第04讲 有理数的乘除运算（5个模块7个知识点8个考点）-【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学暑假精品课讲义（浙教版2024）

第04讲 有理数的乘除运算（5个模块7个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 有理数的乘法 · 模块二 多个有理数相乘及乘法运算律 · 模块三 有理数的除法 · 模块四 有理数的加减乘除混合运算 · 模块五 课后作业 模块一 有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为 正数 ；正数乘负数，积为 负数 ；负数乘正数，积为 负数 ；负数乘负数，积为 正数 ，积的绝对值等于各乘数的 绝对值 的积。 2.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的 积 ；任何数与0相乘，都得 0 。 3.有理数乘法法则也可以表示如下: 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×( +b)=a×b， (-a)×(-b)= a×b； (-a)×(+b)= -（a×b） ， (+a)×(-b)=-(a×b)； c×0=0， 0×c=0。 注意： (1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来。 (2)两数相乘,根据有理数乘法法则,先确定积的符号,再把绝对值相乘。 (3)遇到含带分数的乘法运算时,要先把带分数化成假分数，再计算。 (4)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数。 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念:乘积是 1 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数,则 a×b=1。 2.互为负倒数:乘积是 -1 的两个数互为负倒数.即若a与b互为负倒数,则 a×b=-1。如：2与- 注意： (1)0没有倒数,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 (2)倒数是相互的,即若ab=1,则a是b的倒数,b也是a的倒数,a与b互为倒数。 (3)倒数等于它本身的数是±1。 (4)互为倒数的两个数一定同号。 3.倒数的求法: 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.4的倒数：1÷0.4=2.5 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.3的倒数：0.3=，倒数 带分数的倒数 先把带分数化为 假分数 ，然后将分子分母调换位置 ，倒数为 考点专训 考点1 有理数的乘法法则 【例1】计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】已知a，b是不相等的两个数，，且，下列关于a，b的说法正确的是（   ） A．都是正数 B．都是负数 C．均为0 D．互为相反数 【变式2】若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0；（3）a b；    （4）ac bc；（5） ； （6） ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点2 倒数 【例1】的倒数是（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 【变式3】若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【变式4】的倒数是 ，它的相反数是 ，它的绝对值是 ；的倒数是 ； 的倒数是 ；倒数等于本身的数是 ；的倒数的相反数是 ． 模块二 多个有理数相乘及乘法运算律 知识点1 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的 位置 ， 积 不变 ab = b a 乘法结合律 三个数相乘，先把 前两个 相乘，或者先把 后两个 相乘， 积 不变 (ab)c = a(b c) 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数 相乘 ，再把积 相加 a(b+c) =ab+ac 注意： 运用乘法分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和。 例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b. 知识点2 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是 2.几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为 0 注意： (1)几个不为0的有理数相乘,先根据负乘数的个数确定积的符号,然后把绝对值相乘。 (2)如果几个数相乘积为0,那么至少有一个乘数为 0. 考点专训 考点1 多个有理数相乘 【例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】用、、填空． 【变式2】若有理数满足，，则中负数的个数是 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】简便运算： (1)； (2)． 考点2 有理数的乘法运算律 【例1】用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【变式2】下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【变式3】脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【变式4】用简便方法计算： (1) (2) 【变式5】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 模块三 有理数的除法 知识点 有理数除法法则 1.有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的 倒数 。即a÷b= (2)两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的 商 。若ab>0，则 > 0；若ab<0，则 < 0。 (3)0除以任何一个不等于0的数,都得 0 。 注意： (1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号。 (2)两个数相除,若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数。 (3)在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为 0。 (4)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律。 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 (1)对于除法的两个法则,在计算时可根据具体情况选用,一般在不能整除的情况下选用法则(1)比较简便,在能整除的情况下,选用法则(2)比较简便. (2)如果被除数和除数都是整数,且不能整除,或者如果被除数和除数中有小数或分数,一般选用法则(1)进行计算. 考点专训 考点1 有理数的除法法则 【例1】计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中错误的是（   ） A．零除以任何非零数都是零 B． 的倒数的绝对值是 C．相反数等于它的本身的数是零和一切正数 D．除以一个非零数，等于乘以它的倒数 【变式3】的倒数是 ， 的倒数是．若、互为倒数，则 ． 【变式4】化简： ； ； ； ． 考点2 有理数的除法计算 【例1】计算：(1)； (2)． 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算：(1)． (2)． 模块四 有理数的加减乘除混合运算 知识点1 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 除法 转化为 乘法 然后按照乘法法则，确定积的 符号 ,最后求出结果。 注意：(1)乘除混合运算中，积的符号由负乘数的个数确定。 (2)结果能化简的要化简。 (3)两个原则:①变除为乘;②从左到右。 