第02讲 相反数与绝对值（4个模块3个知识点9个考点）-【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学暑假精品课讲义（浙教版2024）

第02讲 相反数与绝对值（4个模块3个知识点9个考点） 模块导航 · 模块一 相反数 · 模块二 绝对值 · 模块三 有理数的大小比较 · 模块四 课后作业 模块一 相反数 知识点 相反数 1. 相反数的定义:像3和-3，和这样只有符号不同的两个数，是互为 相反数 。 拓展 若a和b互为相反数,则a +b = 0. 2.相反数的表示方法:一般地，a和 -a 互为相反数。这里a表示任意一个数，可以是 正数 、负数 ，也可以是 0 。例如:当 a=1时，-a=-1，1的相反数是-1，同时，-1的相反数是1。 特别地，0的相反数是0。 注意： (1)因为a可以表示任意有理数,所以-a不一定是负数,应分类讨论。 例如:当a =-2时,-a =-(-2)=2,此时-a是正数而不是负数。 (2)一个数的相反数等于它本身,这个数是0。 (3)只有符号不同的两个数互为相反数. (4)相反数是成对出现的,不能单独存在. 3、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数. 4、求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“ - ”表示原数的相反数。 5、多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号，结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 6、倒数：乘积为的两个有理数互为倒数．例如：2与，与，与． 7、负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数．例如：2与，与，与． 注意：①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 考点专训 考点1 相反数的意义 【例1】的相反数是（    ） A． B． C．19 D． 【变式1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【变式2】如图，数轴上的两点A，B表示的数互为相反数．若点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式3】的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 【变式4】填空： （1）3.5的相反数是 ，是 的相反数； （2）的相反数是 ， 的相反数是0； （3）与 互为相反数， 与互为相反数． 考点2 化简多重符号 【例1】下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【变式2】的相反数是 ；的相反数是 ，数的相反数是 ，数的相反数是 ；与 互为相反数． 【变式3】化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 【变式4】化简： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ． 模块二 绝对值 知识点 绝对值 1、定义:一般地，数轴上表示数a的点与 原点 的 距离 叫作数a的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的判断:一个正数的绝对值是 它本身 ，一个负数的绝对值是 它的相反数 ，0的绝对值是 0 。即如果 a>0，那么|a|= a ；如果a=0，那么|a|= 0 ；如果 a<0，那么|a|= -a ； 3、绝对值非负性的应用:根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为“0”，即若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0。 4．绝对值的拓展 （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． （3）若，则；若，则． （4）． （5）． 注意： (1)表示一个数的点与原点的距离越远,这个数的绝对值越大;与原点的距离越近，这个数的绝对值越小。 (2)距离不可能是负数,所以任何数的绝对值都是非负数。 (3)绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数。 考点专训 考点1 绝对值的意义及求法 【例1】的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 【变式4】下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 考点2 绝对值的性质 【例1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【变式1】如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【变式3】若，求、的值． 【变式4】若成立，那么x的取值范围是 ． 【变式5】m是6的绝对值的相反数，n比m的绝对值大3，求m，n的值． 考点3 绝对值的化简 【例1】下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知 是 三边的长，化简    ． 【变式3】如果，那么a的取值范围为 ． 【变式4】已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 模块三 有理数的大小比较 知识点 有理数的大小比较 1、利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从 小 到 大的顺序，即左边的数 大于 右边的数。 2、利用有理数的分类比较大小：一般地，正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 负数；两个负数，绝对值大的反而 小 。 3、作差法:若两数分别为a，b，a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则 a=b。 注意： 对于两个负数的大小比较,一定要先比较它们的绝对值,并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反;异号两数比较大小,正数总大于负数。 考点专训 考点1 有理数的大小比较 【例1】下列四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式1】如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【变式2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【变式4】最接近的整数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式5】写一个比大比小的负整数________． 考点2 利用数轴比较有理数大小 【例1】数轴上表示的点在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【变式1】实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】在直线上表示数：，，，，其中最接近0的数是 ． 【变式6】在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 考点3 利用绝对值比较有理数大小 【例1】下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数 D．