根和乘方进行化简计算即可． 【详解】A. ，原选项错误，不符合题意； B. ，原选项正确，符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了求平方根、算数平方根和乘方运算，熟练掌握知识点并注意符号是解题的关键． 3．如果一个数的平方等于，那么这个数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用平方根的定义解题即可． 【详解】解：因为数的平方等于，， ∴这个数为， 选故A． 【点睛】本题考查平方根的定义，如果一个数x的平方是a，那么x叫做a的平方根． 4．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（   ） A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义； 根据平方根和算术平方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，表示16的平方根是，不符合题意； ②，表示的算术平方根的相反数，不符合题意； ③，表示25的算术平方根是5，符合题意； ④，表示36的算术平方根是6，符合题意； ⑤，结果应该是，不符合题意； ⑥，表示是16的一个平方根，不符合题意； 综上，其中表示一个数的算术平方根的是③④， 故选：C． 5．在实数中，平方根等于它本身的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根，根据平方根的定义即可判断出平方根等于它本身的数． 【详解】解：平方根等于它本身的数有，共1个， 故选：A． 6．已知，的平方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，解题的关键是根据题意得出，． 【详解】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 那么的平方根为， 故答案为：． 7．化简 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：2021 8．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根；先利用算术平方根的定义化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 9．方程中的x值等于 ． 【答案】或3 【分析】先对原方程变形，然后运用平方根的定义即可解答． 【详解】解： 或 或3． 故答案为或3． 【点睛】本题主要考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解答本题的关键． 10．计算：= 【答案】8 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根和算术平方根的求解，掌握计算方法是解题的关键． 11．若x满足，则x= ． 【答案】或 【分析】原方程化为：，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：原方程化为：， 得：， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握其解法是解题的关键． 12．已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解 从而可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴这个正数等于， 故答案为：． 13．已知，的算术平方根是6，求的值． 【答案】5 【分析】利用方程求得的值，然后利用算术平方根的定义求得y值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查实数的运算，算术平方根的定义，熟练掌握并运用相关运算法则是解题的关键． 14．已知x是的平方根，y的算术平方根是，求的的值． 【答案】的值为或 【分析】先分别根据平方根和算术平方根的意义求出x和y的值，再根据要求进行求解即可． 【详解】∵x是的平方根， ∴8． ∵y的算术平方根是， ∴． ∴当8时． ∴． ∴当8时． ∴． ∴的值为或． 【点睛】本题考查了据平方根，算术平方根的意义，熟练掌握知识点是解题的根据． 15．已知的算术平方根是，，求，的值． 【答案】或 【分析】首先利用平方根的概念解出x，然后再根据算术平方根的定义，得出，进而得出，最后把的值代入并计算，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ∴或， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∴整理，得， ∴当时，， 当时，， ∴，的值为或． 【点睛】本题考查了用平方根的概念解方程、算术平方根定义，解本题的关键在正确运用平方根求方程的解．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就为的算术平方根；平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平方根（3个模块3个知识点6个考点） 模块导航 · 模块一 平方根 · 模块二 算术平方根 · 模块三 课后作业 模块一 平方根 知识点1 平方根 1.概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫作a的 平方根 ，也叫作a的 二次方根 。例如，因为 1.22=1.44，所以1.2是1.44的一个平方根。 说明：例如:3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数。平方根是它本身的数只有0。 2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为 相反数 ；零的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 注意：因为正数、0、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。 3. 一个正数a的正平方根用 表示(读作“根号a”)；a的负平方根用“ - ”表示(读作“负根号a”），因此，一个正数a的平方根就用“ ± ”表示（读作“ 正、负根号a ”），其中a叫作 被开方数 。 知识点2 开平方 1.概念：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。 2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 注意： (1)开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号，读作“二次根号”，这里根指数2被省略了。 (2)“数a的平方根是m，n”与“m，n是数a的平方根”含义不完全相同，前者m，n是互为相反数，后者m，n是相等或互为相反数。 考点专训 考点1 平方根的概念 【例1】用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】平方根是的数是 ． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【变式3】下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4】下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 考点2 求一个数的平方根 【例1】的平方根为（   ） A． B． C． D． 【变式1】平方根等于它本身的数是 ． 【变式2】一个数的平方等于196，则这个数是 ． 【变式3】若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【变式4】求下列各数的平方根： (1)81= ；(2)= ；(3)1.69= ；(4)= ；(5)= ；(6)= 。 【变式5】求下列各式的值： (1)= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 考点3 利用平方根的性质求值 【例1】若与是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是（   ） A．1 B． C．2或 D．4 【变式1】一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 【变式2】若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【变式3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 模块二 算术平方根 知识点 算术平方根的概念及性质 1.正数的 正平方根 称为算术平方根。一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。例如，9的算术平方根是3，即；的算术平方根是，即。 2.一个正数的算术平方根是 正数 ，负数 没有 算术平方数，0的算术平方根是0。 3.算术平方根的双重非负性：(1)被开方数a≥0；(2)算术平方根≥0。 注意：与的区别 (1)意义不同：前者是a的平方的算术平方根，后者是a的算术平方根的平方。 (2)被开方数的取值范围不同，前者a为任意数，后者a为非负数。 (3)结果不同：==；=a(a≥0) 只有当a ≥ 0时，即a为非负数时，这两个式子的结果才相同。 考点专训 考点1 算术平方根的概念 【例1】4的算术平方根是 ． 【变式1】下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【变式3】在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 考点2 求一个数的算术平方根 【例1】计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 【变式1】求下列各数的算术平方根： (1)121= ；(2)1.44= ；(3)= ；(4)= ． 【变式2】求下列各数的算术平方根： (1)0.49= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 【变式3】求下列各数的算术平方根． (1)64= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． 考点3 利用算术平方根的性质求值 【例1】若，则的值为 ． 【变式1】若实数，满足，则的值是 ． 【变式2】已知为有理数，且，则 ． 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】若m、n满足，则的平方根是 ． 【变式5】已知，求的值． 模块三 课后作业 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果一个数的平方等于，那么这个数是（    ） A． B． C．3 D． 4．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（   ） A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤ 5．在实数中，平方根等于它本身的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 6．已知，的平方根是，则的平方根为 ． 7．化简 ． 8．计算： ． 9．方程中的x值等于 ． 10．计算：= 11．若x满足，则x= ． 12．已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于 ． 13．已知，的算术平方根是6，求的值． 14．已知x是的平方根，y的算术平方根是，求的的值． 15．已知的算术平方根是，，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$