知识点2 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算:先算 乘除 ,后算 加减 ,有括号先算括号里面的(先小括号，再中括号，最后大括号)，同级运算，按照 从左往右顺序 进行计算。 注意：在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式： 一是把乘积形式a(b+c)化成和的形式 ab+ac； 二是把和的形式ab+ac化成乘积的形式a(b+c),注意灵活应用。考点专训 考点1 有理数的乘除混合运算 【例1】计算：(1)； (2)． 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【变式2】计算：(1) ； (2) ； (3) ． 考点2 有理数的加减乘除混合运算 【例1】计算：(1) (2) 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【变式2】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算下面各题，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 模块四 课后作业 1．有理数的倒数为（    ） A． B．5 C． D． 2．下列运算中，结果小于0的是（    ） A． B． C． D． 3．某大型商超将一批课桌降价出售，原价130元的课桌全部按九折出售，依旧能获利27元，则该课桌的进价为（   ） A．80元 B．85元 C．90元 D．100元 4．_____． 5．计算：__________ 6．计算的结果是_____． 7．计算：__________． 8．甲、乙两数的和是42，甲与乙的比是，甲、乙两数差是_____． 9．小明做这样一道题：“计算：”．其中“□”处被污渍覆盖，他翻开后面的答案得知该题的计算结果是8．那么“□”表示的数是 _____． 10．在，，，这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______． 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______． 12．绝对值大于1且小于4的所有整数的积为_____，绝对值不大于6的所有负整数的积是_____． 13．定义一种新运算：，则的值是______． 14．计算： (1) (2) (3) 15．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘除运算（5个模块7个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 有理数的乘法 · 模块二 多个有理数相乘及乘法运算律 · 模块三 有理数的除法 · 模块四 有理数的加减乘除混合运算 · 模块五 课后作业 模块一 有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为 正数 ；正数乘负数，积为 负数 ；负数乘正数，积为 负数 ；负数乘负数，积为 正数 ，积的绝对值等于各乘数的 绝对值 的积。 2.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的 积 ；任何数与0相乘，都得 0 。 3.有理数乘法法则也可以表示如下: 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×( +b)=a×b， (-a)×(-b)= a×b； (-a)×(+b)= -（a×b） ， (+a)×(-b)=-(a×b)； c×0=0， 0×c=0。 注意： (1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来。 (2)两数相乘,根据有理数乘法法则,先确定积的符号,再把绝对值相乘。 (3)遇到含带分数的乘法运算时,要先把带分数化成假分数，再计算。 (4)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数。 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念:乘积是 1 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数,则 a×b=1。 2.互为负倒数:乘积是 -1 的两个数互为负倒数.即若a与b互为负倒数,则 a×b=-1。如：2与- 注意： (1)0没有倒数,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 (2)倒数是相互的,即若ab=1,则a是b的倒数,b也是a的倒数,a与b互为倒数。 (3)倒数等于它本身的数是±1。 (4)互为倒数的两个数一定同号。 3.倒数的求法: 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.4的倒数：1÷0.4=2.5 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.3的倒数：0.3=，倒数 带分数的倒数 先把带分数化为 假分数 ，然后将分子分母调换位置 ，倒数为 考点专训 考点1 有理数的乘法法则 【例1】计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】已知a，b是不相等的两个数，，且，下列关于a，b的说法正确的是（   ） A．都是正数 B．都是负数 C．均为0 D．互为相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法，相反数定义，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴、为异号， ∵， ∴a，b互为相反数， 故选：D． 【变式2】若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解： ，， ，， 又 ， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 【变式3】已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0；（3）a b；    （4）ac bc；（5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴，有理数的乘法运算，有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的数右边比左边大以及不等式的性质是解题的关键．本题观察数轴得出，进一步运用有理数的乘法运算法则逐空进行分析即可． 【详解】解：观察数轴得出， （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)700； 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，正确处理符号是解题的关键． （1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算； （2）先确定符号，利用交换律和结合律计算； （3）先确定符号，再计算； （4）先确定符号，利用交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点2 倒数 【例1】的倒数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：的倒数是； 故选：D 【变式1】实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 【变式2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 【答案】2009或/或2009 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数的混合运算，先根据“a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1”可得、或，然后再分和两种情况，分别代入计算即可；掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1， ∴，或， 当m＝1时，原式； 当时，原式． 故答案为：2009或． 【变式3】若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 【变式4】的倒数是 ，它的相反数是 ，它的绝对值是 ；的倒数是 ； 的倒数是 ；倒数等于本身的数是 ；的倒数的相反数是 ． 【答案】 7 7 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0；倒数的性质，互为倒数的两个数积为1；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．