若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零 【变式1】在中用数字替换其中一个非数码后，使所得的数最小，则被替换的数字是( ) A． B． C． D． 【变式2】比较大小（用“”或“”或“”填空）：_____ 【变式3】用“”、“”或“”填空： （1）__；（2）__；（3）__． 【变式4】下列各数中绝对值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】下列四个数中，其绝对值大于1的是（    ）． A．1 B．0 C． D． 考点4 生活中的有理数的大小比较 【例1】下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）． 珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰 以上四个地点中海拔高度最低的是（    ） A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟 C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰 【变式2】下面是我国几个城市某一年一月份的平均气温，温度最低的是（    ） A．北京 B．武汉 C．广州 D．哈尔滨 【变式3】如图是某地区3月4日的天气预报，则当日气温的最低温度是（      ） A． B． C． D． 【变式4】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 【变式5】地理学上规定不同地形海拔高度：平原，丘陵，山地且相对高度大于，且等高线密集，高原且相对高度小，且等高线十分密集．某地区的等高线地图如下图示，图中用字母A，B，表示不同区域，其中为平原区域的是（    ）    A． B． C． D． 模块四 课后作业 1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．已知一个数的相反数是非正数，则这个数一定是（    ） A．正数或零 B．正数 C．零 D．负数 4．如图，，，，是数轴上的四个点，已知，均为有理数，且，则它们在数轴上的位置不可能落在(    ) A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 5．的绝对值的相反数是（    ） A．2023 B． C． D． 6．下列判断正确的是（    ） A．任何有理数的绝对值都是正数 B．在有理数中，零是绝对值最小的数 C．一个数的相反数，一定是负数 D．若，则 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．1月24日，北方13个省会城市气温创今冬以米新低．其中，长春，沈阳，呼和浩特，太原．四个城市中，气温最低的是（    ） A．长春 B．沈阳 C．呼和浩特 D．太原 9．下列各数，为1的是（   ） A． B． C． D． 10．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 11．在，，0，8，这四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C．0 D．8 12．在，，0，，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．若，则a的值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 14．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，并用“”把它们连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相反数与绝对值（4个模块3个知识点9个考点） 模块导航 · 模块一 相反数 · 模块二 绝对值 · 模块三 有理数的大小比较 · 模块四 课后作业 模块一 相反数 知识点 相反数 1. 相反数的定义:像3和-3，和这样只有符号不同的两个数，是互为 相反数 。 拓展 若a和b互为相反数,则a +b = 0. 2.相反数的表示方法:一般地，a和 -a 互为相反数。这里a表示任意一个数，可以是 正数 、负数 ，也可以是 0 。例如:当 a=1时，-a=-1，1的相反数是-1，同时，-1的相反数是1。 特别地，0的相反数是0。 注意： (1)因为a可以表示任意有理数,所以-a不一定是负数,应分类讨论。 例如:当a =-2时,-a =-(-2)=2,此时-a是正数而不是负数。 (2)一个数的相反数等于它本身,这个数是0。 (3)只有符号不同的两个数互为相反数. (4)相反数是成对出现的,不能单独存在. 3、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数. 4、求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“ - ”表示原数的相反数。 5、多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号，结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 6、倒数：乘积为的两个有理数互为倒数．例如：2与，与，与． 7、负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数．例如：2与，与，与． 注意：①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 考点专训 考点1 相反数的意义 【例1】的相反数是（    ） A． B． C．19 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：的相反数是：． 故选A． 【变式1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，数轴上的两点A，B表示的数互为相反数．若点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数概念，以及有理数与数轴，根据相反数概念，以及有理数与数轴求解，即可解题． 【详解】解：数轴上的两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是， 点B表示的数为， 故选：A． 【变式3】的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：的相反数是，是的相反数，相反数是它本身的数是0． 故答案为：；；0． 【变式4】填空： （1）3.5的相反数是 ，是 的相反数； （2）的相反数是 ， 的相反数是0； （3）与 互为相反数， 与互为相反数． 【答案】 /0.25 0 /0.5 【分析】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“” ． 首先根据相反数的含义，可得只有符号不同的两个数称为互为相反数；然后根据求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，依次求出3.5，， ， 0，， 的相反数是多少即可． 【详解】解：由题意，3.5，， ， 0，， 的相反数分别是，， ， 0，， ， 故答案为：，， ， 0，， ． 考点2 化简多重符号 【例1】下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 【变式1】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【变式2】的相反数是 ；的相反数是 ，数的相反数是 ，数的相反数是 ；与 互为相反数． 