求解即可． 【详解】解：的倒数是，它的相反数是7，它的绝对值是7； 的倒数是； 的倒数是； 倒数等于本身的数是； 的倒数的相反数是． 故答案为：，7，7，，，，． 【点睛】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义和性质．是基础题，需要熟练掌握． 模块二 多个有理数相乘及乘法运算律 知识点1 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的 位置 ， 积 不变 ab = b a 乘法结合律 三个数相乘，先把 前两个 相乘，或者先把 后两个 相乘， 积 不变 (ab)c = a(b c) 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数 相乘 ，再把积 相加 a(b+c) =ab+ac 注意： 运用乘法分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和。 例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b. 知识点2 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是 2.几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为 0 注意： (1)几个不为0的有理数相乘,先根据负乘数的个数确定积的符号,然后把绝对值相乘。 (2)如果几个数相乘积为0,那么至少有一个乘数为 0. 考点专训 考点1 多个有理数相乘 【例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式1】用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】若有理数满足，，则中负数的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意； ∴三数中有两数为负，一数为正． 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)0；(4)； 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4】简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了乘法分配律在计算中的简便计算，掌握以上知识是解题的关键； （1）观察算式可以利用乘法分配律的逆运算，然后即可求解； （2）观察算式可以利用乘法分配律，然后即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 考点2 有理数的乘法运算律 【例1】用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式1】某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据原式变形为，利用了乘法的交换律和结合律，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 【变式2】下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 【变式3】脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1)1；(2)1；(3)2.6； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． （1）先把转化为，再运用乘法分配律的逆运算法则，进行符合运算； （2）运用乘法交换律，乘法结合律，先计算和再把它们的积相乘； （3）运用乘法分配律，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5；(2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 模块三 有理数的除法 知识点 有理数除法法则 1.有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的 倒数 。即a÷b= (2)两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的 商 。若ab>0，则 > 0；若ab<0，则 < 0。 (3)0除以任何一个不等于0的数,都得 0 。 注意： (1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号。 (2)两个数相除,若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数。 (3)在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为 0。 (4)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律。 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 (1)对于除法的两个法则,在计算时可根据具体情况选用,一般在不能整除的情况下选用法则(1)比较简便,在能整除的情况下,选用法则(2)比较简便. (2)如果被除数和除数都是整数,且不能整除,或者如果被除数和除数中有小数或分数,一般选用法则(1)进行计算. 考点专训 考点1 有理数的除法法则 【例1】计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可得答案． 【详解】 故选：C． 【变式1】下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的除法，根据有理数的除法运算法则对各选项分别进行计算即可，熟练掌握有理数的除法的灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项错误，符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列说法中错误的是（   ） A．零除以任何非零数都是零 B． 的倒数的绝对值是 C．相反数等于它的本身的数是零和一切正数 D．除以一个非零数，等于乘以它的倒数 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘法与除法运算，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 零除以任何非零数都是零，故该选项正确，不符合题意； B. 的倒数的绝对值是，故该选项正确，不符合题意； C. 相反数等于它的本身的数是零，故该选项不正确，符合题意； D. 除以一个非零数，等于乘以它的倒数，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】的倒数是 ， 的倒数是．若、互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的除法运算，熟练掌握倒数，有理数的除法运算是解题的关键． 根据倒数的定义求解，由、互为倒数，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的倒数是； 的倒数是， ∴的倒数是； ∵、互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：，，． 【变式4】化简： ； ； ； ． 【答案】 20 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；20． 考点2 有理数的除法计算 【例1】计算：(1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)0；(3)； 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5；(2)；(3)；(4)36； 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据含0的有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【变式4】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)﹣；(2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法运算和有理数的除法运算，解决此题的关键是注意计算的正确性． （1）根据法则可以判断符号为负，再根据除法法则变乘法，即可得到结果； （2）根据有理数的除法法则：除以一个数等于陈乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： 模块四 有理数的加减乘除混合运算 知识点1 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 除法 转化为 乘法 然后按照乘法法则，确定积的 符号 ,最后求出结果。 