【答案】 5 a 【分析】根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：，而的相反数是； ，而的相反数是5； ，而的相反数是a； ，而a的相反数是； ，而a+b的相反数是． 故答案为：；5；a；；． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数． 【变式3】化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；①5；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，负号的个数奇负偶正，是解题的关键： （1）（2）（3）（4）（5）根据相反数的定义，化简多重符号即可； ①②根据负号的个数，求解即可，根据结果，总结出规律即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是； 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【变式4】化简： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)4；(5)；(6)3 【分析】本题考查了化简多重符号．熟练掌握化简多重符号是解题的关键． 根据化简多重符号求解作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 模块二 绝对值 知识点 绝对值 1、定义:一般地，数轴上表示数a的点与 原点 的 距离 叫作数a的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的判断:一个正数的绝对值是 它本身 ，一个负数的绝对值是 它的相反数 ，0的绝对值是 0 。即如果 a>0，那么|a|= a ；如果a=0，那么|a|= 0 ；如果 a<0，那么|a|= -a ； 3、绝对值非负性的应用:根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为“0”，即若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0。 4．绝对值的拓展 （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． （3）若，则；若，则． （4）． （5）． 注意： (1)表示一个数的点与原点的距离越远,这个数的绝对值越大;与原点的距离越近，这个数的绝对值越小。 (2)距离不可能是负数,所以任何数的绝对值都是非负数。 (3)绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数。 考点专训 考点1 绝对值的意义及求法 【例1】的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的计算；根据正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 【变式1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 【变式2】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式3】已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键； 根据绝对值的特点可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是0； 故选：C． 【变式4】下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，属于简单题，熟悉绝对值的概念是解题关键． 根据绝对值的性质，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题． 【详解】解：由图可知A到原点的距离最大， ∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点A， 故选：A． 考点2 绝对值的性质 【例1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 【变式1】如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 【变式2】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【变式3】若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得，． 【变式4】若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 【变式5】m是6的绝对值的相反数，n比m的绝对值大3，求m，n的值． 【答案】， 【分析】根据相反数的意义求得m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：m是6的绝对值的相反数，n比m的绝对值大3， ， 解得，． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值的意义，掌握相反数的定义是解题的关键． 考点3 绝对值的化简 【例1】下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值化简，解题的关键在于正确掌握绝对值性质．根据绝对值性质计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、，选项不成立，符合题意； 故选：D． 【变式1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符合，首先根据实数在数轴上的对应点位置确定两者的大小，易得，然后根据绝对值的性质即可获得答案． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】已知 是 三边的长，化简    ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据三角形三边关系判断，的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值即可． 【详解】解：的三边长分别是， 即 故答案为： 【变式3】如果，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，即一个数的绝对值等于它本身， ∴这个数是非负数，即， ∴， 故答案为：． 【变式4】已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 模块三 有理数的大小比较 知识点 有理数的大小比较 1、利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从 小 到 大的顺序，即左边的数 大于 右边的数。 2、利用有理数的分类比较大小：一般地，正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 负数；两个负数，绝对值大的反而 小 。 3、作差法:若两数分别为a，b，a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则 a=b。 注意： 对于两个负数的大小比较,一定要先比较它们的绝对值,并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反;异号两数比较大小,正数总大于负数。 考点专训 考点1 有理数的大小比较 【例1】下列四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴在有理数，，，中，最小的数是． 故选：B． 【变式1】如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴小于的是， 故选：A． 【变式2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，有绝对值的先化简绝对值，再根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，，，所以，故此选项正确，符合题意； C、，，所以，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 【变式3】比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 【变式4】最接近的整数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小比较，即可求解． 【详解】解：∵，且更靠近， ∴最接近的整数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【变式5】写一个比大比小的负整数________． 【答案】−2 【分析】根据有理数的比较即可求解． 【详解】解：比大比小的负整数有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较是解题的关键． 考点2 利用数轴比较有理数大小 【例1】数轴上表示的点在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴的特点，在原点的右边，数依次向右增大，在原点的左边，数依次向左减小即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点在与之间， 故选：． 【变式1】实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据各点再数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，进而可得结论． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：A． 【变式2】在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 【变式3】数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 【详解】解：由数轴可知，， 故选：C． 【变式4】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 【变式5】在直线上表示数：，，，，其中最接近0的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可得到答案．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：在直线上表示数如下： 其中最接近0的数是， 故答案为： 【变式6】在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，首先将各个数化简，然后在数轴上确定各数的位置，再根据“在数轴上表示的数，左边的总比右边的小”，最后用“＜”号把它们连接起来．解题的关键是正确确定各数位置． 【详解】解：∵，， 则在数轴上表示各数如图所示： 用“”连接起来如下： ． 考点3 利用绝对值比较有理数大小 【例1】下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数 D．若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零 【答案】D 【分析】根据绝对值和相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：A、一个数的绝对值一定是非负数，原说法错误，不符合题意； B、一个数的相反数不一定是负数，例如负数的相反数是正数，原说法错误，不符合题意； C、若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数或者0，原说法错误，不符合题意； D、若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零，原说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值的定义，如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【变式1】在中用数字替换其中一个非数码后，使所得的数最小，则被替换的数字是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进一步判断即可. 【详解】∵在中用数字替换其中一个非数码后，使所得的数最小， ∴被替换后的数的绝对值最大， ∴被替换的数字为“1”， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键. 【变式2】比较大小（用“”或“”或“”填空）：_____ 【答案】 【分析】先求出，再根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键． 【变式3】用“”、“”或“”填空： （1）__；（2）__；（3）__． 【答案】 【分析】(1)根据有理数大小的比较，即可解答； (2)首先去括号和绝对值符号，再根据有理数大小的比较，即可解答； (3)首先去括号和绝对值符号，再根据有理数大小的比较，即可解答． 【详解】解：(1)； (2)，， ； (3) ，，， ， 故答案为：(1)；(2)；(3)． 【点睛】本题考查了去括号和绝对值符号法则，有理数大小的比较，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键． 【变式4】下列各数中绝对值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴四个数中，绝对值最小的是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，熟知正数和0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【变式5】下列四个数中，其绝对值大于1的是（    ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出四个选项中数的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项即可． 【详解】∵，，，， ∴， ∴绝对值大于的是， 故选：D 【点睛】本题考查了有理数比较大小和绝对值，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 考点4 生活中的有理数的大小比较 【例1】下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解： ，，且． 离标准最近． 故选：B． 【变式1】下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）． 珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰 以上四个地点中海拔高度最低的是（    ） A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟 C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴以上四个地点中海拔高度最低的是马里亚纳海沟， 故选：． 