注意： (1)乘除混合运算中，积的符号由负乘数的个数确定。 (2)结果能化简的要化简。 (3)两个原则:①变除为乘;②从左到右。 知识点2 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算:先算 乘除 ,后算 加减 ,有括号先算括号里面的(先小括号，再中括号，最后大括号)，同级运算，按照 从左往右顺序 进行计算。 注意： 在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式： 一是把乘积形式a(b+c)化成和的形式 ab+ac； 二是把和的形式ab+ac化成乘积的形式a(b+c),注意灵活应用。考点专训 考点1 有理数的乘除混合运算 【例1】计算：(1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． （1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】计算：(1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （2）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （3）先算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式 ． 考点2 有理数的加减乘除混合运算 【例1】计算：(1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】计算：(1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1；(2)；(3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）将除法改写为乘法，再进行计算即可； （2）利用乘法分配律，将括号展开，再进行计算即可； （3）将代分数化为假分数，将除法改写为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用乘法分配律进行简算； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律计算； （3）先算小括号里的减法，再算括号外的减法，最后算除法； （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算下面各题，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算律进行简便运算是解本题的关键； （1）先把除法化为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算即可； （2）先把后两个数相乘，再计算乘法即可； （3）直接利用分配律把原式化为：，再计算乘法即可； （4）利用乘法分配律先计算中括号内的运算，再计算小括号内的运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 模块四 课后作业 1．有理数的倒数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了倒数，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 2．下列运算中，结果小于0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．某大型商超将一批课桌降价出售，原价130元的课桌全部按九折出售，依旧能获利27元，则该课桌的进价为（   ） A．80元 B．85元 C．90元 D．100元 【答案】C 【分析】根据打折销售计算出成交价格，然后即可得出进价． 【详解】解：元的课桌全部按九折出售， ∴成交价为元， ∵能获利元， ∴进价为元， 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的乘法、减法的应用，理解题意，列出算式是解题关键． 4．_____． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除法则即可求出答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则． 5．计算：__________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除的运算法则是解题的关键． 6．计算的结果是_____． 【答案】9 【分析】按照乘除混合运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 7．计算：__________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 8．甲、乙两数的和是42，甲与乙的比是，甲、乙两数差是_____． 【答案】6 【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可． 【详解】解：甲、乙两数差是 ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，正确列出算式并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 9．小明做这样一道题：“计算：”．其中“□”处被污渍覆盖，他翻开后面的答案得知该题的计算结果是8．那么“□”表示的数是 _____． 【答案】 【分析】由得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．在，，，这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______． 【答案】 【分析】取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：根据题意得， 商最小的是：． 故答案为：． 【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键． 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______． 【答案】9 【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：根据 “每登高1km气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 下降为负，所以下降， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 12．绝对值大于1且小于4的所有整数的积为_____，绝对值不大于6的所有负整数的积是_____． 【答案】 【分析】先求出绝对值大于1且小于4的所有整数，绝对值不大于6的所有负整数，然后根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵绝对值大于1且小于4的所有整数为， ∴绝对值大于1且小于4的所有整数的积为； ∵绝对值不大于6的所有负整数为， ∴绝对值不大于6的所有负整数的积是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法计算，绝对值的意义，灵活运用所学知识是解题的关键． 13．定义一种新运算：，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算可得． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则． 14．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． 15．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)； 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算； （5）根据有理数的混合运算进行计算； （6）根据乘法分配律进行计算； （7）根据乘法分配律进行计算；． （8）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： （8）解： 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