【变式2】下面是我国几个城市某一年一月份的平均气温，温度最低的是（    ） A．北京 B．武汉 C．广州 D．哈尔滨 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于正数；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小，熟练掌握大小比较的方法是解题关键． 比较大小即可判断． 【详解】解：由有理数的大小比较可得：， 故选：D． 【变式3】如图是某地区3月4日的天气预报，则当日气温的最低温度是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了负数的实际应用，有理数的大小比较，直接看图即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：当日气温的最低温度是， 故选：A． 【变式4】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较方法解答即可，熟练掌握有理数的大小比较是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得，大于的需要放松，小于的需要拧紧，且， ∴指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是， 故选：B． 【变式5】地理学上规定不同地形海拔高度：平原，丘陵，山地且相对高度大于，且等高线密集，高原且相对高度小，且等高线十分密集．某地区的等高线地图如下图示，图中用字母A，B，表示不同区域，其中为平原区域的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据地形与海拔高度的关系解答即可． 【详解】解：A、B、D的海拔高度大于200米，且小于300米，属于丘陵； C的海拔高度大于100米，且小于200米，属于平原． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的应用，理解地形与海拔高度的关系是解答本题的关键． 模块四 课后作业 1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得到点A表示的数为，再求的相反数即可． 【详解】解：点A表示的数为， 的相反数为2，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 3．已知一个数的相反数是非正数，则这个数一定是（    ） A．正数或零 B．正数 C．零 D．负数 【答案】A 【分析】非正数，即0或负数，0的相反数是0，正数的相反数是负数，由此可解． 【详解】解：由一个数的相反数是非正数，可知这个数的相反数是0或负数， 0的相反数是0，正数的相反数是负数， 因此这个数一定是0或正数． 故选A． 【点睛】本题主要考查相反数，正确理解相反数的概念是解题的关键． 4．如图，，，，是数轴上的四个点，已知，均为有理数，且，则它们在数轴上的位置不可能落在(    ) A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】根据相反数的性质，数轴的定义可知，位于原点两侧，据此即可求解． 【详解】解：∵，均为有理数，且， ∴位于原点两侧， ∴在数轴上的位置不可能落在线段上， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴的定义，数形结合是解题的关键． 5．的绝对值的相反数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解绝对值，再求解相反数，从而可得答案. 【详解】解：的绝对值的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是绝对值与相反数的含义，熟记绝对值与相反数的概念是解本题的关键. 6．下列判断正确的是（    ） A．任何有理数的绝对值都是正数 B．在有理数中，零是绝对值最小的数 C．一个数的相反数，一定是负数 D．若，则 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义、相反数的概念，求解即可． 【详解】解：A、0的绝对值不是正数，故该选项错误，不符合题意； B、在有理数中，零是绝对值最小的数， ∵绝对值都是的，故该选项正确，符合题意； C、负数的相反数是正数，故该选项错误，不符合题意； D、例：，但，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、相反数的概念，熟记概念是解题关键． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数，去绝对值法则判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数，去绝对值法，熟记运算法则是解答本题的关键． 8．1月24日，北方13个省会城市气温创今冬以米新低．其中，长春，沈阳，呼和浩特，太原．四个城市中，气温最低的是（    ） A．长春 B．沈阳 C．呼和浩特 D．太原 【答案】C 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴呼和浩特的气温最低． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较． 9．下列各数，为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；和有理数的计算，同号得正，异号得负即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和化简有理数多重符号，熟记“同号得正，异号得负”是解题关键． 10．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 11．在，，0，8，这四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义，有理数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵，，，, ∴， ∴绝对值最大的数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 12．在，，0，，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负数的定义，结合绝对值的意义，相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴负数有，，共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了负数的定义，绝对值的意义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，相反数的定义得出，，． 13．若，则a的值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，即可解答． 【详解】解：， ， ， 的值可以是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 14．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，并用“”把它们连接起来． 【答案】见解析 【分析】分别化简各数，然后将其在数轴上表示． 【详解】如图所示： ∴ 【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小，属于基本题． 学科网（北京）股份有限公司 $$